计算机控制技术讲义离散系统数学描述课件

1、计算机控制技术讲义离散系统数学描述课件计算机控制技术讲义离散系统数学描述课件计算机控制系统简介计算机控制系统离散系统连续系统：微分方程、拉氏变换、传递函数离散系统：差分方程、z变换、z传递函数吉林大学计算机科学与技术学院计算机控制系统简介吉林大学计算机科学与技术学院3.1 拉氏变换、传递函数3.1.1 拉氏变换定义：函数f(t)在t0时有定义，且积分 ； （s为复参量）在s的某一域内收敛， 则 称为f(t)的拉普拉斯变换 （拉氏变换）（象函数），记为：F(s)=Lf(t)。若F(s)为f(t)的拉氏变换，则f(t)称为F(s)的逆变换（象厚函数），记为：f(t)=L-1F(s) ， ，t0，+

2、j=s。吉林大学计算机科学与技术学院3.1 拉氏变换、传递函数3.1.1 拉氏变换吉林大学计算机2. 性质线性性质： 若Lf1(t)=F1(s)，Lf2(t)=F2(s)， 则Lf1(t)+f2(t)=Lf1(t)+Lf2(t)， L-1F1(s)+F2(s)=L-1F1(s)+L-1F2(s)。微分性质： 若Lf(t)=F(s)，则Lf(t)=s*F(s)-f(0)。积分性质： 若Lf(t)=F(s)，则 。位移性质： 若Lf(t)=F(s)，则Leat*f(t)=F(s-a)。吉林大学计算机科学与技术学院2. 性质吉林大学计算机科学与技术学院延迟性质： 若Lf(t)=F(s)， 则Lf(t

3、-)=e-s*F(s)，L-1e-s*F(s)=f(t-)。初值定理： 若Lf(t)=F(s)，当 存在， 则 或 。终值定理： 当Lf(t)=F(s)，s*F(s)所有奇点全在s平面左半部， 则 。吉林大学计算机科学与技术学院延迟性质：吉林大学计算机科学与技术学院3. 卷积定义： ， 当t-1)eat吉林大学计算机科学与技术学院6. 几个常用拉氏变换f(t) (t0)Lf(t)(3.2 采样信号与采样定理采样：把连续信号转换为其特定时刻取值序列的过程。这个序列中的离散值称为采样值。一般采用等间隔采样 序列；k=0，1，采样间隔时间采样周期T。采样过程的持续时间（A/D转换时间）。当T可认为=

4、0；采样频率 ，角频率 。吉林大学计算机科学与技术学院3.2 采样信号与采样定理采样：把连续信号转换为其特定时刻取采样信号可表示为：y(kT)*(t-kT)=y(t)*(t-kT)取（k0时，y(kT)=0）吉林大学计算机科学与技术学院采样信号可表示为：吉林大学计算机科学与技术学院3.2.2 采样信号y*(t)与原信号y(t)的频率特性关系1. y*(t)拉氏变换T(t)是时域内周期为T的函数，展为Fourier级数： ， 。系数 （频移定理，求和对称）吉林大学计算机科学与技术学院3.2.2 采样信号y*(t)与原信号y(t)的频率特性关系2. 采样定理把s=j代入上式得到y*(t)频率特性

5、。Y(j)为原信号的频谱特性。max-maxA原信号频谱图max-maxA/T-ss采样信号频谱图吉林大学计算机科学与技术学院2. 采样定理max-maxA原信号频谱图max-当s2max，max：y(t)最高角频率，Y*(t)的频谱不重叠。低通滤波后可得到与Y(j)相差T倍的频谱，可由Y(j)恢复y(t)。否则无法得到Y(j)，无法恢复y(t)。采样定理：当s2max，max：为原信号频谱最高角频率，且 ,（ ， ，T采样频率），可由采样信号无失真恢复原信号。吉林大学计算机科学与技术学院当s2max，max：y(t)最高角频率，Y*(t)3.2.3 信号复现与保持器1. 信号复现由离散序列信

