高考人教A版数学(理)一轮复习讲义：12.2直接证明与间接证明

1、第2讲直接证明与间接证明【2014年高考会这样考】考查直接证明为主，多隐含于各种题目中，如数列、不等式、立体几何等.01抓住2个考点招考宓记秀基固本对应学生190考点梳理.直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.框图表示：|P?Q一回？Q2I一？Q3|一一|Qn?Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论).思维过程：由因导果.(2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、

2、公理等)为止.这种证明方法叫做分析法.框图表示：|q?p1|P?PTp2?P3.得到一个明显成立的条件|(其中Q表示要证明的结论).思维过程：执果索因.间接证明(1)反证法的定义假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法.(2)利用反证法证题的步骤假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.简百之，否定一归谬一断百.【助学微博】一个思路分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知

3、识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用.两点提醒（1）适合使用反证法证明的命题有：否定性命题；唯一性命题；至多、至少型命题；明显成立命题；直接证明有困难的命题.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）”“即要证”就要证”等分析到一个明显成立的结论P,再说明所要证明的数学问题成立.考点自测.（人教A版教材改编题）要证明43+由0,则下列不等式中正确的是（）.A.b-a0B.a3+b30C.a2-b20解析a|b|0,.blva,a。，.一ab2,则x,y至少有一个大于1D.对于任意nCN+,+&+Cn都是偶数来源：解析空间四

4、边形可能四边相等，但不是正方形，故A为真命题；令Z1=1+bi,Z2=3bi（bCR）,显然z1+z2=4CR,但z1,Z不互为共腕复数，B为假命题；假设x,y都不大于1,则x+y2不成立，故与题设条件“x+y2”矛盾，假设不成立，故C为真命题；+&+不=2”为偶数，故D为真命题.排除A,C,D,应选B.答案B.下列条件：ab0,ab0,b0,a0,b2,只要b0且a0,即a,b不为0且同号即可，故有3个.abab答案3窕破3个考向研为案例一向英破对应学生19考向一分析法的应用【例1】？用分析法证明：若a0,则2+/42a+:2.审题视点采用分析法，移项、平方、整理.证明要证a2+一企a+12

5、.只需证、ya2+02+2a+：+2.a0,.两边均大于零，只需证02+22a+a+222,只需证a2+4+4aJa2+-2a2+；1+2+2+2V2a+a,只需证qm+aa+；，只需证a2+3；a2+-2+2,a2a即证a2+a22,显然成立，:原不等式成立.方法锦蠢分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等.通常采用“欲证一一只需证一一已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范.【训练11已知a0,111.求证：1+a1.baWb证明要证，1+a.；b成立1只福证1+a，只需证(1+a)(1b)1(1b0),即1b

6、+aab1,abab,只需证：絮1,即1T由已知a0,b-a1成立,1.JiT-=成立.考向二综合法与分析法的综合应用1-bnban1【例2】？设b0,数列an满足a=b,an=an1+n_1(n2).求数列an的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2an&bn+1+1.审题视点(1)把题中所给的已知式等价变形为5=入1+小形式，转化成特殊数列求解.(2)利用基本不等式证明.一.-n11n-1斛由已知行=b+b募;(n)2)，当bw1时，上式变形为:1六7嗫+人,即数列十七是以21,为为首项,以b为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得为为首项,1当，有n1=an11,即an是首项公差均为

7、*1的等差数列，上n,则an=1.1,b= b b综上所述an=1-bnbn,1_bn,b0且bW1.证明当b*1时，欲证2an=2nbnb；1bn+1+1,只需证2nbnbn(2+2+-+2)=2nbn,c2nbnb1n+1；2an=bn_12f(b).证明如下：因为a,b,c是不相等的正数，所以a+c2/ac.因为b2=ac,所以ac+2(a+c)b2+4b,即ac+2(a+c)+4b2+4b+4,从而(a+2)(c+2)(b+2)2因为f(X)=lOg2X是增函数，所以log2(a+2)(c+2)log2(b+2)2,即log2(a+2)+log2(c+2)2log2(b+2).故f(a

