流体力学知识点总结

1、流体力学流体的本性质1) 压性流体是液体与气体的总称宏观上看体也可看成一种连续媒质弹性体相似，流体也可发生形状的改变，所不同的是静止流体内部不存在剪切应力是因为如果流体内部有剪应力的话流体必定会流动对静止的流体 来说流动是不存在的前所述用在静止流体表面的压应力的变化会引起流 体的体积应变，其大小可由胡克定律 p 描述。大量的实验表明，无论气体还是液体都是可以压缩的，但液体的可压 缩量通常很小。例如 00大气压下，每增加一个大气压，水的体积减少量不 到原体积的两万分之一样的条件下银的体积减少量不到原体积的百万分 之四。因为液体的压缩量很小，通常可以不计液体的压缩性。气体的可压缩性表 现的十分明显

2、如用不大的力推动活塞就可使气缸内的气体明显压缩在可 流动的情况下时也把气体视为不可压缩的是因为气体密度小在受压时体积还未来得及改变就已快速地流动并迅速达到密度均匀。物理上常用马赫数 来判定可流动气体的压缩性，其定义M=流速/声速，M，可视气体为不可压缩的。由此看出，当气流速度比声速小许多时可将空气视为不可压缩的，而当 气流速度接近或超过声速时气体应视为可压缩的在实际问题中若不考虑流 体的可压缩性时，可将流体抽象成不可压缩流体这一理想模型。2) 粘性为了解流动时流体内部的力学性质，设想如10.1.1所示的实验。在两个靠得很近的大平板之间放入流体，下板固定，在上板面施加一个沿流体表面切向的 F 。

3、此时上板面下的流体将受到一个平均剪应力F/A的作用，式中是上板的面积。实验表明，无论 F多么小都能引起两板间的流体以某个速度流动，这正是流 体的特征，当受到剪应力时会发生连续形变并开始流动。通过观察可以发现，在 流体与板面直接接触处的流体与板有相同的速度。若 10.1.1中上板以速度 沿方向运动下板静止，那么中间各层流体的速度是 （下板）到 u（上板）的 一种分布，流体内各层之间形成流速差或速度梯度。实验结果表明，作用在流体 上的切向力 正比与板的面积和流体上表面的速 u反比与板间流体的厚 l ，所 以F可写成 l，因而流体上表面的剪应力可以写成ul。式中ul是线段 aba的角速度或者说是单位

4、时间内流体的角形变。若用微分形式表示更具有普遍性，这时上式可以改写成dudl，或du dF dAdl。上式就是剪应力所引起的一维流体角形变关系式，比例系数称为流体的粘滞系数，上式叫做牛顿粘滞性定。 为常数的流体称为牛顿流体，它反映了切应力与角形变是线性关系，不是常数的流体称为非牛顿流体。流体的粘滞系数 滞系数的单位是牛顿是反映流体粘滞性的大小的物理量国际单位制中 秒/米所谓粘滞性是当流体流动时，由于流体内各流动层之间的流速不同起各流动层之间有障碍相对运动的内“摩擦”这个 内摩擦力就是上式中的切向力理学中把它称为粘滞阻力此上式实际上是 流体内部各流动层之间的粘滞阻力。实验表明，任何流体流动时其内

5、部或多或少的存在粘滞阻力。例如河流中心的水流动的较快，而靠近岸边的水却几乎不动就是水的粘滞性造成的。在实际处 理流体的流动问题时，若流动性是主要的粘滞性作用影响不大，则可认为流体 是完全没有粘滞性的，这种理想的模型叫做非粘滞性流体。3 ）压与压强从前面的讨论知道静止流体表面上没有剪应力，所以容器壁作用在静止流体 表面上的力是与液体表面正交的，按牛顿第三定律流体作用在容器壁上的力也与 容器壁表面正交，这一点对静止液体内部也成立。在静止液体内过某一点作一假 想平面，平面一方流体作用该平面的力也总是垂直于该假想平面。流体表面与流 体内各点的压力一般是不一样的，在流体表面压力的方向只能是垂直于液体表面

6、 ，而流体内部某点的压力沿各个方向都有，因为过流体内部一点我们可以取任意 方向的平面。在流体力学中为了描述流体内部的作用力，引入一个叫做压强的物 理量，规定压强是作用于流体内单位面积上垂直力的数值，它是一标量。为了计算流体内某一点的压强，我们应该设想通过该点的假想平面 面上的正压力为 F，则定义该点的压强s是无限小的，若该p 。在国际单位制中压强的单位是牛 / 也称为帕 a 示。在实际应用中 压强也有用等价的流体柱高表示的用测量血压的仪器就是用水银柱高作为 压强的单位。流体力学中压强是标量但力是矢量，面元的法向也是矢量。既然流 体内部的力总是垂直于假想平面可定义流体内某点力的方向与它所作用平

