点、直线、平面之间的位置关系同步练习1

1、研卷知古今；藏书教子孙。(二)点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.【04安徽理】若二面角a -l - B为1200,直线mla ,则P所在平面内的直线与 m所成角的取值范围是(A)(00,900(B) 300, 600(C) 600, 900(D) 30 0 , 900北京I理】设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若 ， ，则 TOC o 1-5 h z 若 ， ，则若 ， ，则若 ， ，则其中正确命题的序号是A.和B.和C.和D.和北京春招L理一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为A.B.C.D.北京春招I理】两个完全相同的长方体的长

2、、宽、高分别为5cm, 4cm, 3cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是A.B.C.D.福建U理】如图，A、B、C是表面积为48兀的球面上三点，AB=2 , BC=4 ,/ ABC=60 , O为球心，则直线 OA与截面ABC所成的角是A . arcsin 史B . arccos史C. arcsin 史D. arccos走6.104福建U理】 已知m、n是不重合的直线，“、3是不重合的平面，有下列命题 TOC o 1-5 h z 若m=a,n IIa,则m“n;若m /a ,m /3,则a /3；若a A3 =n, m/n,则 m/a 且 m / 3

3、；若ma ,m3,则a 3.其中真命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 37.104湖南U理】把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD与平面ABC所成的角的大小为A. 90B. 60C. 45D, 308.【04湖北L理】已知平面汽与P所成的二面角为 80 , P为a、P外一定点，过点 P的一条直线与a、P所成的角都是30。，则这样的直线有且仅有9.1条【04全国n 理】距离为二，则球心22条3条已知球。的半径为1, A、B、O到平面ABC的距离为4条C三点都在球面上，且每两点间的球面(A) 3全国n75(B)昱3(C)正四棱锥的侧棱长与底

4、面边长都是60。45。(D)常31,则侧棱与底面所成的角为30全国IV 理】对于直线m、n和平面久,下面命题中的真命题是A.如果m u o(,n s a, m、n是异面直线，那么 naB.如果mu , n 辽 a,m、n是异面直线，那么 n与u相交C.如果mua,nct,m、n 共面，那么 m/nD.如果m/o(,n/a, m n 共面，那么 m/ n12.104全国IV 理】 已知球的表面积为 20元，球面上有 A、B、C三点.如果AB=AC=2 ,BC= 273 ,则球心到平面 ABC的距离为10取小 =(-1, -1,2)，则n0是一个与平面CiDE垂直的向量,向重aa =(0,0, 2

5、)与平面CDE垂直，,n0与AA所成的角6为二面角C -DE -&的平面角 TOC o 1-5 h z n0 *AAu -1 0-1 0 2 2.6.2.cosF =/ 飞 一二一.tani =|n0|x|AA| V1+1 +4XV0 + 0+432(II)设ECi与FDi所成角为3 ,则ECi *FDi _1 (-4) 3 2 2 2_ 冷| ECi | | FDi |12 32 22(-4)2 22 2214.【04江苏】 在棱长为4的正方体 ABCD-A 1B1C1D1中，。是正方形AiBiCiDi的中心,点 P 在CCi 上，且 CCi=4CP.(I)求直线 AP与平面 BCCiBi所

6、成的角的大小 (结果用反三角函数值表示)；(11)设0点在平面 DiAP上的射影是 H,求证:DiHXAP;(m )求点P到平面ABD 1的距离.解(1)/ APB = arctan17(2)略(3) 3 22.104上海L.春季】 如图，点P为斜三棱柱PM _LBB交 AAi于点 M , PN _L BB交 CC1于点 N .(1)求证：CC1 1MN ；(2)在任意AD E冲有余弦定理： DE2 =DF2 EF2 -2DF EF cos. D F .E拓展到空 间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧 面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式， 并予以证明.ABC -A1B1C1

