鸽巢原理单元教学设计

1、数学广角-鸽巢问题例1、例2。【教材分析】 鸽巢问题也被称为“抽屉原理”或“鸽巢原理”，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷提出来的，因此，也被称为狄利克雷原理。第一个例题教学，是抽屉原理的最简单情况，只要铅笔数比笔筒数多1，总有1个笔筒至少放进2支笔。掌握用枚举法和假设法两种思考问题的方法。通过前一个例题的两个层次的探究，让学生理解“平均分”的方法保证在最不利的情况保证“至少”的情况。第二个例题教学，是抽屉原理更为一般的形式，只要物体数比抽屉数多，带有明确的目的在进一步理解“尽量平均分”的基础上，让学生更准确地把握有余数的除法算式表示思维的过程。【学情分析】 “抽屉原理”

2、是一类较为抽象和艰涩的数学问题，对于六年级的学生来说，即使已具有一定的抽象思维能力，仍然还具有一定的挑战性。在开始探索阶段，可以采用枚举法，只需口头表达推理的过程。紧接着以直观方式出示假设法，先平均分，为什么平均分能保证至少的情况呢？在这里理解起来有点困难，这里要充分发挥合作学习的作用，引导学生尝试有逻辑地去推理，逐步把握其模式。【教学目标】1知识与技能：初步了解“鸽巢原理”的含义和特点，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。2过程与方法：经历鸽巢原理的探究过程,通过操作、观察、比较、列举、假设、推理等活动发展学生的类推能力,形成比较抽象的数学思维。使学生经历将具体问题“数学化”的过程，培养学生

3、的“建模”思想。3情感、态度和价值观：通过“鸽巢原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。【教学重点】 理解鸽巢原理，掌握先“平均分”，再调整的方法。【教学难点】 理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数1”。 理解“鸽巢原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。【教具、学具准备】 多媒体课件 扑克牌 活动记录表 每组都有相应数量的笔筒、铅笔。【教学过程】一、 创设情境、导入课题。1“魔术”表演：（师生PK）规则：一副牌，取出大小王，还剩52张，请一个同学随意抽一张牌，抽到自己想要的花色就算赢，赢了的同学有奖品哟！如果你们给老师一个机会，老师敢说第

4、一次就能赢，你们信不信？请5个同学随意各抽一张牌。抽到牌后藏好，等老师来猜。（抽牌，亮牌，统计）猜谜：老师肯定地说：“这5张牌中，至少有2张牌是同花色的。同学们：见证奇迹的时刻到了。老师猜的对不对？”2. 导入课题：刚才老师能够轻松取胜，这里面蕴藏着一个非常有趣的数学问题，这就是我们今天学习的“鸽巢问题”。（板书课题）这节课我们就来揭开这个秘密，因为52张扑克牌数量较大，为了方便研究，我们先来研究几个数量较小的同类问题。下面我们先从简单的情况入手。二、合作探究、发现规律。（一）探究活动一1课件出示：把3支铅笔放进2个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有多少支铅笔？把3支铅笔放到2个铅笔盒里

5、，有哪些放法？请同学们自己动手摆一摆。谁来说一说结果？预设：一个放3支，另一个不放；一个放2支，另一个放1支。教师根据学生回答在讲台上演示这两种结果。2. 强调不考虑放入的顺序：我们把第一个笔筒里放入2支笔，则另一个笔筒里放入1支笔，和第一个笔筒里放入1支笔，则另一个笔筒放入2支笔。我们把这两种情况当做一种放法，我们不考虑笔筒的顺序。3. 探究结果：不管怎么放，总有一个铅笔盒里至少有（）支铅笔。教师：“不管怎么放，总有一个铅笔盒里至少有2支铅笔”， 理解 “总有”和“至少”的意思。（二）探究活动二出示例1 把4支笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支笔。1.运用“枚举法”初步探

6、究。（1）把4支笔放进3个笔筒里，有几种不同的放法？自己动手在小组内摆一摆，画一画，说一说，把出现几种情况都记录下来。（学生分组探究，教师巡视指导，要求学生记录，然后汇报）（2）汇报展示不同的方法。 （学生汇报完后，教师用课件总述。）（3）讲解：像这样一一列举出来的方法，在数学上叫枚举法。（板书：枚举法）3通过比较，引导“假设法”。 启发：能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种情况也能得到这个结论？（学生分组讨论一下）4. 初步“建模”-平均分。引导：运用“假设法”先在每个笔筒里分1支，这种均等的分法，又叫什么分？为什么要一开始就要去平均分呢？（平均分，就可以使每个笔筒的笔尽可能少一点，也就有

7、可能找到和题目意思不一样的情况。）用什么方法计算？你能列式表示吗？板书：43=11 1+1=25.初探“鸽巢原理”的一般规律。追问：如果增加笔和笔筒的数量，又会怎样呢？出示（1）把5支笔放进4个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进几支笔？（2）把6支笔放进5个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进几支笔？（3）把100支笔放进99个笔筒里，不管怎么放,总有一个笔筒里至少放进几支笔？启发：“照样子，你能说一句这样的话吗？”提问：发现了什么规律？概括：只要笔的数量比笔筒数量多1,总有一个笔筒里至少放进2支笔。提问：难道这个规律只有在这种情况下才存在吗？如果余数不是,这个规律还存在吗？（三