7、面的内法线方向一致，这样作用流体内任一面元上的力 F可写成 pds 。 由于流体内部每一点都有压强所以说流体内每一点都存在压力压力的方向 由所考虑平面的法线决定以是任何的方向流体流动时压强与压力的关系 不变。4流体的密度比重在流体力学中常用密度来描述流体的动力学规律，其定义和固体定义一样为 单位体积流体的质量，即流体内某点的密度为 dmlim dv。对均匀不可压缩的流体密度是常数情况下流体内部各点的密度是不相同 的。单位体积流体的重量称为流体的比重。设想在流体内部取一小体积 v， v 中包含流体的质量为 m，因而 v内流体的重量为 mg，由定义该流体的比重 。流体静学方程1静止流体内一点的压强

8、静止流体内过一点可以沿许多不同的方向取面元在来研究这些不同取向 的面元上压强有什么关系的流体内部取一个很小的四面体BC包围该点， 如图10.2.1所示。设面元 BC法线的方向余弦为 、 、 ，周围流体对该点作 用力（压力）可以用压 、P 、P P示，当流体静止时1 2 3所受到的合外力为零，即P 1 ABCP 2 OAC ABCP 3 OAB ABC因为 ABC ABC OAC ABC OAB由上式得到P = P = P = P 。1 2 3由于四面体是任意选取的，于是我们可以得出结论 静止流体内部任一点上 沿各个方向的压强都相等过这点所取面元法线的方向无关因为如此 体力学中压强只与流体内的点

9、对应而不必强调压强是对哪一个面的2流体静力学程处理流体静力学问题时，常常取流体内部一个小流体元作为研究对象。作 用在小流体元上的力大致可分为两类。一类是作用在小流体元外表面上的压力， 我们称之为面力，如液体表面的正压力 ds另一类是作用在整个小流体元上与 流体元的体积成正比的力，如重力 gdv、惯性力等，我们称为体力。下面从牛 顿定律出发推导流体静力学满足的普遍方程流体处于静止状态时体内任 一小流体元受到的面力与体力之和必定为零，即平衡条件为 面 体。与压强类似，我们引入一个体力密度f dF体dv，它yyy zxxyyzyyy zxxyyz表示作用在单位体积流体上的 体力如在只有重力作用下力密

10、度的大小 就是比重 g沿重力方向惯性力的作用下密度就是 a 为了建立流体静力学方程静止流体内部取如图0.2.2所示的立方体流体 元，根据平衡条件有 ) f x x x x (p ) f y zx y y y ) f 0z xy z xy z整理后得 f x yz x f y zx y f z xy z利用 x x x z xyz xyz可将前式简化成 ( x f ) f ) z f ) 显然体积 v0，所以只能是xzxz x f 0, y f 0, y f 。在上面的式子中取极限 任一点都必须满足的方程 0，就可得静止流体内 f z。借助梯度算符 i j k 上式可以改写成更简洁的形式，f 。

11、这就是流体静力学的普遍方程，它表明若流体内任一点的总体力密度等于该 点处压强的梯度则流体一定处于静止状态3 ）重场中流内部压强分i)体 我们先来讨论静止液体内部的压强分布。设液体的密度为放置在一长方形的容器内，液面的柱面高为z ，液体表面的压强为 如图10.2.3所示。0 0在重力场中液体受到的体力密度为 力学普遍方程得gk体静0,。由上述方程知液体内部压强与坐标 无关，只是深度的函数。积分第三 式得p = gz + ，0000当z=z 时P=P .故c=P + gz ，所以液体内部压强随深度变化的关系为 0 0 0 0P =g(z0z) + P = gh + P00 ,式中 液面下的深度。上

12、式表 止液体内部的压强只与距离液面下的 深度有关与液体内部水平位置无关ii)气体 讨论重力场中空气压强随高度变化的规律起见， 假定空气的温度是不随高度变化的而且空气可以看成理想气体。如果在地 面处空气的压强为P 、密度为00，则理想气体的状态方程可表示成P 0。以地面为坐标系原点所在处， z 垂直地面向上，由流体静力学方程dp=将理想气体状态方程代入上式消除gdz,。得到pdp p0，分离变量后p p pp ，完成上面的积分得p g 0p 0 0。所以压强随高度的变化 exp 0 这表明空气压强随高度的变化满足波尔兹曼分布 ，4帕斯卡原理如果将不可压缩液体放在一个密闭的容器内器上端与一个可移动

13、的活塞相连活塞对液体表面施加的压强为 时照重力场中液体内部压0强公式，在液面下深度为h处的压强为P = P + g h 。 0如果把活塞对液体表面的压强增大 P +0化，P ，液面下h深处的压强也会变 0按照液体内部压强公式，此时液体下h深处的压强变为P 0 0 这就是说当液体表面压强增加 大了P 时液体内任一 h是任意 压强也增 0P 此可以形象地说不可压缩液体可将作用在其表面的压强传递到液 0体内的各个部份包括存放液体的器壁一结论称之为帕斯卡原理早期 由帕斯卡从实验中总结出来的观点看它是流体静力学方程的一个推 论。5阿基米德定任何形状的物体置于密度为的液体中都会受到液体的浮力，浮力的大小等

