高中数学基础知识回顾：向量-学生版

1、 / 10仁I高考数学基础知识回顾：向量基础知识基础知识一、向量的概念：(1)向量的概念：既有 大小又有方向的量.向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以任意平移)(2)零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： 0,注意零向量的方向是任意的；( 3)单位向量：长度为一个单位长度 的向量叫做单位向量；( 4)相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量；(5)平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反 的非零向量a、b叫做平行向量，记作： ab,规定零向量和任何向量平行;( 6)位置向量：起点为原点的向量.、向量的几何运算：1、向量的基本运算(1)向量的加法运算：三

2、角形法则和平行四边形 法则;(2)向量的减法运算：三角形法则；(减数指向被减数) ( 3)实数与向量的乘积：实数与非零向量a的积是一个向量，记作2、uur0,0,0,向量的数量积：r rga与a方向相同，长度为r rga与a方向相反，长度为r rga 0.gaga ( 3)实数与向量的乘积：实数与非零向量a的积是一个向量，记作2、uur0,0,0,向量的数量积：r rga与a方向相同，长度为r rga与a方向相反，长度为r rga 0.gaga (1)向量的夹角：对于两个非零向量 a和b,uuu如果以O为原点，作OAr uuua,OBuuu线OA与OB的夹角叫做a和b的夹角，的取值范围是0,r

3、( 2)向量的投影：b在a上的投影为| b | cos为向量a和b的夹角;(3)向量的数量积公式：a* = a|b cos2(aa2)( 4) a b的几何意义：a b等于其中一个向量 a的模a与另一个向量b在向量a的方向上r的投影b cos的乘积. 3、向量的夹角公式：cos4、向量的平行与垂直 ( 1)向量的平行： ( 1)向量的平行： ( 2)向量的垂直：a / b rrabagb5、平面向量分解定理:如果5、平面向量分解定理:如果u uue和e2是同一平面内的两个 不共线向量，那么对该平面内的任一向,有且只有一对实数ITuu,有且只有一对实数ITuu2e2 6、三点共线： ( 1)平面

4、上有A、B、C三点,uuu若ABuurBC R ,则A、B、C三点共线;uuuuuu ( 2)设OA OB不平行，点P在AB上 存在实数，使得uuuOPuuuOAuuuOB且向量的坐标表示与运算:1、向量的坐标表不： (1)i ： x轴正方向单位向量， j： y轴正方向单位向量; ( 2)向量的坐标表不：平面直角坐标系中,i , j为基底，则平面内的任一向量a可表不r rxi yjx, y，称x, y为向量a的坐标; ( 3)uurx2,y2AB (x2x1，y2 y1)2、向量的模 ( 1) ( 2)已知r,则 ( 2)已知r,则a的单位向量uuaor a r a3、向量的坐标运算：r (

5、1) arK,% ,bx2,y2x2, y1y2 ；r ( 2) aK,y1，x1，Vi；rr ( 3) axi,yi ,b X2,y2r ra* X1X2y1y2.4、向量的平行与垂直：r（ 1）向量的平行：ar（ 2）向量的垂直：arr rXi,yi,bX2,y2,a/bxy?x?yi; HYPERLINK l bookmark9 o Current Document rrrXi,yi,bX2, y2,a bX1X2y1y20 .5、定比分点:uuu uuu （1）定比分点公式：已知A（Xi,yi）、B（X2,y2）是直线上任一点，且AP PB（ R,1)，X令 P(x, y),则：Xi1

6、yi1X2y2x x 2yIi_22 （2）中点公式：若点 P（x, y）为A（Xi, yi）、B（X2,y2）两点中点，则 （ 3）重心公式:若点G x, y为ABC重心，且 A（。y）、Bd）、Cd*），XiX2X33yiy2y33题型与方法题型与方法一、向量的概念与运算（加法、减法、数乘）r r r r【例1】在下列命题中：（1）若a b ,则a b; （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终uuu uuiruuu LLIir点相同；（3）若AB DC ,则ABCD是平行四边形；（4）若ABCD是平行四边形，则 AB DC ; （5）若r r r r r rr r r r r r