7、的侧棱 BBi上一点, TOC o 1-5 h z 解(1)证：TCCiBBi= CCi_LPM , CCi_LPN , ：.CCi_L平面 PMN= CCi _LMN; HYPERLINK l bookmark60 o Current Document 2一 2一2一一(2)斛：在斜二梭柱ABC-Ai Bi Ci中，有Sabb1Al=Sbccibi+Sacc1Al2sBeciBiSACC1Al cosa,其中a为平面CgB但与平面CC1A1A所组成的二面角.丫 CCi _L平面PMN，二上述的二面角为 ZMNP,在妒MN 中，PM 2 =PN2+MN 2_2PN MN cos/MNP =PM

8、 2CC2 =PN2CC2 +MN 2CC22(PN CCi) (MN CCJcosZMNP ,由于 Sbcc1b1 =PN CC1 , Sacc1Al =MN CC1 , Sabb1Al =PM BBi ,，有 SAbB1A =SBcC1B1 +SAcC1A1 -2SBCC1B1 ，SACC1A1 C0S0t .【04辽宁】 已知四棱锥P-ABCD ,底面ABCD是菱形，/DAB =60*PD _L平面ABCD , PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点.(1)证明平面 PED，平面 PAB;(2)求二面角PAB F的平面角的余弦值.【解】 本小题主要考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概

9、念及余弦定理等基础知识，考查空间想象能力和推理能力。(1)证明：连接 BD. 丁 AB =AD,NDAB =60=. &ADB为等边三角形.丁 E是AB中点，,AB _L DE.丁 PD _L 面 ABCD , AB 仁面 ABCD , 二 AB _L PD.丁 DE 二面 PED, PDU面 PED, DE 口 PD = D,. AB，面 PED.Al；D, C丁 ABU 面 PAB,二面 PED _L 面 PAB.(2)解：: AB _L 平面 PED, PEU 面 PED, AB PE. 连接 EF, ； EFuPED,二 AB I EF.工/PEF为二面角P-AB-F的平面角.设 AD

10、=2 ,那么 PF=FD=1 , DE= J3.在 APEF 中，PE = 7, EF = 2, PF = i,cos PEF J 7)22 2. 7即二面角P-AB-F的平面角的余弦值为5.7i4侧面AiACCi.【04安徽理】已知三棱柱ABC AiBiCi中，底面边长和侧棱长均为6_L底面 ABC, AiB = a2(I )求异面直线 AC与BCi所成角的余弦值;(n)求证：AiB,面 ABiC.解(I )叵;5(n)略.6.104北京L文】 如图，在正三棱柱中，AB =2,B沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为M ,求：(I)三棱柱的侧面展开图的对角线长(II)该最短路线的长及的

11、值(III)平面与平面ABC所成二面角(锐角)的大小解本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、 逻辑思维能力和运算能力(I)正三棱柱的侧面展开图是长为6,宽为2的矩形其对角线长为(II)如图，将侧面使其与侧面动到点D的位置，连接于M,则在同一平面上，点B运绕棱 旋转就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点Ci的最短路线，其长为,故(III)连接DB,则DB就是平面与平面ABC的交线在 中DBC =/CBA . ABD =60： 30，=90。. CB _ DB又由三垂线定理得就是平面与平面ABC所成二面角的平面角(锐角)侧面是正方形故平面 与平面ABC所成的二面角(锐角

12、)为7.104北京春招L理】如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，SD垂底面ABCD由三垂线定理得 (II)解可以把四棱锥直于底面ABCD ,(I)求证；(II)求面ASD与面BSC所成二面角的大小；(III )设棱SA的中点为M ,求异面直线DM与SB 所成角的大小解本小题主要考查直线与平面的位置关系等基 本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力(I)证明：如题图底面ABCD是正方形DC是SC在平面 ABCD上的射影底面ABCD ,且ABCD为正方形补形为长方体，如图2面ASD与面BSC所成的二面角就是面与面所成的二面角,S SC -L BC, BC/A1S A SC-L A1S又为