6、号f(KT)复现出原连续信号称为信号复现。问题：已知f(t)在KT；K=0，1，上的点，复现f(t)。方法：在KT处把f(t)展成级数f(t)=f(KT)+f(KT)*(t-KT)+取一项：f(t)f(KT)； KTt(K+1)T；取二项：f(t)f(KT)+f(KT)*(t-KT)；吉林大学计算机科学与技术学院3.2.3 信号复现与保持器吉林大学计算机科学与技术学院2. 零阶保持器取f(t)=f(KT)； KTt(K+1)T；就是在KT(K+1)T时间内保持f(t)不变，称为零阶保持器。波形为：gH0=1(t)-1(t-T)；1(t)为阶跃函数。为零阶保持器的传递函数。 零阶保持器H0L1(

7、t)-1(t-T)(t)(t)tgH0(t)gH0(t)tT0吉林大学计算机科学与技术学院2. 零阶保持器零阶保持器H0L1(t)-1(t-T)3.3 z变换3.3.1 z变换定义y(t)的采样信号 其拉氏变换取 或 ，则Y(z)称为y*(t)的z变换，记为：当已知采样序列可直接写出z变换。吉林大学计算机科学与技术学院3.3 z变换3.3.1 z变换定义吉林大学计算机科学与技3.3.2 典型函数（序列）z变换（(t)）1. 数字脉冲序列kZk=1 ；只有k=0时k(0)=1其他地方为0Zk-n=z-n ； n02. 单位阶跃函数序列uk（u(t)）吉林大学计算机科学与技术学院3.3.2 典型函

8、数（序列）z变换（(t)）吉林大学计算机3. 单位?函数f(kt)=kt（f(t)=t） （对 两边求导，乘T）4. 指数函数f(kT)=e-pkT（f(t)=e-pt）吉林大学计算机科学与技术学院3. 单位?函数f(kt)=kt（f(t)=t）吉林大学计3.3.3 z变换性质1. 线性性质若Zy(kT)=Y(z)，Zx(kT)=X(z)则Zay(kT)+bx(kT)=aY(z)+bX(z)2. 平移定理（移位、偏移）Zy(kT-nT)=z-nY(z) 证明见上。3. 初值定理吉林大学计算机科学与技术学院3.3.3 z变换性质吉林大学计算机科学与技术学院4. 终值定理5. 卷积定理若 ，P(z

9、)=Zp(kT)，Q(z)=Zq(kT)，则Y(z)=P(z)*Q(z)。吉林大学计算机科学与技术学院4. 终值定理吉林大学计算机科学与技术学院3.3.4 z变换求法1. 无穷级数法：按定义求级数和 直接求和吉林大学计算机科学与技术学院3.3.4 z变换求法吉林大学计算机科学与技术学院2. 部分分式法若y(t)的拉氏变换则y*(t)=y(kT)，k=0，1的z变换例：则（A1=1，P1=0，A2=-1，P2=a）吉林大学计算机科学与技术学院2. 部分分式法吉林大学计算机科学与技术学院3.3.5 z反变换由Y(z)求相应序列y(kT)，k=0，1或数值序列y(k)称为z反变换，记为y(kT)=z

10、-1Y(z)或y(k)=z-1Y(z)。1.长除法若 ；nm（物理可实现a00）由分母除分子可得：Y(z)=y0+y1*z-1+y2*z-2+， 。由z变换定义可知y(kT)=yk。例：所以y(0)=0，y(T)=0.5，y(2T)=0.75吉林大学计算机科学与技术学院3.3.5 z反变换吉林大学计算机科学与技术学院2. 部分分式法若Y(z)为 ，其中 ，则 。例： ，解： ；P1=1，P2=0.5 ， 。吉林大学计算机科学与技术学院2. 部分分式法吉林大学计算机科学与技术学院所以 。 ，所以y(0)=0，y(T)=0.5，y(2T)=作业：已知 ，求y(kT)。吉林大学计算机科学与技术学院吉