7、a b,b c,则a c ； （6）若a/b,bc ,则ac .其中正确的是 .【例2】已知a 4,5 , b2,4，则 2a b =【例3】已知点A(1,3), B(4, 1),则与向量AB同方向的单位向量为()43 5 5C.3 4 43 5 5C.3 4 5 5D.5 5【例4】已知a (1,x), b (4,2)，若a b ,则实数x1【例5】如图：在梯形 ABCD中，AD/BC且AD BC , AC与BD相交 2uuu ruuirr r r uuu uuu于。，设 AB a,DCb,用 a,b 表示 BO ,则 BO=.unr2 unr2 PP2 ,求出P的坐标.【例6】在直角坐标系

8、内P1(4, 3),P2( 2,6)，点 P 在直线 P1P【例6】在直角坐标系内【巩固训练】.判断下列命题是否正确，并说明理由.若向量a与b同向，且|a|b|,则ab;若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;对于任意|a|=|b|,且a与b的方向相同，则 a=b;向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.设 x R ,向量 a (x,1),b (1,2),且 a b,则 |a b| .已知向量ak2,k 1 ,bk,4 ,若ab ,则实数k的值是uuu uur.已知A(3, 1),B( 4, 2), P是直线AB上一点，若2AP 3AB ,求点P的坐标.uur umr

9、5.有以下命题成立：设点 P,Q是线段AB的三等分点，则有 OP OQuuuOAuurOB .将此命题推广，设uuur uuuu点Ai, A2, A3,A4,A5是线段AB的六等分点，则 0Al OA2uuur uuuu uuurOA3 0A4 0A5uuu uurOA OB6.已知点 P、Q是 ABC所在平面上的两个定点，且满足 uuirujir|PQ|= |BC|,则正实数=uuruuurr uu uuuunruuurPAPC0, 2QA QBQCBC,若、向量的数量积向量数量积运算的基本方法：rr【例7】已知向量a 3, 4 ,b1、向量的分解；2、坐标法；3、向量数量积的几何意义.0,

10、 1 ,则向量a在向量b的方向上的投影是 【例8】平面向量a与b的夹角为60 , arr r1 , b (3,0)，则 2a b【例【例9】在边长为1的正方形ABCD中,M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EC EM的最大值为【例10】已知 ABC的外接圆的圆心为O , AC 6, BC7, AB 8,则 AO BCuuir2, AD uuir2, AD 1, BADuur uur60,则 AB BDuur.在平行四边形ABCD中，若ABr r ur u r r.已知向量a与向量b , a 2 , b 3 , a、b的夹角为60 ,当1 m 2, 0 n 2时,r rma nb 的最大值为

11、.uuuu uuirLUU 一BC的值是.在Rt ABC中，AB AC 3, M , N是斜边BCLUU 一BC的值是LJUIU.如图，在圆。中，若弦AB =3,弦AC = 5,则f.三、向量的应用（一）三点共线的应用；（二）三角形“四心”：JGA GB GC 0 G 是 ABC 的重心.uuu2. APuuu2. AP0） P经过ABC0） P经过ABC的内心.L!3. OA OB OC。为ABC的外心.4. HA HB HB HC HC HAH为ABC的垂心.uuurAMur uu【例uuurAMur uu【例12】设e,e2是平面内两个不共线的向量,uuirur uuunrAB (a 1

12、)e e2 , ACiruube 2e2 , a 0,b 0.若M、N两点，且【例11】已知点G是 ABC的重心，过G作直线与ABM、N两点，且uur uuiruuuxvxAB,AN yAC ,则-x 的值为x y-1 2A,B,C三点共线，则一的最小值是 a buiruur uuu uuu【例13】已知同一平面上的向量_PA, PB, AQ, BQ满足如下条件：uiuuuuuuruur uurAB AQuur | PAPB | | AB |2 ， -uurr-uurrBQ0| AB| |AQ|uuu uuu uuu uuuuuu;| AB AQ | | AB AQ |,则| PQ |的最大值