8、)+f(c)2f(b).考向三反证法的应用一一.，一一x2【例3】？已知函数f(x)=aX+；(a1).x+1(1)证明：函数f(x)在(一1,+00)上为增函数.(2)用反证法证明f(x)=0没有负根.审题视点第(1)问用单调增函数的定义证明；第(2)问假设存在x00后，应推导出x0的范围与x00矛盾即可.证明(1)任取X1,X2(1,+00),不妨设X10,ax2xiX2 2x2+ 11,且X2 2x2+ 1所以ax2ax1=ax1(ax2x11)0.又因为x1+10,X2+10,所以X1 2x1+ 10,X22X1+1X12X2+13xX1 2x1+ 10,X22 X1 2 -70X2+

9、1X1+X22 X1 2 -70X2+1X1+1于是f(X2)f(x1)=ax2ax1+故函数f（x）在（一1,+00）上为增函数.假设存在X00(xow1)满足f(X0)=0,则axo=X02,又0ax01,所X0十1.X0-21以0-xo+11,即广xo2,与xo0(x0*1)假设矛盾故f(X0)=0没有负根.方法锦我用反证法证明不等式要把握三点：（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面；（2）必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；（3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的.【训练

10、3】等差数列an的前n项和为8,a=1+/，S3=9+监求数列an的通项an与前n项和Sn；（2）设bn=Sn（nCN*）,求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.a1=V2+1,解由已知得；d=2,3a1+3d=9+3M2,故an=2n1+V2,&=n（n+V2）.证明由（1）得bn=Sn=n+亚.假设数列bn中存在三项bp,bq,br（p,q,r互不相等）成等比数列，则b2=bpbr.即（q+亚）2=（p+亚）（r+也）.(q2-pr)+*/2(2q-pr)=0.q2_pr=0,2qpr=0.p+roo,一一-2-=pr,（pr）2=0.；p=r,与pwr矛盾.数列bn中任意不

11、同的三项都不可能成等比数列.03揭秘3年高考佟威解送直勘蟀对应学生192规范解答18利用反证法证明数学问题【命题研究】通过近三年的高考试题分析，直接在此知识点命题的概率不大，但作为证明和推理数学命题的方法，多隐含于各种题目中.此类证明题对知识的考查面广、涉及知识点多，题目难度较大.【真题探究】？（本小题满分13分）（2011安徽）设直线li：y=kix+1,12：y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0.证明：l1与l2相交；证明：l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.教你审题采用反证法，先假设1i与l2不相交，之后推出矛盾；二审求出交点坐标，代入椭圆方程验证.规范解答证明假

12、设l1与l2不相交，则1i与l2平行或重合，有k1=k2,（2分）代入k1k2+2=0,得k2+2=0.（4分）这与k1为实数的事实相矛盾，从而kwk2,即1i与l2相交.（6分）y=k1x+1,（2）由方程组y=k2x1,2k2k1解得父点P的坐标（x,y）为,二;；.（10分）k2kIk2kI2o从而2x2+y=2k2；工1+k2+ki 2 k2 ki8+k2+k2+2kik2k2+k2+4_k2+k22kk2+ki 2 k2 ki所以li与12的交点P(x,y)在椭圆2x2+y2=1上.(13分)阅卷老师手记(i)掌握反证法的证明思路及证题步骤，明确作假设是反证法的基础，应用假设是反证法

13、的基本手段，得到矛盾是反证法的目的.(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法.模板构建用反证法证明数学命题的答题模板：第一步：分清命题“p-q”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定,虢q；第三步：由p和q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假设q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p-q为真.【试一试】已知a,b,c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根

14、.证明假设三个方程都没有两个相异实根，则Ai=4b2-4ac0,及=4c224ab0,A=4a4bc0.上述三个式子相加并除以2得：a2-2ab+b2+b22bc+c2+c22ac+a20.即(ab)2+(bc)2+(ca)20.由已知a,b,c是互不相等的非零实数，上式“=”不能成立，即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20,与事实不符，假设不成立，原结论成立.即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.限时规范训练阶拂凶倒能力提升对应学生-347A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)(2013中山调研)设a,bCR,贝U“a+b=1”是“4ab01”