14、于物体排开液体的重量。这是一个实验规律称为阿基米德定律。从现代 观点看，它也是流体静力学方程的推论。如图10.2.4所示全浸没在密度为 中。由于物体在液体中处的液体于平衡状态受到的浮力与同体积的液体所受到合外力相同，这样我们可以将此物体用同体积的液体置换，置换部份液体 受到的重力是 gdv使液体保持平衡围的液体必然对它有一个向上 的面力（浮力）作用于它。由流体静力学方程得ggk p，dp dz dxdydz ，或者dF 。积分后得 F =F合2F =F浮1F =1F =2gv. ，于是得到浮力大小 gv这就是说浮力是铅直向上的其大小等于物体排开液体的重量。密度为例一；在密闭的容器内盛满密度为1

15、的液钵，在液体中浸放一长为L、2的物体，如图10.2.5所示。设21，则它必定浮于液体表面，当容器以加速度a前运动时物体相对液体向哪一方向运动？ 解了弄清物体向哪个方向运动用同体积的液体置换物体。容器运动时，置换部分的液体必然与其它部份 保持平衡。若将容器取为参照系，可利用流体静力学方程 求出液体整体运动时内部压力分布。由 p,得fdpdx,dpdyf由于无沿y方向运动的可能性，故只讨论上式的第一个方程，其中f = 惯所以液体内部沿x轴压强分布为p=11a（c为常量液体相对其它部份液体静止时两端的压强差为 p=1La相应的压力差为F=1av(v为置换部份的体积 ，在所选择的参照系看来，合外 =

16、 F+F = av av=0，液惯 1 1体相对静止。对实际物体来说，受到的惯性力为 F =惯2av而物体两端的压力差不变仍然为 F，因此实际物体受到的合外力 =F+F = av惯 12av 0，由此可知，实际物体必然会相对液体沿x轴方向运动。例二度为的不可压缩液体置于一开口的圆柱形容器内此容器绕对称轴作高速旋转，求液体内压强分布和液体表面的形状。解容器为参照系时流体内任一流体元都受到 重力与惯性力的作用，相应的体力密度为 gk和 a由流体静力学方程 2xi 2yj，得到22y,。所以有 dx dy xdx ydy 1 2 ) 2积分后得 。如附图10.2.6所示，r=0时z=h (p 是液体

17、表面的压强) ，所c = p0 00+ gh，最后求得液体内压强分布p r 2 h)2。又取液体表面上任一点为研究对象，由于流体相对坐标系处于静止状态， 液体表面上任一点的合力必然沿曲线的法线方向或者说曲线的斜率满足下式dz r g。积分后 2 当r=0时z=h，故c=h。最后得到液体表面的曲线方程， 2g由此式知道液体表面为一旋转抛物线。，流体运学描述1流体运动分流体流动的分类有许多种，这里介绍经常遇到的几种。理想流体；流体流动过程中不计流体的内摩擦力，不计流体的体积压缩，把 流体看成是无粘滞性可压缩的理想模型此理想流体的流动过程是无能耗 的可逆过程定流动体内任何一点的物理量不随时间变化的流

18、动称为稳定 流动，这意味着稳定流动过程中，流体内任一点的流速、密度、温度等物理量不 随时间变化。例如在稳定流动时果流体内某点的速度是沿轴方向量值为3cm/s 在流体以后的流动中该点的流速永远保持这个方向与量值用v 分别表示流体内部速度度以及温度的分布稳定流动时满足 。反之若流体内任一点的速度不满足就说流动不是稳定的，例如变速水泵喷出的水流就是如此。均匀流动 流体流动过程中如果任意时刻流体内空间各点速度矢量完全相同空间位置的变化就称流动是均匀的式表示可写成 l表示沿任意方向求导数之某一时刻流体内部各点的速度不全相同的流动 称为非均匀流动。例如流体以恒定速率通过一均匀长管的流动是稳定的均匀流 动流

19、体以恒定速率通过一喇叭形长管的流动是稳定的非均匀流动体加速 通过一喇叭形长管的流动是不稳定的非均匀流动。层流与湍流；在流体流动过程中如果流体内的所有微粒均在各自的层面上作 定向运动就叫做层流于各流动层之间的速度不一样以各流动层之间存在 阻碍相对运动的内摩擦个内摩擦力就是粘滞力它满足牛顿粘滞性定律流 在低粘滞性速度及大流量的情况下是不稳定的会使各流动层之间的微粒 发生大量的交换从而完全破坏流动层流体内的微粒运动变得不规则种现 象叫做湍流，湍流发生时流体内有很大的纵向力（垂直流动层的力多 的能量损耗。有旋流动：在流体的某一区域内，如果所有微粒都绕着某一转轴作旋转就称 流体是作有旋流动。最直观的有旋