13、所求二面角的平面角中，由勾股定理得中，由勾股定理得即面ASD与面BSC所成的二面角为图2。图%图如(III)解：如图3是等腰直角三角形又M是斜边SA的中点. DM_LSA，BA AD BA , SDH AD =SD面ASD , SA是SB在面ASD上的射影由三垂线定理得异面直线DM与SB所成的角为8.104福建理】在三锥S-ABC中， ABC是边长为4的正三角形，平面 SAC，平面 ABC , SA=SC=2 J3 , M、N 分别为 AB、SB的中点.(I )证明：ACXSB;(n)求二面角 NCMB的大小；(m)求点B到平面CMN的距离.解本小题主要考查直线与直线， 直线与平 面，二面角，

14、点到平面的距离等基础知识，考查空间想 象能力和逻辑推理能力.解法一：(I)取AC中点D,连结SD、DB. SA=SC , AB=BC ,AC，SD 且 AC，BD ,AC，平面 SDB,又 SBC 平面 SDB, .-.AC SB.(n ) AC，平面 SDB , AC u 平面 ABC , 平面SDB，平面ABC.过N作NE，BD于E, NE，平面 ABC , 过E作EFXCM于F,连结 NF,贝U NFL CM. /NFE为二面角 N CM B的平面角.平面 SAC,平面 ABC , SDXAC,SDL平面 ABC.又 NEL平面 ABC , NE / SD.一11 :.2_2 1 . S

15、N=NB , NE= _ SD= vSA AD =笃 12 4 = J2 ,且 ED=EB.222在正 ABC中，由平几知识可求得 EF= - MB=4,在 RtANEF 中，tan/NFE=_EN =272EF 面角 N CM B的大小是 arctan2j2. TOC o 1-5 h z 一22 3(出)在 RtNEF 中，NF= jef2+EN2 =二， 2Sacmn = CM , NF= - 33 , Sacmb = BM , CM=2 V3 . HYPERLINK l bookmark78 o Current Document 222设点B到平面CMN的距离为h, V B-CMN =V

16、 N-CMB , NE _L 平面 CMB，.二Sacmn , h= SCMB . NE, HYPERLINK l bookmark96 o Current Document 33=包=建.即点SCMN3B到平面CMN的距离为4. 2解法二：（I ）取AC中点O,连结OS、OB. SA=SC , AB=BC ,.小$0且人80.平面 SAS平面 ABC ,平面 SAC n平面 ABC=AC.SOABC,，SO，BO.如图所示建立空间直角坐标系O xyz.则 A (2, 0, 0), B (0, 2 V3 , 0), C (2, 0, 0),S (0, 0, 2 J2), M(1 , 73, 0

17、), N(0, V3,也).AC = (4, 0, 0), SB= (0, 2 r_ AC SB= (4, 0, 0) (0, 2J3 , .-.AC SB.(n)由(i)得 CM =(3,/3 , 0), MN = ( 1, 0, 22.).设 n= (x, y, z)为平面CMN的一个法向量，CM n=3x+ %3 y=0,则取 z=1 ,则Kx= 2 , y=- v1 6 ,MN n= x+ J2 z=0, n=( m12 , 66 , 1),又OS=(0, 0, 2/2)为平面ABC的一个法向量,cos(n,OS尸 n OS =1|n| |OS| 3，二面角1N - CM B 的大小为

18、 arccos-3(出)由(I )(n)得 MB = ( 1, 73 , 0), n= ( V6 , 1)为平面 CMN的一个法向量,点B到平面CMN的距离d=| n1 MBI = 4L2 |n|39.104湖北L理】如图，在棱长为1的正方体ABCD AiBiCiDi中，点E是BC的中点，点F是棱CD上的动点.(I)试确定点F的位置，使得 DiE,平面ABF;(H)当diE_L平面AB 1F时，求二面角 Ci EF A的大小(结果用反三角函数值表示)解本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识， 考查空间想象能力和推理运算能力.解法一：(I)连结 AiB,则AiB是DiE在面ABBiA;内的射影

