高二数学苏教版选修2-2精编讲义：第2章23第一课时利用数学归纳法证明等式不等式问题Word版含解析

1、 名校名师举荐 2.3 数学归纳法第一课时 利用数学归纳法证明等式、不等式问题对应同学用书 P48在学校, 我们常常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车,假如一个同学将第一辆自行车不当心弄倒了,那么整排自行车就会倒下问题 1：试想要使整排自行车倒下,需要具备哪几个条件？提示： 1第一辆自行车倒下；倒下2任意相邻的两辆自行车,前一辆倒下肯定导致后一辆问题 2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？提示： 一些与正整数 n 有关的问题数学归纳法一般地,对于某些与正整数有关的数学命题,我们有数学归纳法公理：假如1当 n 取第一个值 n0例如 n01,2 等时结论正确；2假设当 nkkN *,且 kn

2、0时结论正确,证明当 nk1 时结论也正确那么,命题对于从 n0 开头的全部正整数 n 都成立数学归纳法的两个步骤之间的联系：第一步是验证命题递推的基础,其次步是论证命题递推的依据,这两个步骤缺一不行,只完成步骤 1而缺少步骤 2就作出判定,可能得不出正确的结论,由于单靠步骤 1,无法递推下去,即 n 取 n0 以后的数时命题是否正确,我们无法判定同样只有步骤 2而缺少步骤1时,也可能得出不正确的结论,缺少步骤 骤2 也就没有意义了1这个基础,假设就失去了成立的前提,步对应同学用书 P48用数学归纳法证明恒等式1 名校名师举荐 例 1 用数学归纳法证明：11 21 31 4 2n1 11 2n

3、n1 1n2 1 1 2n. 思路点拨 等式的左边有 2n 项,右边共有 n 项,fk与 fk1相比左边增二项,右边增一项,而且左右两边的首项不同因此,从nk 到 nk1 时要留意项的合并精解详析 1当 n1 时,左边 11 21 2,右边1,命题成立22假设当 nk 时命题成立,即121 31 4 2k1 1 2k1 k 1k2 1 2k,那么当 nk1 时,左边 11 21 3 1 4 2k1 1 2k1 2k11 2k21 k1k2 1 2k1 2k112k 2k2 1k3 1 1 2k2k1 12k2. 1右边k2 1k3 1 1 2k2k 1 12k2 1,左边右边,上式说明当 nk

4、1 时命题也成立由1和2知,命题对一切非零自然数均成立一点通 1用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题,关键在于“先看项 ” ,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,项的多少与 n 的取值是否有关由 nk到 nk1 时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项2证明 nk1 时成立,必需用到假设 nk 成立的结论1用数列归纳法证明：当 nN *时,135 1 n2n1 1 nn. 证明： 1当 n 1 时,左边 1,右边 1,所以左边右边,等式成立2假设当 nkk1, kN *时等式成立,即 1 35 1 k2k11 kk. 那么当 nk1 时,135 1k2k11k12k1 2 名校名

5、师举荐 1 kk 1 k12k1 1 k1k 1 k12k 1 1 k12k1k 1 k1k 1 这就是说 nk1 时等式也成立,由12 可知,对任何nN*等式都成立2用数学归纳法证明：1 22 23 24 2 2n1 22n 2 n2n1证明： 1当 n 1 时,左边 1 22 2 3,右边 1 2 11 3,所以左边右边,等式成立2假设当 nk 时等式成立,即 12223242 2k122k2 k2k1成立就当 nk 1 时,左边 12223242 2k122k22 k 1 122 k 12 k2k12k122k222k1k14k12k1 2 k14 k1 k12k 3 k12 k 11右

6、边,所以当 nk1 时,等式成立由12 可知对于任意正整数 n,等式都成立用数学归纳法证明不等式例 2 求证：n1 1n2 1 1 3n 56n2, nN *思路点拨 运用数学归纳法证明,证明时认真观看不等式的结构特点,在其次步证明当 nk1 时,如何进行不等式的变换是关键另外,要留意此题 n 的初始值为 2. 精解详析 1当 n2 时,左边1 31 4 1 51 657 605 6,不等式成立2假设当 nkk2, kN *时不等式成立,即k1 1k2 1 1 3k 56,就当 nk 1 时,1k 1 1k 1 2 1 1 3k1 3k113k21 3k311511111k1k23k3k13k