20、流动是涡流，但不是仅仅只有涡流才是有旋流动，物理上判断流体是否作有旋流动是用所谓的环量来刻画的。设想在流体内取一任意的闭合回路Cv沿此回路的线积分定义为环量 ，用公式表示就是 l c。流体内部环量不为零的流动叫做有旋流动，环量处处为零的流动称为无旋流 动。按照上面的定义，层流也是有旋流动，参见图0.3.0。2) 流与流管研究流体的运动以观察流体内微粒经过空间各点时的流速般情况 下体内各点的速度是随时间和空间位置变化的此流体内各点的速度分布 是时间与空间的函数，即v = v x, y, z, t )。物理学中常把某个物理量的时空分布叫做场，所以流体内各点流速分布就可 以看成速度场几何方法是引入所

21、谓的场线场中引入电力线， 磁场中引入磁力线一样流速场中可以引入流线线是这样规定的线为 流体内的一条连续的有向曲线每一点的切线方向代表流体内微粒经过该 点时的速度方向，图10.3.1（a）给出了几种常见的流线。一般情况下空间各点的流速随时间变化此流线也是随时间变化的 于流线分布与一定的瞬时相对应（参见图10.3.1况下，流线并不代表流体中微粒运动的轨道定流动中时间变化，此时流线才表示流体中微粒实际经过的行迹流线的切线表示流体内微粒运动的方向流线永远不会相交如果流线在空间某处相交就表示流体中的微粒经过该点时同时具有两个不同的速度，这当然是不可能的。如果在流体内部取一微小的封闭曲线，通过曲线上各点的

22、流线所围成的 细管 就称为流管，如1）所示。由于流线不会相交，因此流管内、外的流体都不具有穿过流管的速度，也就是说流管内部的流体不能流到流管外面，流管外的流体也不能流入流管内。3) 流流体力学中用流量来描述流体流动的快慢业上也称流量为排泄量想在流 体内部截取一个面A，定义单位时间内通过截面流体的体积为通过截面A的（体 积量图10.3.2.所示流体内部取一小面元A通过它的边界作一流管， 在流管上截取长度为流速v的一段体积，由于单位时间内该体积内的流体会全部 通过面元dA，所以通过面元dA的流量就是dQ vcos dA。如果把面元定义为矢 量法线方向为面元的正方向即d 那么通过面元dA的流量可以表

23、示 成dQ=v，而通过整个截A的流量就可以表示成更简洁的形式Q cos dA A A。t t dt 流体力基本方程1 ）一方程在流体内沿流管截取一小流体元，设在t时刻小流体元占有体积为V，边界为S。 按照它的体形在速度场中选取一假想体积，使得 时刻假想体积与截取流体元 的体积完全一致如图 0.4.1）所示。图中虚线表示实际的流体元，实线表示 假想的体积。流体会流动，其体积与假想体积之间会发生相对运动变成图 10.4.1.(b)所示的情况体元的一部分会穿出假想体积元的边界周围的流 体会流入假想的体积元体积内有流体流入也有流体流出。设是流体元所携带的某种物理量的总量，它可以是质量、动量，或者是能量

24、。 是单位体积流体中这种物理量的含量或者说是N的密度们来考查流体流动时理量随时 间的变化规律。注意到在 + t时刻流体元占据的体积是 I+，而在 t时刻占据的体积是I或+，因此在t到t+t时间内流体元所携带物理量N的变化量Nt Nt II IV It。在上式右侧加上零因子 t t III III重新组合，然后除以dt得 t 。上式的第一部分 dt I，是单位时间内假想体积内流体所携带量的变化率。第二部分的第一、二项分 别为 IVdtt vdA, IIIdtt ，表示单位时间内流入流出假象边界的物理量N，它们可以用密度对流量的积分给出。选择假想体积边界 来 假象界 A。将 上 果 方 dN A

25、dt 假体积 假边界。上式说明流体元的某个物理量 时间的变化可以化为假想体积内流体的物 理量N随时间的变化等于假想体积内对时间的变化偏导数上从该体 积边界流入N量的净增加值 。这是流体动力学的一个普遍规律，由此可以推出 流体动力学的几个重要方程。2连续性方程若考查流体流动过程中质量变化规律， N=m这时。由于流体流动过程中质量不变dt，一般方程式化为假想体积 A 假想边界。这就是流体力学的连续性方程（积分形式质量守恒出发得到的， 其意义为在一个假想体积中质量随时间的变化等于单位时间从其边界流 入该体积的净质量。利用体积分化为面积分的公式V ，连续性方程可化为V V)dV ，即V 。由于dV 0

26、，所以只能 上式就是连续性方程的微分形式，它对流体内任一点都成立 3能量方程如果我们讨论流体的能量变化，可 N=E，此时 流体的能量。由一般方程式得，式中 单位质量 edV Adt 假想积 假边界，上式就是流体内部能量满足的方程 表示流体能量随时间的变化可由假想 体积内流体能量随时间的变化与单位时间从边界流入假想体积内的净能量确定。4 ）动方程如果我们讨论的是流体动量如何随时间变化，可N=P此时 此关系代入一般方程可得流体力学的动量方程d dA dt 假体积 假边界。将其意义 体的动量随时间的变化率等于假想体积内流体的动量随时间的 变化加上从假想体积边界流入该体积中的净动量。5方程的应用i)作