19、ABiAiB,DiEXABi,于是 DiE,平面 ABiFU DiEXAF.连结DE,则DE是DiE在底面ABCD内的射影.DiEAFU dexaf. ABCD是正方形，E是BC的中点.当且仅当F是CD的中点时，DELAF, 即当点F是CD的中点时，DiE,平面ABiF.(II)当DiE,平面ABiF时，由(I)知点F是CD的中点.又已知点E是BC的中点，连结 EF,则EF / BD.连结AC ,设AC与EF交于点H ,则CHIEF,连结CiH,则CH是CiH在底面ABCD内的射影.CiHXEF,即/ CiHC是二面角Ci EFC的平面角.在 RtAC1CH 中, CiC=1 , CH= -A

20、C=，44,一C1C.tan/ CHC= CH1.=22,2AHC 1=二-arctan2 2 ./ CHC=arctan 2 V2 ,从而/故二面角C1EFA的大小为a -arctan22 .解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系(1)设 DF=x,则 A (0, 0, 0), B (1, 0, 0), D (0, 1, 0),/、,、,、1A1 (0,0, 1), B (1,0, 1),D1 (0,1, 1),E(1,-,Q), F (x, 1, 0)1. DiE =(12，-1),ABi =(1,0,1), AF =(x,1,0), DE Ab1 =1 -1 =0,即 D1

21、E _L AB1一 一 一1于是 D1E _L 平面 ABF u D1EUAF= D1E AF =0- x=02一一1 ,即x =万.故当点F是CD的中点时，D1E _L平面AB1F(1)当D1E,平面AB1F时，F是CD的中点，又 E是BC的中点，连结 EF,则EF / BD.连结AC,设AC与EF交于点H ,则AH，EF.连结CH，则CH是CH在底面 ABCD内的射影.-.C1HXEF,即/ AHC1是二面角C1一EF一A的平面角. TOC o 1-5 h z 3 3*11T 33pC1(1,1,1)H(-,-,0),. HC1 =(-,-,1),HA =(-,-,0).4 44 444-

22、*,3cos.AHC1=ACM -J|HA|HC1|19：93. 8 M 81、1即 AHC 1 = arccos( )=二- arccos-. 331故一面角Ci - EF -A的大小为：-arccos-.310.104湖南L理】 如图，在底面是菱形的四棱锥PB=PD= 42a,点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1.(I)证明PAL平面ABCD ;(II)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面 角9的大小；(出)在PC上是否存在一点 F,使BF平面 AEC ?证明你的结论.解(I)证明因为底面ABCD是菱形，/ABC=60 ,所以 AB=AD=AC= a, 在 PAB 中, 由 PA

23、2+AB 2=2a2=PB2知 PAXAB.同理，pax ad ,所以PAL平面 ABCD.(n )解 作 EG/PA 交 AD 于 G, 由PAL平面ABCD.知EG，平面ABCD.作GH，AC于H ,连结EH , 则EHLAC, / EHG即为二面角 日的平面角.PABCD 中，Z ABC=60 o,PA=AC= a,又 PE : ED=2 : 1 ,所以 EG =1a,AG =2a,GH = AGsin 60s = a. 333J-EG . 3.从而 t a n = = ,1 - 30 .GH 3研卷知古今；藏书教子孙。22(m)解法一 以a为坐标原点，直线 ad、ap分别为y轴、z轴，

24、过A点垂直平面 pad的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为.31- , 31A(Q0,0), B( a, - a,0),C( aa,0). HYPERLINK l bookmark86 o Current Document 2222 HYPERLINK l bookmark68 o Current Document 21D(0,a,0),P(0,0,a),E(0,-a,-a).3 3所以AP21?31 人、AE = (0, a, - a), AC =(a,a,0).3 32231= (0,0,a),PC =(a,-a,-a). HYPERLINK l book

25、mark45 o Current Document 22BP,31.= (- a,2a,a).BF HYPERLINK l bookmark5 o Current Document 31设点F是棱PC上的点，PF =7uPC =(a九,一aLa，J,其中。九1,则 HYPERLINK l bookmark3 o Current Document 2231、/ 31、=BP PF =( a,- a, a) (a 1 ,- a 1 ,-a 1)22=(3a(；-1),1 ad：；，)，a(1 一号).22令 BF=%AC + K2AE 得V3、 V3一a(九-1)= HYPERLINK l boo

