线性代数1no5ans几何与代数讨论课五线性变换

1、几何与代课（五）（线性变换Exercise 1 判断下面所定义哪些是线性变换，哪些不是(1) F3 上，(x1几何与代课（五）（线性变换Exercise 1 判断下面所定义哪些是线性变换，哪些不是(1) F3 上，(x1x2x3)T) = (x1x2x3x2x3x1)T(2) x ,x ,x ) )=x ,x x ,0) 3上T2T11(3) Fnx 上，(f(xxf(4) Mn(F) 上，(X) = BXCBC Mn(F) 阵(5)CC上的线性空间，(，C， 轭复数解(1) 是. 符合线性变换的定义(2) 否. 因+ y2 6= (x + 反例：(1,0,0)T + (1,0,0)T=不满足

2、线性性(200)T) = (400)T (100)T(100)T) = (200)T(3)否因为xf(x/ 不满足封闭性(4) 是. 符合线性变换的定义(5)否. 反例：i(i1 (iiExercise 2 举例说(1) L(V)， 0 不一定推出0 不满足数乘封闭性(2) 6= 解(1) V = R2(x1x2)T) = (x10)T，(x1x2)T) = (0 x2)T60 60. = (2) V = R2(x1x2)T) = (x10)T，(x1x2)T) = (x1x1x2)T，则 6= Exercise 3 Rx 上，定义两个线性变换(f(x)=f0(x), (f(x)=xf证明(1

3、) ， 变换(2) ()2 =22+.问：是不是Rx上的幂零变换？是不是Rnx 上的幂零变换证明(1) f (f(x) =(xf(x) =f(x)+xf(f(x) = (f0(x) = xf( )(f(x)=f(x)=(f证毕1(2) ()2(f(x) = (xf0(x) = x(f0(x)+xf00(x) = xf0(x)+x2f22(f(x) = ()(f(x) = ()(f0(x) = (xf00(x) = (2) ()2(f(x) = (xf0(x) = x(f0(x)+xf00(x) = xf0(x)+x2f22(f(x) = ()(f(x) = ()(f0(x) = (xf00(x

4、) = x2f(22+)(f(x) = x2f00(x)+xf0(x) = ()2(f证毕不是Rx上的幂零变换. 因为，对于任意nN，总存在一个mn，和 f Rmx，使得 n(f(x) 不是 0. Rnx 上的幂零变换. 因为，存m n，使得对f m(f(x) = Exercise 4 中，设线性变换 关于基1 = (1,1,1)T，2 F(101)T，3(011)T 的矩阵0 A1 1 2 (1) 关于基1 = (100)T，2 = (010)T，3 = (001)T 的矩阵(2) 设向 = 1623， = 123()() 关于123 的坐标解：(1) 由假设，110100(1,2,3) =

5、 (1,2,11于是1011(1,2,3) = (1,2,3)111110= (1,2,.11 关于基123 的矩阵为B，11 1 110 1 2 11B=1 0111 2(2) () 关于基123 的坐标为(y1y2y3)，0 1 1 2 107=6() 关于基123 的坐标为(z1z2 1 1 1 = (1,2,1 = , , 21122 3 1 0 1 =51 2 21Exercise5 3 1 0 1 =51 2 21Exercise5 F n维线性空间V 上的线性变换，12V 的一个基，则Im() = L(1),(2), ,问：(1) (1)(2) (n) 是不是Im() 的基(2)

6、 (1)(2) (n) Im() 的基的充分必要条件是什么解(1)不是. 因为可能(1)(2)(n) 并不彼此线性无关(2) (1)(2) (n) Im() 可逆. 明如下可逆 的矩阵表示A可 A的列线性无关(同构 (1)(2)(n)线性无 (1)(2) (n)为Im()的基Exercise 6 设线性空间V = ?X = xijR?，定(X) = ?X?1 1 121试证明V 的线性变换Im() ker() 的基和维数.(1) V ，且由矩阵乘法和数乘的性质，可知于, V, R,，有(+) = ()+() = () 成立(2) 可(X) = ?x11+x21x122x11+2x21+x12+

7、2x11+2x21+x12+x11+x21x12故可见Im() 中的元素有? 的形式，所以，可知Im() 的维a a 2，基为1 1 0 0 下面来求ker() 的维数和基。先?x11+x21x12x22=可以得到?x11+x21=x12+x22=ker() 中的元素? 的形式，所以，可知 Im() 的维ab2，基为31 001Exercise 7 R3 上，下列子空间是否是所给线性变 的不变子间(1)W =(a,a ,a,a ?, Exercise 7 R3 上，下列子空间是否是所给线性变 的不变子间(1)W =(a,a ,a,a ?, (a1,a2,a3)T) = (a2,a1,a3)TT

8、11212(2)W =,a,a ?, (a1,a2,a3)T) = (a2,0,0)TTR222解(1) 对于任(a1a20)T W1 (a1a20)T) = (a2a10)T W1 立，故W1 的不变子空间(2) a2 6= 0 时，(0a2W2 (0a20)T) = (a200)T / W2不是 的不变子空间Exercise8 设 是n 维线性空间V 的线性变换，且n10，n0，试证(1) 在某个基下的矩阵010.10(2) V0 的一个不变子空间，且a11a22akk V0, 1 kn, ak 60，则12k (3)0, L(1), L(12) , L(12 n1), V V 的全部 不变子空间证明(1) 先证存在向量 V 的一个基 V，使得 () n1() 线性无关，它再证该矩阵为在基n1()(