27、为连续性方程的应用，考虑在流管中稳定流动的流体。由于流动是稳 定的线的位置不随时间变化流管截取一假想体积如图10.4.3示体积由流管的边界与上两个面1和2包围稳定流动时连续性方程退化成假想界 A 。这表明单位时间内通过假想体积边界流入流出的净 质量为零，由于管内外的流体均不能穿过管壁，所以流体 只能通过下截 1 入，上截 出。这意味着从截 1 流入的流体质量必定等于通过截面2流出假想体积的质量，即dA 1 1 dA2 2。如果用1及2分别表示截面 与截面2处的平均密度，用Q 、Q 表示通过截面1与截面2的流量，上式可以表示成更方便的形式 1 2 1 1 2，对于不可压缩的流体 12，上式退化为

28、 Q =Q 。1 2结果表明，不可压缩的流体在流动时，沿流管的任意截面上流量均相同， 它是质量守恒的必然结果。ii)作为动量方程的应用，考虑在一弯管中稳定流动的流体，如图 10.4.4 所 示。沿载流管截取一假想体积，该体积由载流管内边界与、2两个截面包围，同样地，对稳定流动有且任意一点流速 v= 常 量 ， 因 此 动 量 方 程 退 化 成dpdt假想边界 d )。由于在载流管的边界处流速v直于载流管的内表所以上式中对假象体 积的外表面积分实际上退化为对1、2两个截面的面积分d 1 d ) A S1 v111 A v222 A Q Q 1 1 22这里的1、2 1两个截面上的平均密度与平均

29、速度。如果 1 2流体是不可压缩的且流动过程中质量守恒，这时1=2= ，Q =Q = Q，1 2结果简化成ddt v ) 1。从图10.4.4看出载流管内动量的改变是由于管壁施加给流体作用力 的缘故大小与方向由上式决定此由牛顿第三定律可以得到结论体对 载流管的作用力也由上式决定，但作用力的方向相反理想流的流动1沿一条流线欧拉方程先来介绍流体力学中一个十分重要的方程欧拉方程，它是流体动力学的基本程之一。当无粘滞 性的流体稳定流动时，取流体内一根流线 S ，如图 10.5.1 示。沿流线截取一横截面为 dA ，长 ds 一小流体元。该流体元受到来自沿流线前、后两个 方向 ） (p ，力的方向沿着流

30、线的切向。这段流体元还受到重力的作用，其大小为mg =gdv ,方向竖直向下。设重力与流线之间的夹角为 向的投影为（见图10.5.1），则重力沿着流线切线方cos 。对所取的流体元，按牛顿第二定律写出沿流线切向的动力学方程就是 dv dv ，式中 流体元沿流线切向的加速度。将 得到 式中的切向加速度a可改写成g 比重。(1)表示，并消除上式 dva dt ，把上面的式子代回前面的式子1)就可以得到 v ，这就是沿一条流线的欧拉方程。对于稳定流动，欧拉方程退化成 v 0 。由于此时只有一个变量（空间变 的偏微分可用全微分代替，去 掉微分公因子ds后得 。2 ）柏利方程无粘滞性的流体稳定流动时一条

31、流线必定满足上式流体，由于不可压缩上式中的密度是常数上式沿流线积分意此时密度为常量就可以得到理想流体沿任何一条流线流动时必须满足的方程 1gz v 2数。上式就是著名的柏努利方程中的积分常数也称柏努利数是随着不同流线 而变化的。式中每一项的量纲都是单位质量的能量M2S-2。若将上式除以g，每项就成为单位重量的能量，即 2 。对液体来说，用上式比较方便。若用 g乘上式就得到1p 2 数 2，该式用于气体显得方便一些，因为对气体来说高度 z 变化往往是不很重要 的，在精度要求不很高的情况可将其略去，这样方程显得简单。现在来说明一下柏努利方程中各项的物理意义。第一 /是单位质量流体流动时对外做的功或

32、者流功就是单位质量流体对周围环境所做的功 了弄清这一点可参见图10.5.2装置个由叶片构成的涡轮放置在水槽下端的出水口处水流动时液体会对涡轮施加一个力矩使涡轮旋转用在 叶片上的力可近似地认为是压强乘以叶片的表面积A以压力作用中心到 涡轮转轴的距离r是作用在涡轮转轴上的力矩定叶片在t时间内转过d 角度，则力矩对涡轮做功dw PdArd。式 是压力中心位移的大小，将上式除以 d t 间内流出液体的总质量 dAds，就是单位质量的液体对涡轮所作的功pdA p 。第二项gz是单位质量流体的势能量为m的流体在重力场中提高z高 度时重力所做的功是mgz时流体的势能增加了mgz以单位质量流体的势能就是gz。