26、kmark124 o Current Document 221、1 、，a(1 + 九)=a、 HYPERLINK l bookmark130 o Current Document 22，一、1 、a(1 一 九)=一 a%2.3解得12，1亦即，F是PC的中点时,2a 2, 312,2BF、AC、1 一=一时，BF2ae共面.1 一 AC23-AE.2又 BF值平面AEC,所以当F是PC的中点时，BF平面AEC.连结所以解法二 当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC ,证明如下, 证法一 取PE的中点 M,连结FM,则FM/CE. 1一 ，一EM = -PE = ED,知E是MD的中点. 2

27、BM、BD,设BDAC=O，则。为BD的中点. BM/OE.由、知，平面 BFM平面AEC.又 BFU平面BFM ,所以BF平面 AEC.证法二一. 1 1 ,因为 BF = BC -CP = AD - (CD DP)r 1 r 3 r 1 一ad -cd -de ad (AD - AC) 2223 r r一(AE - AD) 2所以 BF、AE、AC共面.又BF0平面ABC ,从而 BF平面AEC.=-AE -AC.研卷知古今；藏书教子孙。又 DM= -lACi=_2 , DM=C22iM, CDNA CCiMZ CDM= ZCCiM=90 ，即 CDXDM ,因为AiB、DM为平面BDMC

28、D,平面BDM内两条相交直线，所以11.104全国 H 理】 如图，直三柱 ABC-AiBiCi 中，/ACB=90o, AC=1,CB= J2 ,侧棱AAi = 1,侧面AAiBiB的两条对角线交点为 D , BiCi的中点为M .(I )求证：CD,平面 BDM ;(II )求面BiBD与面CBD所成二面角的大小.解解法一 ：(I)如图，连结CAi、ACi、CM, 则 CAi=V2 ,CB=CAi=T2,CBAi 为等腰三角形，又知D为其底边AiB的中点，CD AiB, A iCi=i , CiBi=亚，.= A iBi= y3 ,又 BBi=i,AiB=2 ,AiCB为直角三角形，D为A

29、iB的中点，iCD= - AiB=i , CD=CC i(II)设F、G分别为BC、BD的中点，连结 BiG、FG、BiF,则 FG/CD, FG=-CD. . FG=1, FGXBD. 22由侧面矩形BBiAiA的对角线的交点为 D,知BD=BiD=AiB=i ,2所以 BBiD是边长为i的正三角形，于BiGXBD ,321 / BiGF是所求二面角的平面角又 BiF2=BiB2+BF2=i+( )2= 3 . TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark137 o Current Document 223.2 .12BiG2 - FG2 -B1F2(V)(2). c

30、os/ BiGF= 1- = 222BiG *FG. 3 12 *- HYPERLINK l bookmark213 o Current Document 22即所求二面角的大小为兀-arccos 3解法二：如图以C为原点建立坐标系(I):B( 2 ,0,0),Bi( .2 ,i,0),A i(0,i,i),D( -22 ,；), 2,2 i iM( 22-,i,0),CD =(,3,3), AB =(d2 ,-i,-i), i i DM =(0, 2 ,-3), CD *AiB =0,CD *DM =0,.CDAiB,CD XDM.因为AiB、DM为平面BDM内两条相交直线,所以CD,平面B

31、DM3, 2 1 1 ,2 1 1、-,23 1、(II):设 BD 中点为 G ,连结 B1G,则 G (, ,), bd =( ， )，B1G = (,l ),44422 2444BD ,BG =。，. BD B1G,又 CDXBD ,cD与B1G的夹角e等于所求二面角的平面角,cos 二二CD .B1G所以所求二面角的大小为.3兀-arccos _12.104全国出理】 三棱锥P-ABC中，侧面 求证ABXBC ;(II)如果 AB=BC= 2 J3 ,求AC与侧面PAC所成角的大小.PAC 与底面 ABC 垂直，PA=PB=PC=3.解证明：取 AC中点O,连结PO、BO.PA = P

