高等数学教学教案函数的极值与最大值最小值2

1、3 5 函数的极值与最大值最小值授课次序 22 教学课题 教学重点 参考教材 双语教学 课堂教学 目标教学过程教学基本指标3 5 函数的极值与最大值最小值教学方法当堂讲授,辅以多媒体教学函数极限的概念与性质教学难点概念的引入、极限的证明与性质的推导同济高校编 高等数学 （第 6 版） 作业布置高等数学 标准化作业自编教材 高等数学习题课教程函数： function ；导数： derivative ；微分： differential calculus ；中值定理：law of the mean ；极值： extreme values；1 把握用导数求函数极值的方法；2 把握函数最大值和最小值的求

2、法及其简洁应用；1函数极值的定义（15min）；2用导数求函数极值的方法（30min）；3函数最大值和最小值的求法（20min ）4最大值和最小值的简洁应用（25min）教学基本内容3 5 函数的极值与最大值最小值备注栏一、函数的极值及其求法极值的定义定义 设函数 fx在区间 a, b内有定义 x0 a, b 假如在 x0的某一去心邻域内有 fx fx0就称 fx0是函数 fx的一个极大值 假如在 x0的某一去心邻域内有 fx fx0 就称 fx0是函数 fx的一个微小值设函数 fx在点 x0的某邻域 Ux0内有定义假如在去心邻域Ux0内有fx fx0 或 fx fx0就称 fx0是函数 fx

3、的一个极大值 或微小值 函数的极大值与微小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点函数的极大值和微小值概念是局部性的 假如 fx0是函数 fx的一个极大值 那只是就 x0 附近的一个局部范畴来说 fx0是 fx的一个最大值 假如就 fx的整个定义域来说 fx0不肯定是最大值 关于微小值也类似极值与水平切线的关系 在函数取得极值处 曲线上的切线是水平的 但曲线上有水平切线的地方 函数不肯定取得极值定理 1 必要条件 设函数 fx在点 x0 处可导 且在 x0 处取得极值 那么这函数在 x0 处的导数为零 即 f x0 0证 为确定起见 假定 fx0是极大值 微小值的情形可类似地证明 依据

4、极大值的定义 在 x0的某个去心邻域内 对于任何点 x fx fx0均成立 于是当 x x0 时 f x f x 0 0 因此 f x0 lim f x f x 0 0 x x 0 x x 0 x x 0当 x x0 时 f xx x f0 x 0 0 因此 f x 0 x limx 0 f xx x f0 x 0 0从而得到 f x0 0 简要证明 假定 fx0是极大值 依据极大值的定义 在 x0 的某个去心邻域内有 fx fx0 于是 f x 0 f x 0 lim f x f x 0 0 x x 0 x x 0同时 f x 0 f x 0 lim f x f x 0 0 从而得到 f x

5、0 0 x x 0 x x 0驻点 使导数为零的点 即方程 f x 0 的实根 叫函数 fx的驻点 定理就是说 可导函数fx的极值点必定是函数的驻点 但的过来 函数 fx的驻点却不肯定是极值点考察函数 fx x 3在 x 0 处的情形定理 第一种充分条件 设函数 fx在点 x0 的一个邻域内连续 在 x0 的左右邻域内可导1 假如在 x0 的某一左邻域内 f x 0 在 x0 的某一右邻域内 f x 0 那么函数 fx在 x0 处取得极大值2 假如在 x0 的某一左邻域内f x 0在 x0 的某一右邻域内f x 0 那么函数 fx在 x0 处取得微小值3假如在 x0 的某一邻域内 f x不转变

6、符号 那么函数 fx在 x0 处没有极值定理 第一种充分条件 设函数 fx在含 x0 的区间 a, b内连续 在a, x0及x0, b内可导1假如在 a, x0内 f x 0 在 x0, b内 f x 0 那么函数 fx在 x0 处取得极大值2假如在 a, x0内 f x 0 在 x0, b内 f x 0 那么函数 fx在 x0 处取得微小值3假如在 a, x0及x0, b内 f x的符号相同那么函数 fx在 x0 处没有极值定理 2 第一充分条件 设函数 fx在 x0 连续 且在 x0 的某去心邻域 x0 x0 x0 x0 内可导1假如在 x0 x0内 f x 0 在x0 x0 内 f x