15、的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1C解析右a+b=1，贝U4ab=4a(1a)=4a22+1W1；若4ab1,取a=4,b=1,a+b=3,即“a+b=1”不成立；则“a+b=1”是4ab1”的充分不必要条件.答案A(2013金华十校联考)对于平面a和共面的直线m,n,下列命题中真命题是()A.若ma,mn,则n/aB.若m/a,n/%则m/nC.若m?a,n/a,贝Um/nD.若m,n与a所成的角相等，则m/n解析对于平面a和共面的直线m,n,真命题是“若m?a,n/%则m/n”.答案C.要证：a2+b2-1-a2b20,只要证明().A.2a

16、b-1-a2b20B.a2+b2-1-a20C.-az2b-1-a2b20解析因为a2+b2-1-a2b20,故选D.答案D.(2013四平二模)设a,b是两个实数，给出下列条件：a+b1;a+b=2；a+b2；a2+b22；ab1.其中能推出：“a,b中至少有一个大于1”的条件是().A.B.C.D.12一.斛析右a=2,b=3,则a+b1,但a1,b2,故推不出；若a=2,b=3,则ab1,故推不出；对于，即a+b2,则a,b中至少有一个大于1,反证法：假设a1且b2矛盾，因此假设不成立，a,b中至少有一个大于1.答案C二、填空题(每小题5分，共10分).用反证法证明命题a,bCN,ab可

17、以被5整除，那么a,b中至少有一个能被5整除，那么假设的内容是解析“至少有n个”的否定是“最多有n-1个”，故应假设a,b中没有一个能被5整除.答案a,b中没有一个能被5整除.设ab0,m=g4b,n=dab,则m,n的大小关系是.解析取a=2,b=1,得mn.再用分析法证明：g-衽Ja-b?gVb+a-b?a0,显然成立.答案mlga+lgb+lgC.证明.a,b,c(0,+00),a+b；b+c,a+c,.-2-Vab0,Vbc0,Vac0.又a,b,c是不全相等的正数，故上述三个不等式中等号不能同时成立.a+ bb+cc+a Ta+ bb+cc+a Tabc成立.上式两边同时取常用对数,

18、得lga+ bb+cc+a得lga+ bb+cc+a2 苗lg(abc),a+bb+cc+alg2+lg-2+lg-2-lga+lgb+lgc.(13分)(2013鹤岗,g拟)设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.(1)求证：数列$不是等比数列；(2)数列8是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列Sn是等比数列，则S2=S1S3,即a2(1+q)2=a1a(1+q+q2),因为aw0,所以(1+q)2=1+q+q2,即q=0,这与公比qw0矛盾，所以数列Sn不是等比数列.(2)解当q=1时，Sn=na1，故Sn是等差数列；当qw1时，Sn不是等差数列，否则2S2=S1+S3,即2

19、ai(1+q)=a+a1(1+q+q2),得q=0,这与公比qw0矛盾.B级能力突破（时间：30分钟满分：45分）一、选择题（每小题5分，共10分） TOC o 1-5 h z 111（2013弹州一模）设a,b,c均为正头数，则二个数a+b，b+,c+-（）.A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2解析,a0,b0,c0,11,1,1,11a+b+b+c+c+a=a+a+b+b+. 九.A2=2 Ai,. 九.A2=2 Ai,_ 九一B2=2 Bi,sin C2=cos Csin/Ci ,一 九一C2=2 Ci.&A.sinA2=cosAi=sin2Ai,-一人.

20、_.冗不妨令sinB2=cosBi=sin/Bi,一._冗、.,一一那么，A2+B2+C2=2,这与三角形内角和为冗相矛盾.所以假设不成立，所以A2B2c2是钝角三角形.答案D二、填空题（每小题5分，共i0分）3.（20i3株洲模拟）已知a,b,户（0,+8）且1+9=i,则使得a+b以恒成立ab的N的取值范围是.i9解析,a,bC（0,+oo）且一十=1aba+b=（a+b）；+b=i0+9a+、i0+29=i6,.a+b的最小值为i6.要使a+b方以恒成立，需i6。乒i6.答案（0,i64.（20i2金华一模改编）已知下表中的对数值有且只有一个是错误的.x35689Igx2a-ba+cii+abc3(ia-c)2(2ab)试将错误的对数值加以改正.解析由2ab=lg3,得lg9=2lg3=2(2ab)从而Ig3和Ig9正确，假设Ig5=a+ci错误,则由i+abc=Ig6=Ig2+Ig3,Ig2=iac,覆行3iac=Ig8=3Ig2,Ig3