对一道高考题的多视角探究-兼谈数学核心素养的落实

1、对一道高考题的多视角探究兼谈数学核心素养的落实 新疆八师148团中学 陈永霞 2022年高考数学全国卷理科立体几何试题第二问与往年不同，具体表现为二面角的其中一个半平面的位置不确定，故无法计算该半平面的法向量，因此着力于确定该半平面的位置是本文要探究的问题. 1.问题呈现 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD,BAD=ABC=90O,E是PD中点， （1）证明直线CE/平面PAB; （2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45o，求二面角MABD的余弦值. 2.问题难点 求二面角的平面角的余弦值，常用的方法是向量法和几何法，然而

2、本题中不管用哪种方法，都要直面一个关键问题-确定二面角的一个未知半平面的位置，具体表现为用数量刻画点M在棱PC上的位置.如何刻画呢？这就取决于如何解读点M在棱PC上这一已知条件. 3.问题探究 3.1由M、P、C三点共线可设=，0,1 视角一：利用向量共线设倍数并设未知点M的坐标 解法一（2）由AD是两垂直平面PAD和ABCD的交线，ABAD可知， AB平面PAD,故如图建立空间直角坐标系A-, 令AD=2,则P（0,1,）,C（1,1,0）,B（1,0,0），设M（） 故=（-1）又底面ABCD的法向量可取=（0,0,1） =，整理得2=(-1)2+2 又=，即（,-1,-）=(,0,-),

3、得=,=1,=- 联立得=1-，故M（1-，1，），故=（-，1，） 又=（1,0,0），设平面BMA的法向量为，则,=（0，-，1） cos=，即所求二面角MABD的余弦值为. 视角赏析：章建跃教授讲过，与学生认知基础相适应的教学才是好数学教学.本题中，将M设为（）正是学生通常会首选的方法. 视角二：利用向量共线设倍数和三角形回路 解法二（2）由AD是两垂直平面PAD和ABCD的交线,ABAD可知， AB平面PAD,故如图建立空间直角坐标系A-,设=,0,1 , 令AD=2,则P（0,1,）,C（1,1,0）,B（1,0,0）, 故=（1,0,-）,=（,0,-）,=（-1,1,）, 得=+

4、=（-1,1, -）, 又底面ABCD的法向量可取=（0,0,1） =,解得=1-, 从而得=（-，1，）,又=（1,0,0）,设平面BMA的法向量为， 则,得=（0, -,1） cos=，即所求二面角MABD的余弦值为. 解后赏析：上述二者不同点是视角一引入的中间量较多，但视角一更符合学生的原生态感官；相同点是都利用了向量共线设倍数.如果说将已知条件点M在棱PC上转化为数量关系=,0,1，体现了逻辑推理数学素养，那么，作辅助线构造线面角求M点坐标则更是逻辑推理和数学运算数学素养的鲜活体现. 3.2由点M在棱PC上可知点M在底面的投影点位于棱PC在底面的投影线段上 视角三：作辅助线构造线面角求

5、点M的坐标 解法（3）取AD中点O,连接PO,CO,过M向底面引垂线，垂足为M且垂足M线段CO, 连接BM,则MBM=450，故MM=BM， AD是两垂直平面PAD和ABCD的交线，POAD PO平面ABCD，且四边形ABCO是正方形， 故如图建立空间直角坐标系O-, 令AD=2，有P（0,0,）,C（1,0,0）,B（1,-1,0），A（0,-1,0）， 在RTPOC中，由OC=1，PO=知PCO=60O 再令MM= k，则CM=k，OM=1-k，BM= k，解得k=， 从而知M（1-，0，）=（-，1，）,又=（-1,0,0）， 设平面BMA的法向量为，则=（0，-，1） 又底面ABCD的

6、法向量可取=（0,0,1） cos=，即所求二面角MABD的余弦值为. 解后赏析：若未能把三点共线转化为向量间的倍数关系，亦可在平面内作辅助线找出点M在底面的投影，从而确定出直线BM与底面ABCD所成角，挖掘推理出载体内部的数量关系，进而求得M点坐标. 视角四：作辅助线构造线面角和二面角的平面角 解法四（2）取AD中点O,连接PO,CO,过M向底面引垂线， 垂足为M,连接BM,则MBM=450，故MM=BM， 令AD=2，则OC=1，PO=,得PCO=60O再令MM= k，则CM=k, 又BM=k，解得k=，作MNAD，连接MN, 则MNAB,由三垂线定理可知，MNAB，M N M是二面角的平面角. 在RTM N M中，由M M=和N M=1可知tanM N M=， cosM N M=，即所求二面角MABD的余弦值为. 解后反思：视角四只需确定M点距离底面的高度，即可通过正切值求得余弦值，优化了解题结构，体现了直观想象、逻辑推理及数学运算等数学素养. 综上所述，学生数学核心素养的形成是一个长期的过程，要求教师在课堂上有意识加强培养，在平时举一反三，进行多视角探究和变式