高考数学理一轮复习教案第八篇立体几何第6讲空间向量及其运算

1、第 6 讲 空间向量及其运算【2022 年高考会这样考】1考查空间向量的线性运算及其数量积2利用向量的数量积判定向量的关系与垂直3考查空间向量基本定理及其意义【复习指导】空间向量的运算类似于平面对量的运算,复习时又对比论证,重点把握空间向量共线与垂直的条件,及空间向量基本定理的应用基础梳理 1空间向量的有关概念 1空间向量：在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量2相等向量：方向相同且模相等的向量3共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合的向量4共面对量：平行于同一个平面的向量2空间向量的线性运算及运算律 1定义：与平面对量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算,如下：O

2、B OA AB ab；BA OA OB ab；OP aR2运算律： 1加法交换律： abba. 3加法结合律： abcabc4数乘安排律： abab. 3空间向量的数量积及运算律 1数量积及相关概念 两向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 OA a,OB b,就 AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 a,b,其范畴是 2,就称 a 与 b 相互垂直,记作ab.两向量的数量积0a,b,如 a,b已知空间两个非零向量a,b 就|a|b|cosa,b叫做向量 a,b 的数量积,即ab|a|b|cosa,b2空间向量数量积的运算律 结合律： abab；交换律： abba；安排律

3、： abcabac. 4基本定理1共线向量定理：空间任意两个向量 ,使 ab. a、bb 0, a b 的充要条件是存在实数2共面对量定理：假如两个向量 a,b 不共线, p 与向量 a,b 共面的充要条件是 存在实数 x,y 使 p xayb. 3空间向量基本定理：假如三个向量a,b,c 不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯独的有序实数组一种方法x,y,z,使 pxaybzc. 用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：1适当的选取基底 a,b,c；2用 a,b,c 表示相关向量；3通过运算完成证明或运算问题两个懂得 1共线向量定理仍可以有以下几种形式：ab. a b；空间任意两个向量,共

4、线的充要条件是存在,R 使 ab. 如OA ,OB 不共线,就 P,A,B 三点共线的充要条件是 OP OA OB 且 1. 2对于共面对量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习懂得空间向量基本定理是适当选取基底的依据,共线向量定理和共面对量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具,三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完善“ 嫁接 ” 四种运算空间向量的四种运算与平面对量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全 一样可类比学习同学要特殊留意共面对量的概念而对于四种运算的运算律,要类比实数加、减、乘的运算律进行学习双基自测1已知向量 a

5、平面 ,向量 a 所在直线为 a,就 Aa Ba. Ca 交 于一点 Da 或 a. 答案 D 2人教 A 版教材习题改编 以下命题：如 A、B、C、D 是空间任意四点,就有 AB BC CD DA 0；|a|b|ab|是 a、b 共线的充要条件；如 a、b 共线,就 a 与 b 所在直线平行；对空间任意一点 O 与不共线的三点 A、B、C,如OP xOA yOB zOC 其中x、y、zR,就 P、A、B、C 四点共面其中不正确命题的个数是 A1 B2 C3 D4 解析 中四点恰好围成一封闭图形,正确；中当 a、b 同向时,应有 |a|b|ab|；中 a、b 所在直线可能重合；中需满意 xyz

6、1,才有 P、A、B、C 四点共面答案C 32022 福州质检 ab 是实数 是 a 与 b 共线的 A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析ab. a b但b0,就 a b,a b. a 0,答案A 42022 舟山月考 平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中,向量 AB 、AD 、 AA1 两两的夹角均为 60,且 |AB |1,|AD |2, |AA1 |3,就 |AC1 |等于 A5 B6 C4 D8 解析 设AB a,AD b,AA1 c,就AC1 abc,AC1 2a 2b 2c 22ab2bc2ca25,因此|AC1 |5. 答案 A 5在四周体 O

7、-ABC 中, OA a,OB b,OC c,D 为 BC的中点, E 为 AD 的中点,就 OE _用 a,b,c 表示解析 如图, OE 1 2OA 1 2OD 1 2OA 1 4OB 1 4OC 1 2a1 4b1 4c. 答案 2a1 4b1 4c考向一 空间向量的线性运算【例 1】.如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1 中 G 为 A1BD 的重心,设 AB a,AD b,AA1 c,试用 a,b,c 表示AC1 ,AG . 审题视点 正确运用空间向量的加法运算用已知向量表示出未知向量解 AC1 AB BC CC1AB AD AA1abc. AG AA1 A1GAA1 1 3A

8、1D A1B AA1 1 3AD AA1 1 3AB AA1 1 3AA1 1 3AD 1 3AB1 3a1 3b1 3c. 1通过以上表示可以看出 AC1 3AG 即证明： A、G、C1 三点共线 G 为AC1 的三分之一分点2解决几何问题的难点是作帮助线,而利用向量解决几何问题恰好回避了这一难点问题,把证明转化为运算【训练 1】 如右图,已知M、N 分别为四周体ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心,且 G 为 AM 上一点,且 a,b,c 表示BG ,BN . GMGA13.设AB a,AC b, AD c,试用解 BG BA AG BA 3 4AMa1 4abc 3 4a1 4b

