高等数学Ⅱ复习要点及练习题

1、复习要点：1、空间直线方程,空间平面方程,直线与平面的位置关系与判定 2、连续、偏导数、可微之间的关系 3、驻点、极值点、最值点之间的关系,极值的运算与判定 4、方向导数与梯度 5、极限,偏导数,全微分,方向导数的运算 6、复合函数、隐函数的偏导数运算 7、函数曲线的切线方程和法平面方程 8、二重积分的运算,二次积分的换序 9、用直角坐标、柱面坐标运算三重积分 10、第一类曲线积分的运算,格林公式,与路径无关,高斯公式 11、级数的敛散性判定,幂级数的收敛域及和函数 12、函数的付里叶级数（正弦级数和余弦级数）的和函数,收敛定理练习题1.limx 2y 0sinxy , limx 0y 0 x

2、2y2x2y2y 2, limx y 223yx3 2x yy02. 求函数的偏导数和全微分z x sin x y cos 2 xy , u arctan x y z3. 求函数的二阶偏导数x 22 z ,y 22 z 和x 2 zy：z arctan xy4. u f x, y,求 u ；y z yu f x , xy , xyz ,求 u , u . x z5. x 2 y z 2 xyz 0,求 z , z . x y6. 求曲线 x t , y t 2 , z t 3在点 P 1, 1, 1 处的切线方程和法平面方程 . 7. 求曲面在指定点处的切平面方程和法线方程：e zz xy 3

3、,在 2 , ,1 0 处. 8. 求函数在指定点处沿指定方向的方向导数 : z 3 x 4 xy y 3在 ,1 2 处沿从 ,1 2 到 ,0 3 方向；9. 求函数 f x , y , z x 2 2 y 2 3 z 2 xy 3 x 2 y 6 z 在点 P ,1 ,1 1 的梯度和方向导数的最大值 . 10. 求函数的极值：z3 xy33xy. 312y2所围成 . xy2与x11.Dy2x d, D 由曲线12.ey2dxdy ,D 由 yx ,y0 x所围成 . D13. 转变二次积分的积分次序:2dx22xx2fx ,ydy. . 1x14.ex 2y 2dxdy,其中 D 是

4、圆域x2y21在第一象限部分D15. I zdxdydz,是由曲面 z 4 3 x 2 y 2 及 z x 2y 2所围成的闭区域 . 16. I x 2y 2z 2dxdydz,是由曲面 x 2y 2z 22 z 所围成的闭区域 . 17. I xy 2z 3dxdydz,是由曲面 z xy 与平面 y x , x 1 和 z 0 所围成的闭区域 . 18. L x 2y 2 2ds,其中 L 为圆周 x 2y 2a 2. 19. Lxds ,其中 L 为抛物线 y 2 x 2 1 上介于 x 0 与 x 1 之间的一段弧 . 20. L x 2 y 2 dx,其中 L 为抛物线 y x 2

5、上从点（ 0,0）到（ 2,4）的一段弧 . 21. 运算积分 L xdy2 ydx2,其中 L 为圆周 x 1 2 y 2 R 2 R 1 （按逆时针方向）. 4 x y22. L ydxx 2 xdy,其中 L 为从点 2 , 1 到点 ,1 2 的直线段 . 23. x 2y 2 dS,其中为锥面 z x 2y 2及平面 z 1 所围成闭区域的边界曲面 . 24. zdxdy xdydz ydzdx,其中是柱面 x 2y 21 被平面 z 0 及 z 3 所截下的第一卦限内部分的前侧 ; 25. x dydz 32 xz dzdx 23 y dxdy,为抛物面 2z 4 x 2y 被平面

6、 2z 0 所截下的部分的下侧 . 26. 计 算 曲 面 积 分2 xz dydz2 x y3 z dzdx2xy2 y z dxdy其 中 为z0和za22 xy2所围曲面外侧 . 27. 判定以下级数的敛散性：n1n 11n 4, n11 sin p nn, 2nn ., 1n1n 112 n11n 5n1nn2nxn 328. 求以下幂级数的收敛半径与收敛域. 2n1n2n1xn, n1n 11x2n2., 22nnn 329. 求级数的和函数：n111xn. , n n30. 将以下函数绽开成正弦级数或余弦函数（1）f x l:2x20 xx,绽开成正弦级数,并求和函数值S 4,S 3 .（2）fx x20y2,绽开成余弦级数. 并求和函数值S ,S2.x1z33与平面:xyz1