11、林大学计算机科学与技术学院3.4 z传递函数3.4.1 z传递函数定义z传递函数也称脉冲传递函数定义为：零初始条件下，系统输入序列与输出序列的z变换之比： ，r(kT)：输入，y(kT)：输出，R(z)：输入信号采样序列的z变换，Y(z)：输出连续信号采样序列y(kT)的z变换，G(z)：系统（环节）的z传递函数。输出序列y(kT)=Z-1Y(z)=Z-1G(z)*R(z)。 系统G(s)G(z)R(z)R(s)Y(s)y(t)y(kT) Y(z)r(t)r(kT)TT吉林大学计算机科学与技术学院3.4 z传递函数3.4.1 z传递函数定义系统G(s)G3.4.2 z传递函数的求法1. 由差分

12、方程求z传递函数已知系统的差分方程为：在零初始条件下对上式取z变换：所以 ，f(z-1)=1+a1z-1+a2z-2+a3z-3+anz-n=0称为系统的特征方程。吉林大学计算机科学与技术学院3.4.2 z传递函数的求法吉林大学计算机科学与技术学院例：一线性系统的差分方程为：y(kT)+3y(kT-T)+3y(kT-2T)-5y(kT-3T)=r(kT)+4r(kT-T)-r(kT-2T)，求其z传递函数。解：对上式两边取z变换（零初始条件）Y(z)+3z-1Y(z)+3z-2Y(z)-5z-3Y(z)=R(z)+4z-1R(z)-z-2R(z)，所以 。吉林大学计算机科学与技术学院例：一线性

13、系统的差分方程为：吉林大学计算机科学与技术学院例：已知离散系统的z传递函数 ，求系统的差分方程。解： ，Y(z)(1-1.4z-1+0.4z-2)=0.6z-1R(z)，两边取z反变换（平移定理）：y(kT)-1.4y(kT-T)+0.4y(kT-2T)=0.6r(kT-T)，y(kT)=1.4y(kT-T)-0.4y(kT-2T)+0.6r(kT-T)。吉林大学计算机科学与技术学院例：已知离散系统的z传递函数 2. 由连续系统的传递函数G(s)求G(z)。 ， ，线性离散系统的z传递函数为单位脉冲响应序列的z变换。从G(s)求G(z)步骤：1）由G(s)求出系统的连续脉冲激励响应y(t)=L

14、-1G(s)。2）按选定的采样周期T对y(t)采样得到离散脉冲激励响应序列y(kT)。3）按z变换定义求G(z)=Zy(kT)。由G(s)求G(z)记为ZG(s)。吉林大学计算机科学与技术学院2. 由连续系统的传递函数G(s)求G(z)。吉林大学计算机例：一连续系统（环节）传递函数 ，求其z传递函数。解：1）求y(t)， 。2）对y(t)采样，周期T，采样点k处t=kT，y(kT)=K0e-akT。3） 。G(s)y(t)(t)Y(s)G(z)y(kT)(t)Y(z)(kT)吉林大学计算机科学与技术学院例：一连续系统（环节）传递函数 3. 系统串并联的z传递函数a）离散系统串联 ， 。b）两个

15、由采样开关隔离的系统G1(z)R(z)Y(z)G2(z)U(z)G1(s)R(s)r(t)G2(s)R(z)U(s)U(z)Y(s)y(t)Y(z)y(kT)r(kT)u(t)u(kT)G1(z)G2(z)吉林大学计算机科学与技术学院3. 系统串并联的z传递函数G1(z)R(z)Y(z)G2(c）离散系统并联G1(z)R(z)Y(z)G2(z)+吉林大学计算机科学与技术学院c）离散系统并联G1(z)R(z)Y(z)G2(z)+吉林4. 带零阶保持器的开环z传递函数Gp(s)为过程P的传递函数，包括零阶保持器的传递函数：z传递函数： 。（e-Ts=z-1，z=eTs）Gp(s)U(kT)Y(s)Y(z)零阶保持器G(s)吉林大学计算机科学与技术学院4. 带零阶保持器的开环z传递函数Gp(s)U(kT)Y(s例：当 时，求带零阶保持器的z传递函数。解： ， 采样序列1(kT)=1；k=0，1， ， ，采样序列e-akT；k=0，1， ，所以 。吉林大学计算机科学与技术学院例：当 时，求带零阶保5. 数字控制系统闭环z传递函数单位反馈闭环控制系统过程控制计算机输出D/A控制