9、1 4c,BN BA AN BA 1 3AC AD a1 3b1 3c. 说明 此问题事实上解决了 B、G、N 三点共线问题,同学们可以通过此题想象正四周体外接球和内切球的球心位置考向二 共线共面定理的应用【 例 2 】 . 如 右 图 , 已 知 平 行 六 面 体ABCD-ABCD, E 、 F 、 G 、 H 分 别 是 棱AD 、DC 、CC 和 AB 的中点,求证 E、F、G、H 四点共面审题视点 四点共点,考虑构造有关向量,然后利用共面对量定理证明证明 取ED a、 EF b、 EH c,就 HG HB BC CG D 2ED 1 2AAba2a1 2AH HE EA ba1 2b

10、 aca3 2b1 2c,H G与 b、c共面即 E、F、G、H 四点共面证明 E、F、G、 H 四点共线,只须证明HG EF EH 即可,即证HG 、EF 、EH 三个向量共面此种方法也是证明直线与平面平行的方法【训练 2】 如图在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为 BC 边上的中点,试证 A1B 平面 AC1D. 证明 设BA a,BB1 c,BC b,就 BA1 BA AA1BA BB1 ac,AD AB BD AB 1 2BC a1 2b,AC1 AC CC1 BC BA BB1 bac,BA1 AC1 2AD , AB.平面 AC1D,因此 A1B 平面 AC1D. 考向三 空

11、间向量数量积的应用【例 3】.如图,在四周体 S-ABC 中,如 SABC,SBAC,试证 SCAB. 审题视点 可通过证明两直线的方向向量的数量积为0 来证明两直线垂直证明 取SAa,SBb,SCc,由已知 SABC,SBAC,a cb 0 即b ca 0 得 cba0,就 SCAB. 利用空间向量的基本定理适当的选取基底,将立体几何问题转化为已知a cb 0,b ca 0,求证 cba0 “ 三回避了传统几何法中作帮助线这一难题以上证法同时也证明白平面几何中角形的三条高线交于同一点” 这一命题【训练 3】 已知如右图所示,平行六面体 形,且 C1CD C1CBBCD60. 1求证： C1C

12、BD；ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱2当CD CC1的值是多少时,能使 A1C平面 C1BD？请给出证明1证明 取CD a,CB b,CC1 c,由已知 |a|b|,且 a,b b,c c,a 60,BD CD CB ab,CC1 BD ca bcacb1 2|c|a|1 2|c|b|0, C1C BD ,即 C1CBD. 2如 A1C平面 C1BD,就 A1CC1D,CA1 abc,C1D ac. CA1 C1D 0,即abc ac0. 整理得： 3a 2|a|c|2c 20,3|a|2|c|a|c|0,|a|c|0,即|a|c|.即当CD CC1|a| |c|1 时,

13、A1C平面 C1BD. 规范解答 14 利用空间向量证明平行或垂直问题【问题讨论】从近几年高考试题的命题情形来看,高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行,线面垂直为核心,以多面体为载体结合平面几何学问,常和角与距离的求解 .体积的运算等综合命题,同时考查判定定理、性质定理、定义以及对符号语言的识别和转化,难度以中低档题目为主 . 【解决方案】建立空间直角坐标系,用坐标或基底表示相关的向量,把线面关系的规律推理转化为相应直线的方向向量和平面的法向量之间的运算,用代数运算代替空间线面关系的规律推理,使证明和运算过程具有程序化 . 【示例 】. 此题满分 12 分2022 全国改编 如图,四棱锥

14、SABCD 中,AB CD,BCCD,侧面 SAB为等边三角形 ABBC2,CDSD1. 1证明： SD平面 SAB；2求 AB 与平面 SBC 所成的角的正弦值1此题可以通过运算边边关系证明SD平面 SAB,第 2 问也可作出 AB与平面 SBC 所成的角,利用解三角形来运算,但这种方法必需加帮助线,且易找 错角,故考虑用向量法,建立恰当的空间直角坐标系是解题关键解答示范 以 C 为坐标原点,射线CD 为 x 正半轴,建立如下列图的空间直角坐标系 Cxyz. 设 D1,0,0,就 A2,2,0、B0,2,0又设 Sx,y,z,就 x0,y0,z0. 1证明 A S x2,y2,z, BSx,

15、y2,z,DS x 1,y,z,由 |AS|BS |得x2 2 y2 2z 2x 2 y2 2z 2,故 x1. 由|DS |1 得 y 2z 21,又由|BS|2 得 x 2y2 2z 24,即 y 2z 24y10,故 y1 2,z2 . 3于 是 S 1,1 2,2 3, AS 1,3 2,2 3, BS 1,3 2,2 3, DS 0,1 2,2,DS 3 AS0,DS BS 0,故 DSAS,DSBS,又 ASBSS,所以SD平面 SAB.6 分 2解 设平面 SBC 的法向量 am,n,p,就 aBS ,aCB ,aBS 0,aCB 0. 又BS 1, 3 2,2,CB 3 0,2

16、,0,故 m3 2n2 p0,39 分 2n0.取 p2 得 a3,0,221 7 .12 分 又AB 2,0,0,cosAB ,aAB a|AB | |a|21 7 . 故 AB 与平面 SBC所成角的正弦值为直线和平面的位置关系可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来判定证明的主要思路是：线；2证明1证明线线平行：可证两条直线的方向向量共线面平行： 证明直线的方向向量和平面的法向量垂直,证明直线的方向向量可用平面内的两个不共线向量线性表示；3证明面面平行：可证两个平面的法向量共线； 4证明线线垂直：可证两条直线的方向向量垂直；5证明线面垂直： 证明直线的方向向量和平面内的两个不共线向量垂直,证明直线的方向向量与平面的法向量共线； 6证明面面垂直：可证两个平