高等数学b学习44可用变量代换法求解的一阶微分方程课件

1、高等数学b学习44可用变量代换法求解的一阶微分方程课件高等数学b学习44可用变量代换法求解的一阶微分方程课件例1 求解微分方程解代入原方程得分离变量,两边积分,得即故原方程的通解为( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解) 牛牛文库文档分享例1 求解微分方程解代入原方程得分离变量,两边积分,得即例2 求解微分方程解代入原方程得分离变量,两边积分,得故原方程的通解为说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 求解过程中丢失了. 牛牛文库文档分享例2 求解微分方程解代入原方程得分离变量,两边积分,得故例3 求解微分方程解代入原方程得分离变量,两边积分

2、,得故原方程的通解为 牛牛文库文档分享例3 求解微分方程解代入原方程得分离变量,两边积分,得故可得 OMA = OAM = 解: 设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 .过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,由光的反射定律:入射角 = 反射角取x 轴平行于光线反射方向,从而 AO = OM而 AO 于是得微分方程 : 例4 在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 牛牛文库文档分享可得 OMA = OAM = 解: 设利用曲线的对称性, 不妨设 y 0,积分得故有得 (抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐

3、次方程) 牛牛文库文档分享利用曲线的对称性, 不妨设 y 0,积分得故有得 (抛二、可化为齐次型的方程为齐次方程.(h 和 k 是待定的常数)否则为非齐次方程.2.解法1.定义原方程化为 牛牛文库文档分享二、可化为齐次型的方程为齐次方程.(h 和 k 是待定的常数令 , 解出 h , k (齐次方程)求出其通解后, 即得原方程的解. 牛牛文库文档分享令 , 解出 h , k (齐次方程)求出其通解后, 即得原解代入原方程得分离变量并积分得方程变为 牛牛文库文档分享解代入原方程得分离变量并积分得方程变为www.niuwk.c得原方程的通解 牛牛文库文档分享得原方程的通解 牛牛文库文档分享上述方法

4、不能用. 牛牛文库文档分享上述方法不能用. 牛牛文库文档分享三、利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为有时可通过适当的变量代换把一个方程化为可分离变量的方程： 牛牛文库文档分享三、利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为有时解令 则故有即解得所求通解: 牛牛文库文档分享解令 则故有即解得所求通解: 牛解 牛牛文库文档分享解 牛牛文库文档分享解代入原式分离变量法解得所求通解为另解 牛牛文库文档分享解代入原式分离变量法解得所求通解为另解www.niuwk.c伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程.四、伯努利方程解法: 需经过变

5、量代换化为线性微分方程. 牛牛文库文档分享伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程求出通解后，将 代入即得代入上式 牛牛文库文档分享求出通解后，将 代入即得代入上解例1 牛牛文库文档分享解例1 牛牛文库文档分享解例2所求通解为 牛牛文库文档分享解例2所求通解为 牛牛文库文档分享解例3令则方程变形为其通解为将代入, 得原方程通解: 牛牛文库文档分享解例3令则方程变形为其通解为将代入, 得原方程通解: www五、小结1、齐次方程齐次方程的解法2、可化为齐次方程的方程3、伯努利方程伯努利方程的解法 牛牛文库文档分享五、小结1、齐次方程齐次方程的解法2、可化为齐次方程的方程3六、几

6、点说明:1、一阶微分方程的类型较多 , 不同类型有不同的解法 , 因此首先要识别方程的类型 , 然后应用相应的解法 . 2、有时所给的方程并非标准型 , 应把方程转化为标准形式再求解 . 牛牛文库文档分享六、几点说明:1、一阶微分方程的类型较多 , 不同类型有不同思考题方程是否为齐次方程?解方程两边同时对 x 求导:原方程是齐次方程. 牛牛文库文档分享思考题方程是否为齐次方程?解方程两边同时对 x 求导:原方程练 习 题 牛牛文库文档分享练 习 题 牛牛文库文档分享练习题答案 牛牛文库文档分享练习题答案 牛牛文库文档分享思考：例 求解微分方程提示: 牛牛文库文档分享思考：例 求解微分方程提示: 牛上述方法不能用.可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程. 牛牛文库文档分享上述方法不能用.可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.例