8、）探究活动三1. 出示：把5支笔放进2个笔筒，总有一个笔筒至少放进多少支？放进3个笔筒呢？放进4个笔筒呢？2. 分组合作进行探究，做好记录。3. 分组汇报。4.建立模型。观察刚才的算式，你有什么发现？（出示课件）把叫做物体数，也就是被装的；把笔筒叫做抽屉数，也就是装东西的。引导学生得出“物体数抽屉数=商余数”被装的装东西的商余数“至少数=商数+1”。同学们发现的这一规律，其实就是一个非常著名的数学原理，也是我们今天研究的“鸽巢问题”，一起看大屏幕（介绍“鸽巢问题”的相关知识）三、运用模型、解决问题。1. 做一做：5只鸽子飞进4个鸽笼，不管怎么飞，总有一个鸽笼里至少有（ ）鸽子。2. 教师魔术揭

9、秘。3. 知识应用：我们教室里有30个同学，我们中至少有几个人的属相相同。为什么？4. 课后提升：给一个正方体木块的6个面分别涂上黄、蓝两种颜色。不论怎么涂至少有几个面颜色相同？四、课堂总结， 反思提升。通过这节课的学习，谈谈这节课你的收获。作业布置：课本71页练习十三第1、2题教学反思 鸽巢问题（例3）教学目标 1.通过观察、猜测、实验、推理等活动，寻找隐藏在实际问题背后的“鸽巢问题”的一般模型；体会如何对一些简单的实际问题“模型化”，并运用鸽巢问题原理加以解决； 2.在经历将具体问题“数学化”的过程中，发展数学思维能力和解决问题的能力，感受数学的魅力；同时，积累数学活动的经验和方法，在灵活

10、应用中，进一步理解鸽巢问题； 3.在解决问题的过程中，感受鸽巢原理在日常生活中的各种应用，体会数学知识与日常生活的紧密联系。教学重点 引导学生把具体问题转化为“鸽巢问题”，灵活运用“鸽巢原理”进行逆向推理，解决问题。教学难点 建立模型，利用“鸽巢问题”进行反向推理。教学流程 谈话 导入一、谈话引入 1.回忆鸽巢问题 你能用自己的话说一说什么是鸽巢问题吗？ 2.明确什么是抽屉、什么是物体 鸽巢问题就是：4只鸽子飞进3个鸽巢，总有1个鸽巢有2只鸽子。它也叫做抽屉原理。我们是把什么看作抽屉，把什么看作物体？ 3.揭题：在日常生活中，哪些问题和“鸽巢问题”有关？我们又该怎样运用鸽巢原理来解决问题呢？今

11、天我们就一起来探究“鸽巢问题”在生活中的应用。 【设计意图：本节课内容是“鸽巢原理”的具体应用，也是运用“鸽巢原理”进行逆向思维的一个典型例子。通过“鸽巢问题”的回顾，为本节课的问题解决和模型建立做好铺垫。】 探究 新知 （一）初次尝试，解决问题 1.出示例题，寻找信息 出示：盒子里有同样大小的红球和蓝球各10个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？学生读题并理解题意。 评价：通过寻找关键信息，理解了题目，很好。有红球和蓝球各10个，至少摸几个球保证一定有2个同色。 2.猜测结果，说理验证 教师引导学生猜一猜至少要摸出几个球，并进行说理验证。 不妨请你先猜一下，至少摸几个球呢？ 反

12、馈1：摸出两个球 我们先来看看摸两个球。摸出两个球有几种情况？能保证一定有2个同色吗？ 小结：摸2个球有3种情况。这里红红、蓝蓝两种情况都是符合的，但是出现了一红一蓝，因此不能保证一定有2个同色。我们要考虑最不利的情况，因此，不能保证一定有2个同色。 反馈2：摸出三个球 追问：摸3个球一定能保证吗？ 预设：我是准备两个抽屉，刚才最不利的情况是出现一红一蓝。把这两个球先放入抽屉，再抽一个球，就会出现2个球同色。 追问：为什么你要准备2个抽屉？两种颜色就是两个抽屉 发现规律并小结：当两个抽屉已经有1个球，再抽1个可能是红色，也可能是蓝色。无论什么颜色，总有一个抽屉会出现2个同色。所以答案就是抽屉中