7、23k3k163 名校名师举荐 113k211 k1 5 6 311 k 15 6,3k13k33k3所以当 nk1 时不等式也成立由12 可知原不等式对一切 n2,nN *都成立一点通 利用数学归纳法证明与 n 有关的不等式是数学归纳法的主要应用之一,应用过程中留意：1证明不等式的其次步即从nk 到 n k1 的推导过程中要应用归纳假设,有时需要对目标式进行适当的放缩来实现；2与 n 有关的不等式的证明有时并不肯定非用数学归纳法不行,仍常常用到不等式证明中的比较法、分析法、配方法、放缩法等3用数学归纳法证明不等式1n 11 nn 113 24的过程中,由n k 推导 nn2k1 时,不等式的

8、左边增加的式子是_解析： nk,左边1k 11 k21,k knk1 时,左边k21k3 1k1k1k1k 1 1111 1111k1 k2 k3 kk 2k1 2 k1 k1k1 1k2 1 k k 12k1 2k2 . 1答案：12k1 2k24求证1 21 31 4 2 n1n 2 n2 且 nN *证明： 当 n2 时,左边115,右边220,左边右边,此时不等式成立2 3 6 2假设当 nkk 2 且 k N *时,不等式成立,即1 21 31 4 2 k1k 2 2 . 当 nk1 时,121314 2 k 1 1 k2 k1 12 k11k212k2 k1 1k22 1 k1k2

9、 2 1 k112 k1 12 k1k 2222 k1k2212k1 2 k1 2,4 名校名师举荐 即当 nk 1 时,不等式也成立综上所述,对任何 n2 且 nN *,不等式都成立5证明不等式 11213 1 n2 nn N *证明： 1当 n 1 时,左边 1,右边 2 12. 明显命题成立2假设 nk 时命题成立,即 1112 3 1 2kk. 就当 nk 1 时,111 112 k12 3 k k1 k 12 kk11n 3,就需要验证 n 10 时不等式成立2n k1 时式子的项数,特殊是查找nk 与 nk1 的关系时,项数发生什么变化简单被弄错因此对 nk 与 nk1 这两个关系

10、式的正确分析是应用数学归纳法胜利证明问题的保证3“ 假设 nkk1时命题成立,利用这一假设证明 nk1 时命题成立”,这是应用数学归纳法证明问题的核心环节,因此在其次步的证明过程中肯定要用上归纳假设,否就这样的证明就不再是数学归纳法了另外在推导过程中要把步骤写完整,留意证明过程中的严谨性、规范性 对应课时跟踪训练 十八 一、填空题1用数学归纳法证明：“ 1aa 2 an2 n11a 1a a 1,nN*” ,在验证n1成立时,左边_. 5 名校名师举荐 解析： 由于左边式子中a 的最高指数是n1,所以当n1 时, a 的最高指数为2,根据左边式子规律可得,当n1 时,左边 1aa2. 答案：

11、1a a 22用数学归纳法证明关于 n 的恒等式,当 nk 时,表达式为 1 42 7 k3k1kk1 2,就当 nk 1 时,表达式为 _2答案： 1 4 2 7 k3k1k13k4k1k23用数学归纳法证明不等式 121 4 2 n1127 64 n N *成立,其初始值至少应取_解析： 左边 11 21 4 1 n111 2n21 n1代入验证可知2n 的最小值为8. 11 2答案： 8 4对于不等式n2nn1nN*,某同学证明过程如下：*,就当n k1 时,1当 n1 时,12111,不等式成立；2假设nkkN*时,不等式成立,即k2kk 1k Nk12 k1 k 2 3k22n1 均成立2证明 ：1当 n 2 时,左边 114；右边3 35 2 . 左边 右边,不等式成立2假设 nkk2,且 k N *时,不等式成立,即11 3 11