33、 v2/2项是单位质量流体的动能。因为质量为 m的流体以速度 运动时它具有动能是 mv2/2 故单位质量流体的动能为 2/2。从上面的分析可以知道，柏努利方程实际上是理想流体沿着流线运动时的能量方 程。关于柏努利方程的应用应注意下面几点所有的流线都源于同一流 体库，且能量处处相同，这时柏努利方程中的常数不会因流线不同而有所不同。 这时对所有的流线来说柏努力数都相同努力方程不限于对一条流线的应 用。b）在通风系统中的气流，若压强变化相对无气流时变化不大，这时气体可 以看成不可压缩的，柏努利方程仍可适用，不过气流的密度应取平均密度。 c) 对渐变条件下的非稳定流动努利方程求解的误差不会很大。 d)

34、对于实际流体的稳定流动先忽略流体的粘滞性柏努利方程得到一个理 想的结果，然后再用实验作一些修正，也就是说要加入能量损耗项。例题正沿着如附图所示的管内流动上端的直径为2米内流速 为3米/秒端的直径为1米流速为10米/秒流体可视为理想流体， 沿着流线压强不变，求管的上端相对地面的落差。解：沿管的中心取一条流线，按柏努利方程在流线的两端、2处122g2g122g2gv p v p 1 z 2 z 2g 2g 由已知P =P 所以1 21(z z (v 2 v 2 )2 。，设管上端与地面的落差为y，显然 y=z1z2，由此得到1y 2 v 2 ) 1。将v =3米/秒，v 米/秒代入上式，解得y=3

35、.64米。 1 2实际流的流动1斜面上稳定层流在实际流体的流动过程中必须考虑流体的粘滞性层之间的内摩擦力 使实际流体的流动变成不可逆过程，也造成流动过程中能量的损耗。现在考虑平行斜面的稳定层流，如图10.6.1所示平面的流速为v流动平行于斜面，下平面与斜面接触流速为零，整个流动层的厚度为a动层之间存在速度梯度分析方便，在流体内沿流动层隔离出一个高度为y、长度为dl位宽度的薄片状流体元图中央的长方块所示稳定流动条件 下此薄片以恒定速度 斜面向下流动。在流动过程中，该薄片状流体元一共受 到三个力的作用。a)平行于斜面方向的压力，其大小为（以流速方向为正方向）dp pdy dydldl dl。b)粘

36、滞力，薄片流体元上、下两面的剪应力，由牛顿粘滞力定律知其大小为 dydl) dydl 。c)薄片状流体元受到的重力大小为gdldy方向竖直向下重力与斜面法线的夹角为q，则重力在沿斜面方向分量就是dh dldy )dldydl。式中dl是流体元沿斜面的长度， 流体元两端距地面的高度差。由于讨论 的是稳定流动薄片状流体元沿斜面方向运动的加速度为零动力学方程就 是 dh dydl dydl )dldy 0 dy 将上式除以dydl，整理后得， (p dl另一方面，利用牛顿粘滞性定律。，可得 d 2 d (p dy 2 。式中(p+gh)与y无关只是沿斜面l 将上式对y积分一次后的函数，这是因为流体元

37、沿着y方向无运动。 y (p A dl，再积分一次就得到速度分布 A 2 (p 。式 A 是积分常数，利用边界条件 时 u=0 及 。可得 dA (p a dl将其代回到解式最后得到流体内部速度分布v 2 a 。如果层流的宽度不是一个单位而是任意宽度上式仍然成立，这是因为流动层 的速度与宽度无关可从方程中消除平面层流的速度分布函数可以看出体 沿斜面稳定流动时其内部的速度分布是抛物线形的着流速最大的流动层 并不在上表面而是在流体内部的某一 。将上式对y分可以求出流体沿斜面流 动的平均速度 d a 02，所以沿斜面稳定流动过程中每米宽度的流量 1 dQ (p 12dl2 ）圆内稳定层流当流体在圆管

38、内稳定流动时，由于流体的流动具有圆柱形对称性，故取一轴对称圆柱壳形的流体元作为研究对象，如10.6.2所示。圆柱薄壳的半径为r，壳的厚度 柱高 l 。作用在流体元前后两个面上的压力差为（以流速方向为正方向）dp 2 dl 。流体元内外两边界上受到的粘滞力为。 (2dr (rdr而流体元受到的重力大小为 2 它在沿圆柱管轴线方向的分量为 dl。对稳定流动来说流体元的加速度为零第二定律流体元的动力学方程 是dp dl ( r)dldr dl dl 。用2rdrdl除上式并整理得d (p dl r dr。同样(p+gh)不是r的函数，故可直接将上式对r积分，得到r 2 dl (r 。du式中A是积分

