定积分第一节定积分的概念及性质

1、定积分第一节定积分的概念及性质第1页，共24页，2022年，5月20日，0点53分，星期三第一节一、定积分问题举例二、 定积分的定义三、 定积分的性质定积分的概念及性质 第五章 第2页，共24页，2022年，5月20日，0点53分，星期三一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成 ,求其面积 A .矩形面积梯形面积abxyo第3页，共24页，2022年，5月20日，0点53分，星期三观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？第4页，共24页，2022年，5月20日，

2、0点53分，星期三求曲边梯形的面积 (1)分割: ax0 x1 x2 xn1 xn b, Dxi=xi-xi1; 小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1xixi); (2)近似代替: (4)取极限: 设maxDx1, Dx2, Dxn, 曲边梯形的面积为 (3)求和:曲边梯形的面积近似为 ;第5页，共24页，2022年，5月20日，0点53分，星期三2 （求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值第6页，共24页，2022年，5月20日，0点53分，星期三（1）分

3、割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值第7页，共24页，2022年，5月20日，0点53分，星期三二、定积分定义 任一种分法任取总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数在区间上的定积分,即此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积 .记作第8页，共24页，2022年，5月20日，0点53分，星期三积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分变量用什么字母表示无关 ,即第9页，共24页，2022年，5月20日，0点53分，星期三定理1.定理2.且只有有限个间断点 (证明略)定积分存在的条件第10页，共24页，2022

4、年，5月20日，0点53分，星期三例1. 用定积分表示下列极限:解:第11页，共24页，2022年，5月20日，0点53分，星期三定积分的几何意义abxyo图51,在 上连续，oyabx图53第12页，共24页，2022年，5月20日，0点53分，星期三 既有正值又有负值时， 各部分面积的代数和第13页，共24页，2022年，5月20日，0点53分，星期三利用几何意义求定积分 解 函数 y1x在区间0, 1上的定积分是以y=1-x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形的面积. 因为以y=1-x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形是一个直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以 例2 习题： 利

5、用定积分的几何意义，说明下列等式：41102p=-dxx第14页，共24页，2022年，5月20日，0点53分，星期三对定积分的补充规定:说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小三、定积分的性质第15页，共24页，2022年，5月20日，0点53分，星期三性质1性质2补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.性质3（定积分对于积分区间具有可加性） 性质4第16页，共24页，2022年，5月20日，0点53分，星期三性质5推论1：（1）推论2：（2）第17页，共24页，2022年，5月20日，0点53分，星期三解令于是第18页，共24页，2022年，5月20日，0点53分，星期三证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6第19页，共24页，2022年，5月20日，0点53分，星期三解第20页，共24页，2022年，5月20日，0点53分，星期三证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积分中值公式第21页，共24页，2022年，5月20日，0点53分，星期三使即积分中值公式的几何解释：第22页，共24页，2022年，5月20日，0点53分，星期三内容小结1. 定积分的定义 乘积和式的极限2. 定积分的性质3. 积分中值定理矩形公式 梯形公式连续函数在区间上的平均