13、原先放的2个球，再加上1个球。我们可以用2+1=3（个）来解决。 （二）独立操作，解决问题 在一定有2个球同色的基础上，学生尝试解决3个同色、5个同色、7个同色至少要抽几个球的问题。【操作要求】： （1）选择其中两种情况，自己开动脑筋想一想，算一算，有需要的同学也可以动手画一画。 （2）写好之后，先把你的想法在四人小组内进行分享。 反馈一:3个同色 你是怎么想的？ 预设1：我准备2个抽屉，先在抽屉中各放2个球，再摸1个球，就有一种颜色的球是3个，也就是3个同色。 评价：他结合着图形介绍得非常清楚。谁还能看着图来说一说。 追问：算式中“22”表示什么意思？先两个抽屉各放两个 为什么“1”呢？再抽

14、1个 小结：两种颜色就是两个鸽巢，考虑最不利的情形，每个鸽巢里各放2个球，第五个不管是什么颜色，保证有一种颜色的球是3个，也就是3个同色。所以需要22+1=5（个）。 反馈二：5个同色 追问：你的算式是？为什么先放4个？为什么最后再+1呢？ 反馈三：7个同色 追问：最后的结果是？计算对吗？我们可以怎样进行检验？ 评价：（出示：132=6（个）1（个） 6+1=7（个）根据昨天的知识，两种颜色的球，取13个总有一种颜色的球有7个。 （三）寻找规律，建立模型 在同学们的努力下，我们解决了这么多道题，请你仔细观察这几道题，你有什么发现？ 反馈：（1）你发现：他们都准备2个抽屉 （2）他发现：3个同色

15、，每个抽屉先放2个；5个同色，每个抽屉先放4个。每次抽屉里先放（同色个数1）个，再最后抽1个。 追问：为什么都要准备2个抽屉两种颜色的球看成抽屉 你能用一条算式概括一下吗？ 小结：我们先找到抽屉的个数，再根据最不利原则，每个抽屉先放同色个数1个，无论再放一个什么颜色的球，总会有一个抽屉满足情况。 【设计意图：通过将例题里盒子中篮球、红球数量增多到10个，将摸出2个、3个、5个、7个同色的球融合到一个大情境中，让学生在猜至少摸几个球一定有2个同色中确定什么是抽屉，明白最不利原则；之后，在图形的帮助下，独立探索3个、5个、7个同色，通过观察、对比、发现，初步建立模型：摸球个数=2（同色个数1）+1

16、。】尝试练习： （一）抽屉个数发生变化 1.出示题目： （1）盒内有同样大小红、黄、蓝三种颜色的球各5个，想摸出的球一定有4个同色的，至少摸出几个球？ （2）盒内有同样大小的红、黄、蓝、绿四种颜色的球各5个，想摸出的球一定有4个同色的，至少摸出几个球？ 2.活动要求： 自主读题，找准关键信息，理解题意，尝试解决。有需要的话可以借助图形，动笔画一画。写好的同学可以跟你的同桌先说一说。 3.交流反馈 反馈1：你的算式是？你是怎么想的？ 预设：准备3个抽屉，每个抽屉先放3个，再摸1个，就能保证一定有4个同色。 反馈2：“43”表示什么意思？为什么要1？ 考虑最不利的情况，每个抽屉先放3个，再抽1个，

17、无论是什么颜色，保证有一种颜色的球一定有4个同色。 4.对比、发现： 仔细观察这两道题，你有什么发现？ 同样摸4个同色，为什么答案确实不同的？ 小结：抽屉数不同，最不利的情况，是将每个抽屉先放满3个，无论再放一个什么颜色的球，总会有一种颜色的球一定有4个同色。 你也能用一个公式概括吗？摸球个数=抽屉数（同色个数1）+1 （二）比赛规则发生变化 在大家在摸球的时候，另一些同学也在摸球，不过规则发生了变化。请你来帮帮他们，动笔算一算。 1.出示题目： （1）盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2种颜色，至少要摸出几个球？ （2）盒子里有同样大小的红球、黄球、蓝球、绿球各4个，要想

18、摸出的球一定有2个黄球，至少要摸出几个球？ 2.交流反馈： 反馈1：这道题你是怎么想的？ 两种颜色相当于2个抽屉，要保证摸到的球有2种颜色，最不利的情况就是摸完一种颜色，再摸1个球。所以是4+1=5（个） 反馈2：“43”表示什么意思？为什么+2？ 有4个抽屉，最不利的情况是黄球一个都没有，放在最后抽，此时其他抽屉先放满。再抽2个就都是黄球了。所以至少要抽43+2=14（个）。 小结：仔细观察这两道，虽然摸球规则不同，但只要找到抽屉，并且分析最不利的情况，我们就能很好的将问题解决。 刚才，我们通过摸球游戏，一起探索生活中的鸽巢问题，只要找到什么是鸽巢，然后从最不利的原则进行分析，很快就能把问题解决。在解决问题的时候，也可以通过画图来帮忙。【设计意图：学生在一次建模之后，通过改变抽屉数巩固刚才的模型，同时将摸球的个数=抽屉数（同色个数1）1，让模型更加完整化。之后又增加两道不同规则的摸球，就是为了打破思维定势，让学生去寻找抽屉和从最不利原则出发去解决问题，掌握解决这类问题的本质。】