32、C POXAC又侧面PAC，底面ABC.POL底面 ABC又 FA=PB = PCAO=BO=COABC为直角三角形AB BC解：取 BC的中点为 M ,连结 OM,PM ,所以有 OM= 1AB= J3 , 2ao=-距拘2 +qV3)2 =76po = J pa2 - a。2 = V3由有POL平面 ABC,OM BC,由三垂线定理得 PMXBC 平面 POM，平面 PBC,又 PO=OM= 33 . .POM是等腰直角三角形，取 PM的中点N,连结ON, NC贝UONPM,又二.平面 POML平面 PBC,且交线是 PM,，ON，平面 PBC / ONC即为AC与平面PBC所成的角.ON

33、 =工 PM J (2 ，3)2 (2 3)2 = -,OC =、6 HYPERLINK l bookmark133 o Current Document 222ON 1二sin/ONC = 一 ，/ONC= . HYPERLINK l bookmark116 o Current Document OC 26故AC与平面PBC所成的角为113.104全国IV 理】 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8 ,AD=4 3 ,侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为(I)求四棱锥 P-ABCD的体积；(II)证明 PAXBD.60解本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线

34、所成的角等知识和空间想象能力、 分析问题能力.(I)如图1,取AD的中点E,连结PE,贝U PEXAD.作POL平面在 ABCD ,垂足为 O,连结 OE.根据三垂线定理的逆定理得OE，AD ,所以/ PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角, 由已知条件可知/ PEO=60 , PE=6,所以PO=3 33 ,四棱锥P-ABCD的体积1 一 一 一 一 一一VP ABCD =8 4.3 3.3 =96.(n)解法一：如图1,以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P (0, 0, 3也),A (2 V3 , - 3, 0), B (23 , 5, 0),D ( 23 ,3,0)所以 A

35、F BD.AE AB所以/ EAO+ / ADF=90因为直线AF为直线PA在平面ABCD内的身影，所以 PAXBD.14.如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、 点，截面DEF/底面ABC,且棱台DEF-ABC与棱锥 P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的 长度之和)(1)证明：P-ABC为正四面体；(2)若 PD= 1 PA,求二面角 D-BC-A 的2大小；(结果用反三角函数值表示 )E、F分别为棱长PA、PB、PC上的(3)设棱台DEF-ABC的体积为V,是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？ 若存在，请具体构造出

36、这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.【证明】(1)二.棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等, DE+EF+FD=PD+OE+PF.又截面DEF /底面ABC, . DE=EF=FD=PD=OE=PF, / DPE= / EPF= / FPD=60, .P-ABC 是正四面体.【解】(2)取BC的中点 M,连拉PM,DM.AM.BCPM,BC AM,，BC，平面 PAM,BC DM, 则/ DMA 为二面角 D-BC-A的平面角. 由(1)知,P-ABC的各棱长均为1,、3 , 一 一PM=AM= -J? D 是 PA 的中点，得sin / DMA= = , /

37、DMA=arcsin .AM 33(3)存在满足条件的直平行六面体棱台DEF-ABC的棱长和为定值 6体积为V.1设直平行K面体的棱长均为一，底面相邻两边夹角为a2则该六面体棱长和为 6,体积为-sin a =V82、2.正四面体P-ABC的体积是 h，0V 7,08V 2a在RtAPDB中，开二臂a . 2a.3a在 RtAEFD 中，sin EFD =生DF.23 a 3二2-=， . / EFD =一v6 23a3所以，二面角 C-PB-D的大小为一3方法二：如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点，设DC=a(1)证明：连结 AC, AC交BD于G,连结EGa a.依题意得 A(a,

38、0, 0), P(0, 0, a), E(0, 3, 2)底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故点 G的坐标为(9，月，0)且 2 2又定=(01 a，/2 a故PB DE =0 由已知EF _L PB,且22EF n DE = E，所以 PB _L平面 efdPB_ DE(3)解：设点 F 的坐标为(x0, y0, z0) , PF =KPB ,则(X0, y0, Z0a) = K(a, a, a)从而 X0=7总，y0 = 总，Z0=(1K)aa a11所以 FE=(X。，-y0, 2z)=(柏,(2九)a,(九?a)由条件EF 1 PB知，FE，PB = 0,即21212一柏十(