39、常数粘滞阻力 加速度u减小以 这里有一负号）将其代入上式整理后 r d A (p dl ，把上式对r再积分一次就得到圆管内稳定层流的速度分布r d A (p B 。特别地，若流体在内半径b，外半径a的圆柱形套筒之间流动，则必定满 足下列边界条件r=au=0及r=bu=0由此可定出式中的积分常数与B满足 2 2 a A ) (p 4 dl b，1 d a 2 B ln lnb所以圆柱套筒内流体速度分布。 d a (p 2 ln ) dl ln(a r。相应地圆柱套筒内流体的流量是Q d (a 2 ) (p 4 4 ln(a b)。例题 附图表示沿斜面下滑的层流，假如流 体的粘滞系 m= s/m

40、2 流体的密 r=850kg/m 利 用图中所给的数据求流体内的速度分布、平均流速、 每米宽度的流量，以及作用上平面的平均剪应力。解，A点处； B点处）因此 AP + gh = 800PaBddl(p 800 264003 2N 3又因为a=0.006m，上表面流速v= 1m/s. 由层流的速度分布公式1 u y (0.006y y 0.08)。最大速度由求出在y=0.0052m处处的速度为u =1.02m/smax米宽度的流量Q 0.006oudy 196y 2 3 0 3 / s平均流速Q u 0.72( a )。为求得上平面的剪应力，先求速度梯度dudy 0.006 所以上平面处的剪应力

41、du / 2dy负号表示剪应力是阻碍流体上表面流动的。3 ）稳层流的能量耗由于流体内部存在粘滞性，在流动过程中受到粘滞阻力的作用流体的能量会减少了计算一维稳定层流过程中能量的损耗流体内沿流动层取长 dx,为 y 位宽度的薄片状流体元作为研究对象，如图10.6.3所示。假定流体元沿 向流动其速度 ，距地面高度为h。如前所述，该流体元受到轴前后两个面的压力，重力，以及上下两面的粘滞阻力们可用功能原理分析流体元稳定流动过程中的能量损耗照前面的讨 论作用在流体元上前后两个面上压力差是dp 该压力差对流体元输入的功率为，dp ，因此压力差对单位体积的流体做的功率为dw dt 。的流体元的势能变重力做功负

42、值容易求得流体元相对于零势能面 高度变化为dh么重力对流体元做功重力对单位体积流体做功的功率dw dx dh dt dt dt dx。粘滞力对流体元做功情况稍稍复杂一点，因为流体元上下两个面的相对流速 不一样此上下两面的相对位移不同必须分开讨论以证明滞力对单位 体积的流体元做功的功率为dw du d 3 dy dy上式证明留给读者自行完成。，由于流动是稳定的流速不变因而动能不变照功能原理述三种 力做功之和就是流体的能量损耗。结合上面三式就可得到 d dh dp dx 。利用稳定层流的动力学方程化简上式最后三项就是 dy2。容易看出程中流体内部能量损失与各流动层之间的速度梯度有很大 关系是稳定层

43、流过程中沿着任意流动层所取流体元的功率密度损失计算 式流动层积分就可以得到总的损失功率面稳定层流条件下， 假定流线的长度为L流平面的高度为a(见图10.6.1)单位宽度层流所损耗 的功率是a ) dy (p a) dL 0a 3 L (p dL4泊肃叶方程将半径为a 的圆管水平放置使流体在管内作稳定层流内流体的速 度分布由下式确定r d A (p 。对水平放置的管 =0, A也必定为零，因为在管中央处 r=0流速要有限。此 时的边界条件为r=a（管的半径）时u=0, 由边界条件容易定出上面表达式中的 2 4dl，故水平管内的流体的速度分布 2 dp4 。结果表明管内流体的速度分布是一旋转抛物线

44、，如 0.6.6所示。管中心处 （r=0）层流的速度最大，其大小为max 2 。由于速度分布是旋转抛物线型的此圆 管 内 流 体 平 速 为 最 值 一 半 dp8，管内的流量Q u dp 。若用管的长度L与直径D表示上式，就可写成容易用实验测量的形式Q 4 128 ，。上面的第一个式子就是著名的泊肃叶粘滞性方程和泊肃叶分别独立地 用实验进行了验证公式与柏努利方程最明显的差别在于前者考虑了流体 的粘滞性为流体在水平管内连续流动时须在该流体两端存在压力差 按照柏努利方程水平管内稳定流动时(Dh=0)有压力差流体照样能连续 流动，相比较之下泊肃叶公式更接近实际流体5雷诺数当流体作稳定层流时，流体内

45、大多数分子的定向运动基本上是在某个薄层 状的平面内动层与相邻流动层之间只有少量的分子交换流动层之间的纵 向力是导致层流不稳定的根本因素起相邻流动层之间的分子进行动量交 换纵向力大到一定的程度时流动层之间的分子发生激烈交换全破坏 层流发展成一种无规则的流体运动湍流定流体内部出现的是层流还是 湍流呢？雷诺在18世纪提出了在什么情况下同然而类似的流体有相似的 动力学方程过研究两种几何形状完全相同的不同流体的流动诺指出要使 描述这些流体流动的动力学方程完全相同是这两种流体的一个无量纲的参数 ur)/m必须相同 里 u 流体的特征速度 是流动的特征长度、流体的密度、 是粘滞系数这个数被称为雷诺数R是 。