13、与最小值之差是【巩固训练】1 .如图，在 ABC中，点。是BC的中点，过点。的直线分别交直线 AB,uurACuurAC于不同的两点M , N ,若AB2.已知点uuu且 2a OA。是ABC的重心,uuir 2 3 uurb OB c OC3内角 2.已知点uuu且 2a OA。是ABC的重心,uuir 2 3 uurb OB c OC3内角 A B、C所对的边长分别为 r0 ,则角C的大小是.a、b、c,零向量、向量的夹角【例1】已知点A 1,3 , B 4, 1 ,则与AB共线的单位向量为【变式训练】4-1.与a 8, 15垂直的单位向量为- a b- a b2.已知向量p -c均为非零

14、向量，则口的取值范围是【例2】设 为两个非零向量a、b的夹角，已知对任意实数，b ta的最小值为1,则 （）=!=ihA、若 确定，则a唯一确定 B、若 确定，则B唯一确定C、若口确定，则 唯一确定 D、若忖确定，则 唯一确定【变式训练】.已知向量a e, e 1满足：对任意t R,恒有at, a ，则（）Irf-I-*-frIrTf-I-+A、aeB、aaeC、ea eD、aeae.已知a 2,1与b 1,2 ,要使a tb最小，则实数t的值是.已知 是向量a、b的夹角，且对任意的t R, b ta的最小值为1,则b 【例3】在 ABC中，过中线 AD中点E任作一直线分别交 AB、AC于M、

15、N两点，设AM xAB ,AN yAC xy 0 ,则4x y的最小值是 【变式训练】.在 ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN AB AC ,则 的值为 一.在 ABC中，点O是BC的中点，过点。的直线分别交直线 AB , AC于不同的两点 M , N ,若AB mAM , AC mAN ,则 m n的值为.已知等差数列an的前n项和为若OB aOA a2ooOC ,且A、B、C三点共线（该直线不过原点O ）,则S200 .已知在平面直角坐标系中，A 2,0 , B1,3 ,。为原点，且 OM OA OB （其中均为实数），若N 1,0 ,则MN的最小值是 【例4】已知a ,

16、 b , c分别为 ABC中 A , B , C的对边，点G为 ABC的重心，且a GA b GB c GC 0,则 ABC为 （）A、等腰直角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形【变式训练】.已知。为ABC所在平面内一点，满足 OB Oc| OB OC 2OA ,则 ABC一定是（）A、A、等腰直角三角形B、直角三角形 C、等腰三角形D、等边三角形.已知 ABC,若对任意 t R, BA tBC AC ,则 ABC ()A、必为锐角三角形B、必为钝角三角形 C、必为直角三角形D、答案不确定- 23.在 ABC 中，若 AB AB AC BA BC CA CB ,则 ABC

17、是（）A、等边三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、直角三角形4.已知非零向量AB与AC满足ABABACBCDD、等边三角形A、三边均不相等的三角形B、直角三角形 C、等腰非等边三角形【例5】若点P为ABC所在的平面内一点，并且满足一OB 0C0P 2ABAB cos BACAC cosC0 ,则点P的轨迹经过 ABC的（）A、重心B、垂心C、内心D、外心1.已知 ABC的三内角A、B、C所对边的长依次为 a、b、c, M为该三角形所在平面内的一点，若aMA bMB cMC 0,则 M 是 ABC 的（A、重心B、垂心 A、重心B、垂心 C、内心 D、外心2.,222.已知O为 ABC所在平面内一点，满足OA |bc|ob的（）CA2. 2 2oc|aB，则 o为ABCA、重心B、垂心 C、内心 D、外心3 .3 .已知O是平面上一定点，A、 B、ABOPOAAB sin BAC0AC sin C，