39、一 ?)a _(九 _)a =0,1解得人=_3.点F的坐标为(a a (3，3,FE u( a a -a) 3, 6，6 ，箓且a 2a3；PB FD =工03即PB _L FD ,故/EFD是二面角C-PB-D的平面角FE FD91822a ar =96IFE尸此 ,936 366|FD 1=22,2a a 4a999FE FD cosEFD =|FE | FD |,6a66,6a3ji . EFD =3所以，二面角 C PBD的大小为16 .【04天津文】 如图，在四棱锥PABCD中, 底面ABCD , PD=DC, E是PC的中点(1)证明PA平面EDB;(2)求EB与底面ABCD底面

40、ABCD是正方形，侧PD _L所成的角的正切值E，C .A【解】 本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力 和推理论证能力方法一：(1)证明：连结 AC、AC交BD于O连结EO底面ABCD是正方形.点。是AC的中点在APAC中，EO是中位线 PA/ EO而EO匚平面EDB且PA工平面EDB ,所以，(2)解：作EF _L DC交CD于F连结BF,设正方形 PD，底面 ABCDPD _L DCEF _LB面 ABCD , BF 为 BE 在底面 ABCD 与底面ABCD所成的角PA平面EDBABCD的边长为aEF / PD F为DC的中点内的射影,故/ EBF为直线

41、EB在 RtABCF 中,BF = . BC2 CF21 . EF PD 2在 RtEFB 中tanEBFEFBF25a2.5所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为方法二：如图所示建立空间直角坐标系,标原点设(1)DC =a证明：连结 AC, AC交BD于G连结EG依题意得A(a,0,0), P(0,0,a),D为坐Aa aE(0 , , )底面ABCD是正方形2 2G是此正方形的中心，故点 G的坐标为(9 a ,0) 2 2- PA = (a,0,；) EG 吗。-|)PA = 2EG 这表明 PA/ EG而EG匚平面EDB且PA/平面EDB PA/平面EDB(2)解：依题意得 B(a ,

42、 a, 0), C(0,a,0)a取DC的中点F(0,- ,0) 连结EF, BF FE =(0,0,2),而= (a,2,0),DC = (0 , a ,0)FE FB =0 , FE DC =0FE _L FB , FE .L DCEF _L 底面 ABCD , BF 为 BE 在底面 ABCD 内的射影，故/EBF为直线EB与底面ABCD 所成的角 a在 RtAEFB 中,FEtan EBF =里=f =FB 9a 52所以，EB与底面ABCD所成的角的正切值为和矩形ACEF所在的平面互相垂直,17.104浙江理】 如图，已知正方形 ABCDAB= J2 , AF=1 , M是线段EF的

43、中点(I )求证AM /平面BDE ;(n)求二面角 A-DF-B的大小；【解】方法(I )记AC与BD的交点为 O,连接OE,。、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，四边形AOEM是平行四边形，.AM / OEOEU 平面 BDE, AM S 平面 BDE, .AM /平面 BDE(n )在平面 AFD中过A作AS，DF于S,连结BS,. AB AF , AB AD , ADAF = A,AB，平面 ADF ,.AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BSXDF丁./ BSA是二面角 A-DF-B的平面角6在 RtAASB 中，AS =,AB = J2,tanNASB = V3,/ASB = 603，二面角 A-DF-B的大小为 60o(出)设 CP=t (0Wt 码2，作 PQXAB 于 Q,贝U PQ/ AD ,. PQXAB , PQXAF, AB , AF = A ,.PQ,平面 ABF, QE U 平面 ABF ,PQXQF在 RtAPQF中，/ FPQ=60o, PF=2PQ2 A PAQ为等腰直角二角形，PQ = (2 -t).2又APAF为直角三角形，PF =7(2 -t)2 +1 , j(2t)2 11 =2 彳2(2t