微积分基础(国家开放大学)-第1章-第1节-函数概念

1、第1章 函数、极限、连续 1.1 函数的概念1.1.1 常量与变量1.1.2 函数的定义1.1.3 函数的特殊性质1.1.4基本初等函数1.1.5复合函数与初等函数11.1.1 常量与变量微积分是研究函数变化规律的学科，故我们先关注一下研究过程中的常量与变量。常量:在研究过程中始终保持不变的量变量:在研究过程中发生变化即可以取不同的量例如:密闭容器内的气体加热,气体的体积和气体的分子个数保持一定,是常量;气体的温度和压力是变量.常量与变量是相对而言的，并非确定不变的。所谓函数关系是指几个变量之间的某种确定的特殊联系方式。2常用区间表示方法：全体实数的集合记为R，全体自然数的集合记为N。其它常见

2、的实数集合表示方法如下：闭区间：a,b=x| axb开区间：(a,b)=x| axb半开区间：(a,b=x| ax b, a,b)=x| a xb注：以上a,b均满足a、bR,且ab,此时，这类区间称为有限区间;又当a、b中有一个为时,称无穷区间;显然R=(- ,+ )。a的邻域U(x0,)： U(x0,)=(x0-, x0+)，即|x-a|0；得原函数的定义域为x|1x4；14得原函数的定义域为x|2x2；15解要使函数有意义，必须使ax30，当a0时，ax30的解集为，不符合函数的定义，故不是函数.课后思考题16分段函数求定义域示例例3解f(x)的定义域为：0, 217几个特殊函数：符号函

3、数1-1xyo18几个特殊函数：取整函数取整函数 y=xx表示不超过x的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线19几个特殊函数：狄利克雷函数有理数点无理数点1xyo20几个特殊函数：取最值函数yxoyxo211.1.3 函数的特殊性质一.单调性二.奇偶性三.有界性四.周期性通过本节课的学习，了解函数的基本特性22函数的单调性当时,单调减少当时,单调增加设函数 f (x)的定义域为D，如果对于区间 I ( I D )内的任意两点x1、x2 ,当 x1 x2时,（1）恒有f (x1) f (x2)，则称函数y=f (x)在区间 I 上为

4、递增函数（2）恒有f (x1) f (x2)，则称函数y=f (x)在区间 I 上为递减函数（3）恒有f (x1) f (x2)，则称函数y=f (x)在区间 I 上为不减函数（4）恒有f (x1) f (x2)，则称函数y=f (x)在区间 I 上为不增函数递增函数、递减函数分别称为严格单调增加函数和严格单调减少函数，不减函数和不增函数分别称为单调增加函数和单调减少函数。有时，为叙述简单起见，对于严格单调增加（减少）函数也称为单调增加（减少）函数。23当堂测查疑缺 1231.已知函数f(x)x2，则()A.f(x)在(，0)上是减函数B.f(x)是减函数C.f(x)是增函数D.f(x)在(，

5、0)上是增函数D242.函数y 的减区间是()A.0，) B.(，0C.(，0)，(0，) D.(，0)(0，)解析函数y 的定义域为(，0)(0，)，但是其在定义域上不单调，它有两个单调减区间，应该写为(，0)，(0，).C123253.下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)的是()A.f(x)x2 B.f(x)C.f(x)|x| D.f(x)2x1B12326函数的奇偶性设定义域D关于原点对称，若xD,有f (-x) = f (x)成立,则称f (x)在D上为偶函数;若xD,有f (-x) = -f(x)成立,则称f (x)在D上为奇函数.偶函数(关于y轴对称)

6、yxox-x奇函数(关于原点对称)yxox-x27函数奇偶性示例如:(1)奇函数(2)偶函数(3)既是偶函数又是奇函数(4)既非偶函数又非奇函数28 函数奇偶性的应用例如图，给出了偶函数yf(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小.解f(3)f(1)，又f(3)f(3)，f(1)f(1).f(3)f(1).29反思与感悟本题有两种解法，一种是通过图象观察，f(3)f(1)，选用偶函数定义，得f(3)f(1)；另一种方法是利用偶函数图象的对称性.30 跟踪训练如图，给出了奇函数yf(x)的局部图象，则f(4)_.解析f(4)f(4)2.231函数的有界性设函数 f (x)在D上有定义.如

7、果存在一正数M,使不等式 | f (x)|M 对任一xD都成立,则称f (x)在D上有界;如果这样的M不存在，则称f (x)在D上无界。M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX32函数的周期性设函数f (x)的定义域为D,若存在常数T 0,使得对每一个xD,有 x+T D,且总有f (x+T)= f (x)成立，则称f (x)是D上的周期函数， 满足上式的最小正数T（如果存在）称为函数f (x)的周期。注意：通常说周期函数的周期是常指其最小正周期.33 1.1.4基本初等函数常数函数： y = C (C是常数)幂函数： y = x (是常数)指数函数： y = ax (a是常数且a0,

8、a1) 特别: y = ex对数函数： y = logax (a是常数且a0,a 1) 特别: y = lnx三角函数： y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx反三角函数：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx y=arcsecx y=arccscx以上六类16种函数称为基本初等函数。思考(那些是基本初等函数?)： y=sin3x, y=3x, u=lnv, y=2x, s=5, y=1/x34幂函数35指数函数36对数函数37正弦函数38余弦函数39正切函数40余切函数41正割函数42余割函数431.5 复合

9、函数和初等函数一.复合函数复合函数本身就是普通的函数,在这里加上前缀修饰词“复合”，是强调它们与其它一些函数的关系。44复合函数定义:若函数y=f(u)的定义域为U,而函数u=g(x)的定义域为X,且u=g(x)的值域包含在U中，则对X中的每一个x，通过u都有唯一的y与之对应，即y是x的函数, 记为： y=f g(x)。这种函数称为复合函数，其中u称中间变量。注意：不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的；复合函数也可由两个以上的函数经过复合构成(可以理解为函数间的一种运算)。难点：熟练分解复合函数45二.初等函数初等函数是微积分研究的主要对象之一，我们必须对它们有较清楚的认识。究竟那些函数是初等函数？它们有那些性质？46初等函数与简单函数初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成并且可以用一个式子表示的函数.简单函数：基本初等函数、或由基本初等函数只经过有限次的四则运算构成的函数。注意：一般来说，分段函数不是初等函数，但可用初等函数来研究它们。初等函数是高等数学的主要研究对象，我们应该非常熟悉它们，要求能正确将它们分解还原为基本初等函数或简单函数。47初等函数分解示例分解下列复合函数：(1)(2)(3)(4)48幂指函数设y=f (x)g(x) (其中f (x)