7、0 那么函数 fx在 x0 处取得极大值2假如在 x0 x0内 f x 0 在x0 x0 内 f x 0 那么函数 fx在 x0 处取得微小值3假如在 x0 x0及x0 x0 内 f x的符号相同 那么函数 fx在 x0 处没有极值定理 2 也可简洁地这样说 当 x 在 x0的邻近渐增地经过 x0 时 假如 f x的符号由负变正 那么 fx在 x0 处取得极大值 假如 f x的符号由正变负 那么 fx在 x0 处取得微小值 假如 f x的符号并不转变 那么 fx在 x0 处没有极值 注 定理的表达与教材有所不同 确定极值点和极值的步骤1求出导数 f x2求出 fx的全部驻点和不行导点以便确定该

8、点是否3列表判定 考察 fx的符号在每个驻点和不行导点的左右邻近的情形是极值点假如是极值点仍要按定理2 确定对应的函数值是极大值仍是微小值4确定出函数的全部极值点和极值例 1 求函数fxx43x12的极值且fx 5x1解1fx在内连续除 x1 外到处可导3 3x12令 f x 0 得驻点 x 1 x1 为 fx的不行导点3列表判定x 1 1 1 1 1 1 f x 不行导0 fx 0 3 3 44极大值为 f 1 0微小值为f 13 3 4定理 3 其次种充分条件 设函数 fx在点 x0 处具有二阶导数且 f x0 0f x0 0 那么1当 f x0 0 时 函数 fx在 x0 处取得极大值1

9、当 f x0 0 时 函数 fx在 x0 处取得微小值证明 在情形 1 由于 f x0 0 按二阶导数的定义有f x 0 x limx 0 f xx x f0 x 0 0依据函数极限的局部保号性 当 x 在 x0 的足够小的去心邻域内时f x f x 0 0 x x 0但 f x0 0 所以上式即 f x 0 x x 0从而知道 对于这去心邻域内的 x 来说 f x与 x x0 符号相反 因此 当 x x0 0 即 x x0 时 f x 0当 x x0 0 即 x x0 时 f x 0 依据定理 2 fx在点 x0 处取得极大值类似地可以证明情形 2简要证明 在情形 1 由于 f x0 0 f

10、 x0 0 按二阶导数的定义有f x f x 0 f x f x 0 lim lim 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0依据函数极限的局部保号性 在 x0 的某一去心邻域内有 f x 0 x 0 x从而在该邻域内 当 x x0 时 f x 0 当 x x0 时 f x 0 依据定理 2 fx在点 x0 处取得极大值定理 3 说明 假如函数 fx在驻点 x0 处的二导数 f x0 0 那么该点 x0 肯定是极值点 并且可以按二阶导数 f x0的符来判定 fx0是极大值仍是微小值 但假如 f x 0 0 定理 3 就不能应用争论 函数 f x x4gx x3 在点 x 0 是否有极

11、值？提示 f x 4x 3 f 0 0 f x 12x 2 f 0 0 但当 x 0 时 f x 0 当 x 0 时 f x 0 所以 f0 为微小值2 g x 3xg 0 0gx 6xg 0 0但 g0不是极值f x 0所以 fx在 1 处例 2 求函数 fx x2131 的极值 解 1f x 6xx 2 1 22令 f x 0 求得驻点 x11 x 2 0 x3 13fx 6x215x214因 f0 6 0所以 f x在 x 0 处取得微小值微小值为 f0 05因 f 1 f1 0用定理 3 无法判别由于在1 的左右邻域内没有极值同理 fx在 1 处也没有极值二、最大值最小值问题在工农业生