46、雷诺数给出了各种流体之间出现相似动力学规律的判据，它是相似性原理在流体力学中的体现。当一种流体的流动在某种条件会发生湍流，如果另一种流体在相同的条件下与这种流体的雷诺数相同，则另一种流体流动时也会发生湍流 。为了确定无量纲数的大小，雷诺设计了一个所图 示的实验。将一长为 的玻璃管水平放置其一端与一个大水桶相连，另一端接上一 开关璃管的入口处呈喇叭状与一个装满染料的喷嘴相连以看到玻璃 管内任何一点流体的流动情况诺取染料的平均速率为特征速度璃管的直 径为特征长度，于是 VD。当开关开的很小时流体的流动很慢，可以看到染料的流动呈直线状，这表明 流体的流动是稳定的层流着开关的逐渐开大料的流动出现上下摆

47、动 时染料的流动已变为非稳定的了开关进一步开大料速度及D增大到一定 的程度时料扩散到整个玻璃管中流出现了就是从层流变成湍流的图 像诺测得在出现湍流之前雷诺数R=2000来的研究工作进行了更仔细的测 定们将水先放上几天让它完全静止时造一个相对水完全静止的环境再进 行测量到的结果是R=4000个数叫做管流雷诺数的上临界数实际情况 来说上临界值没有什么实际意义内流体在雷诺数时就出现湍流了。雷诺在实验中还发现流管内一旦出现湍流欲使它重新回到层流只有 当R小于2000流体才能完全恢复到层流，这个数就叫管流雷诺数的下临界数。 这个数非常重要对不规则装置有重要意义验测得在各种不规则管内流动 从层流过渡到湍流

48、前的雷诺数在 000-4000一范围内。层流的能耗正比与流体 的平均速度，而湍流的能耗正比平均速度的到次方。雷诺数的重要意义是它提供了一个用一种流体的实验结果来预言另一种 流体在同样条件下可能会发生结果的科学方法外于湍流出现是依赖系统 的参数是一种无规则运动有人认为湍流也是一种混沌现象， 不过湍流问题在流体力学中还没有得到圆满的解决。流体对体的作用力1) 粘阻力、托克斯公式当物体在流体中以速度v运动时，通常把物体本身为参照系，这时流体以速 度 v相对物体流动果流体的速度不大可将其视为稳定流动体表面的流 动层叫做附面层粘附在物体的外表面相对物体静止层外侧的流动层相对 物体的流速不为零体周围流动层

49、之间存在速度差使得这些流动层之间有 湿摩擦个摩擦力就是前面讲的粘滞力物体在流体中运动时面层上的 粘滞力会阻碍物体相对流体的运动个阻力就叫做粘滞阻力般而言体 在流体中运动时所受到的粘滞力大小与物体的形状有关而且理论推导非常复杂， 这里我们直接给出英国数学家家斯托克斯在851年研究球形物体在流体中运动时所受到的粘滞阻力的计算公式 ，r中为球体的半径v为球体的运动速度， 是流体的粘滞系数当注意算球形物体在流体中受 到的阻力时仅在雷诺数很小时（小于 的情况下上式才是主要的，也就是说斯 托克斯公式适用于小物体在粘滞性大的流体内缓慢运动的情况如水滴在空气中下落过程中受到空气的阻力细胞 在血浆中下沉过程中受

50、到血浆的阻力等等都可用斯托克斯公式计算。2 ）压阻力随着了雷诺数的增加，斯托克斯公式已不能正确地描述物体受到的阻力， 为什么？我们以圆柱形物体相对流体运动为例加以说明图10.7.1示雷 诺数小于1时体正前方A点及后侧B点流速为零，这些点为驻点，物体周围的流线始终贴着圆柱体的表面不与之分离圆柱体前后两端的压强相同，受到的阻力仅仅只有粘滞阻力。当雷诺数增加到10 30柱体前端还是驻点处的流速仍为零于靠近圆柱体表面的流 体受附面层的影响较大流动缓慢附面层的流体受附面层的影响较小流动 快样靠近附面层的流体还没有到达圆柱体的后侧层的流体已抢先到达并 且回旋过来补充由于内层流体未到达所留下的空间，从而形成一对对称的涡流， 如图10.7.2所示时圆柱体后侧不再是驻点诺数大约在40左右流开始摆脱圆柱体漂向下流柱体后又不断的有新的涡流产生是在圆柱体后面出 现交替逝去的涡流，形成所谓的“卡门涡街”（参见 0.7.3体的流 动已经从稳定流动变为非定流动桥墩后留下的尾迹就是一个直观的“卡 门涡街”例子当雷诺数达数百时会出现湍流，此时的流动已经是三维的了。