湖南省长沙市书堂中学2020-2021学年高三数学理下学期期末试卷含解析

1、湖南省长沙市书堂中学2020-2021学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “为真”是“为假”的（ ）条件A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要参考答案：B试题分析：因为假真时，真，此时为真，所以，“ 真”不能得“为假”，而“为假”时为真，必有“ 真”，故选B. 考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用.2. 函数的零点个数为A.1B.2C.3D.4参考答案：B3. 已知在平面直角坐标系中有一个点列：.若 点到点的变化关系为：，则= A. B. C. D. 参考答案：

2、C【知识点】数列递推式D1 解析：由题设知P1（0，1），P2（1，1），P3（0，2），P4（2，2），P5（0，4），|P1P2|=1，|P2P3|=，|P3P4|=2，|P4P5|=，|P2013P2014|=21006故答案为：21006【思路点拨】由题设知P1（0，1），P2（1，1），P3（0，2），P4（2，2），P5（0，4），寻找其规律，即可求出|P2013P2014|4. 设an是公差为正数的等差数列，若a1+a3=10，a1a3=16，则a12等于（）A25B30C35D40参考答案：C【考点】等差数列的通项公式【分析】由已知得a1a3，且a1，a3是方程x210 x+1

3、6=0的两个根，解方程x210 x+16=0，得a1=2，a3=8，由此求出公差，从而能求出a12【解答】解：an是公差为正数的等差数列，a1+a3=10，a1a3=16，a1a3，且a1，a3是方程x210 x+16=0的两个根，解方程x210 x+16=0，得a1=2，a3=8，2+2d=8，解得d=3，a12=a1+11d=2+113=35故选：C5. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）参考答案：C考点：函数导数与图象.【思路点晴】求导运算、函数的单调性、极值和最值是重点知识，其基础是求导运算，而熟练记忆基本导数公式和函数的求导法则又是正确进行导数运算的基础，在

4、内可导函数，在任意子区间内都不恒等于.在上为增函数在上为减函数导函数图象主要看在轴的上下方的部分.6. 下列函数中,最小值周期为且为奇函数的是A. B. C. D.参考答案：A对于选项A，因为，且为奇函数，故选A.7. 现在有张奖券，张元的，张元的，某人从中随机无放回地抽取张奖券,则此人得奖金额的数学期望为（ ） A B C D参考答案：B考点：概率和数学期望的计算.8. 设R，则“”是“”成立的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：D略9. 过点且与双曲线只有一个交点的直线有A.1条 B.2条 C.3条 D.4条参考答案：D10. 已知集合A

5、=，B=，那么=（ ）A0,-1 B. 1, -1 C. 1 D. -1参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数y=f（x），xD，若存在常数C，对任意的xlD，仔在唯一的x2D，使得 ，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C已知f（x）=x3，x1，2，则函数f（x）=x3在1，2上的几何平均数为 A B2 C4 D 2参考答案：D略12. 已知函数，则= 参考答案：313. 函数的最大值为_.参考答案：2略14. 已知函数在x1时有极值0，则m_；n_；参考答案：m2，n9。15. 参考答案：略16. 设则 参考答案：略17. 从正方形四个顶点及其中心这

6、5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为。参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （14分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A底面ABCD，且A1A=4梯形ABCD的面积为6，且ADBC，AD=2BC，CD=2平面A1DCE与B1B交于点E（1）证明：ECA1D；（2）求三棱锥CA1AB的体积；（3）求二面角A1DCA的大小参考答案：考点：用空间向量求平面间的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）证明BE平面AA1DBC平面AA1D，通过BEBC=B

7、，BE?平面BCE，BC?平面BCE，利用平面BCE平面ADA1，利用平面与平面平行的性质定理证明ECA1D（2）求出然后求出棱锥的体积（3）解法一：在ADC中，作AFCD于F，连接A1F，证明CDA1A推出CD面A1AF说明A1FA为二面角A1DCA的平面角，然后求出二面角A1DCA的大小解法二：以D为坐标原点，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系，设CDA=，BC=a，求出平面A1DC的一个法向量，平面ABCD的一个法向量，通过向量数量积求解二面角A1DCA的大小解答：（本小题满分14分）解：（1）证明：因为BEAA1，AA1?平面AA1D，BE?平面AA1D，所以BE平面AA1D（1

8、分）因为BCAD，AD?平面AA1D，BC?平面AA1D，所以BC平面AA1D（2分）又BEBC=B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，所以平面BCE平面ADA1（3分）又平面A1DCE平面BCE=EC，平面A1DCE平面A1AD=A1D，所以ECA1D（4分）（2）解：因为S梯形ABCD=6，BCAD，AD=2BC，所以（6分）所以（8分）（3）解法一：如图，在ADC中，作AFCD于F，连接A1F（9分）因为A1A底面ABCD，CD?底面ABCD，所以CDA1A又A1AAF=A，所以CD面A1AF又A1F?面A1AF，所以CDA1F（10分）所以A1FA为二面角A1DCA的平面角（11分）

9、由（2）得，所以（12分）所以，（13分）所以，即二面角A1DCA的大小为（14分）解法二：如图，以D为坐标原点，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系（9分）设CDA=，BC=a，则AD=2a因为，所以（10分）所以C（2cos，2sin，0），所以，（11分）设平面A1DC的一个法向量，由，得，所以（12分）又平面ABCD的一个法向量，（13分）所以，所以二面角A1DCA的大小为（14分）点评：本题考查二面角的求法，几何体的体积，平面与平面平行的判定定理与性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力19. 已知关于x的函数g（x）=alnx（aR），f（x）=x2g（x）（1）当a=2时

10、，求函数g（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间（，e）内有且只有一个极值点，试求a的取值范围参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数f（x）的导数，根据零点存在定理得到f（）?f（e）0，求出a的范围即可【解答】解：（1）a=2时，g（x）=+2lnx，g（x）=，（x0），令g（x）0，解得：x1，令g（x）0，解得：0 x1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增；（2）f（x）=x2g（x）=2xax2lnx，定义域是（0，+），f（x）=2a（x+2xlnx），

11、若a=0，则f（x）=20，不存在极值点，故a0，令h（x）=f（x）=2a（x+2xlnx），h（x）=a（3+2lnx），x（，e）时，3+2lnx0，故h（x）0恒成立或h（x）0恒成立，f（x）在（，e）是单调函数，f（x）在区间（，e）内有且只有1个极值点，f（x）在（，e）有唯一解，由零点存在定理，得：f（）?f（e）0，得（2+a）（23ea）0，解得：a2e或a，综上，a2e或a20. 已知函数（）若不等式恒成立，求实数的最大值；（）在（）的条件下，若正数，满足，求证：参考答案：（）若恒成立，即2分由绝对值的三角不等式，得即，解得，所以M=4 5分（）证明：由（）知，得6分所以有即 10分21. 椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点（）求椭圆的方程；（）当的面积为时，求直线的方程参考答案：解：（1）因为椭圆过点，所以，又因为离心率为，所以，所以，解得所以椭圆的方程为： （4分）当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得： 7分设，则，所以直线方程为：或 （13分）略22. 如图，在三棱锥中，且平面平面（）求直线与平面所成的角的正切值；（）求二面角的正切值参考答案