12、产、工程技术及科学试验中 经常会遇到这样一类问题 在肯定条件下 怎样使“ 产品最多” 、“ 用料最省”、“ 成本最低”、“ 效率最高” 等问题 这类问题在数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题极值与最值的关系设函数 fx在闭区间 a b上连续 就函数的最大值和最小值肯定存在 函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得 假如最大值不在区间的端点取得 就必在开区间 a b内取得 在这种情形下 最大值肯定是函数的极大值 因此 函数在闭区间 a b上的最大值肯定是函数的全部极大值和函数在区间端点的函数值中最大者同理函数在闭区间 a b上的最小值肯定是函数的全部微小值和函数

13、在区间端点的函数值中最小者最大值和最小值的求法设 fx在a b内的驻点和不行导点 它们是可能的极值点 为 x1 x2 xn 就比较fa fx 1 fx n fb 的大小 其中最大的便是函数 fx在a b上的最大值 最小的便是函数 fx在 a b上的最小值例 3 求函数 fx |x 2 3x 2|在 3 4上的最大值与最小值解 f x x 2x 2 3 x3 x 22 xx ,1 ,32 1 ,2 4 f x 2 x2 x 33 x x ,1 32 , 1 2 , 4 在 3 4内 fx的驻点为 x 3 不行导点为 x 1 和 x 22由于 f 3 20 f1 0 f 3 1 f2 0 f4 6

14、 比较可得 fx在 x 3 处取得它在 3 4 上的最2 4大值 20 在 x 1 和 x 2 处取它在 3 4上的最小值 0例 4 工厂铁路线上 AB 段的距离为 100km 工厂 C 距 A 处为 20km AC 垂直于 AB 为了运输需要 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修筑一条大路 已知铁路每公里货运的运费与大路上每公里货运的运费之比 3: 5 为了使货物从供应站 B 运到工厂 C 的运费最省 问 D 点应选在何处？100kmA BD20kmC解 设 AD x km 就 DB 100 x CD 20 2 x 2 400 x 2设从 B 点到 C 点需要的总运费为 y 那么 y 5k

15、 CD 3k DB k 是某个正数 即 y 5 k 400 x 2 3k100 x 0 x 100现在 问题就归结为 x 在0 100 内取何值时目标函数 y 的值最小先求 y 对 x 的导数 y k 400 5 xx 2 3 CD 400 x 2解方程 y 0 得 x 15km由 于 y|x 0 400k y|x 15 380k y | x 100 500 k 1 12 其 中 以 y|x 15 380k 为 最 小 因 此 当5AD x 15km 时 总运费为最省例 2 工厂 C 与铁路线的垂直距离 AC 为 20km, A 点到火车站 B 的距离为 100km. 欲修一条从工厂到铁路的大

16、路 CD. 已知铁路与大路每公里运费之比为 3:5. 为了使火车站 B 与工厂 C 间的运费最省 , 问 D 点应选在何处？解设 AD x km B 与 C 间的运费为y就y|x 15 380k为 最 小因 此 当y 5k CD 3k DB 5 k400 x 23 k 100 x 0 x 100其中 k 是某一正数由yk 5xx230 得 x 15400由 于y|x 0 400ky|x 15 380ky x100500 k11其 中 以52AD x 15km 时总运费为最省留意 fx在一个区间 有限或无限 开或闭 内可导且只有一个驻点 x0 并且这个驻点 x0 是函数 fx的极值点 那么 当

17、fx0是极大值时 fx0就是 fx在该区间上的最大值 当 fx0是微小值时fx0就是 fx在该区间上的最小值y y fx y y fx fx 0 fx 0 O a x 0 b x O a x 0 b x 应当指出 实际问题中 往往依据问题的性质就可以肯定函数 fx确有最大值或最小值 而且肯定在定义区间内部取得 这时假如 fx在定义区间内部只有一个驻点 x0 那么不必争论 fx0是否是极值 就可以肯定 fx0是最大值或最小值例 6 把一根直径为 d 的圆木锯成截面为矩形的梁 问矩形截面的高 h 和宽 b 应如何挑选才能使梁的抗弯截面模量 W W 1bh 2 最大 . 6解 b 与 h 有下面的关系 h 2 d 2 b 2因而 W 1 b d 2 b 2 0bd d h6这样 W 就是自变量 b 的函数 b 的变化范畴是 0 d现在 问题化为 b 等于多少时目标函数 W 取最大值？为此W 16