2020年全国统一高考数学试卷2(新课标Ⅲ)

1、n n 1 1 2020 全统一考试 数学n n 1 1 一、选题（题共 10 题，每小题 6 分共 60 分）已知集 A ，则 AB 中素个数为（ ） 3 C. 4 【答案】B【解析】【分析】采用列举法列举出A B中元素的即可.【详解】由题意，A B ，故A B中元素的个数为 故选：【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易.若 z ，则 z= ） i i C. i i 【答案】D【解析】【分析】先利用除法运算求得 ，再利用共轭复数的概念得到即可.【详解】因为z ) 2 )(1 )，所以 i故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道

2、基础.设一组本数据 ，x ， 的差为 ，则数据 10 ，10 ，10 x 的差为（ B. C. 【答案】C【解析】【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结）【详解】因为数据 , i的方差是数据x , ) i的方差的 倍， 所以所求数据方差为1 2 故选：【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础.Logistic 模型是常用数学型之一，可应用于流行病学领城有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I()(t的单位：天的 Logistic 模： I ( )=1 K0.23( t ，其中 K 为大确诊病例数当I(t*)=0.95K 时标志着已初步遏制疫情， t*约为（

3、 60【答案】C【解析】【分析】 C. 66 将 t 代入函数I K结合I 0.95求得 即可得解.【详解】I K0.23，所以I K 0.230.95 K，则 ，所以，0.23 ，解得 30.2353 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等.已知 sin = ， = （ ）12C.22【答案】B【解析】【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的详解】由题意可得： sin 3sin cos ， 3 1 则： sin ， sin 2 2 3， 从而有： ，即 sin 故选：【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公

4、式及其应用，属于中等.在平面，A，B 是两个定点C 动点，若AC =1，则点 C 的迹为（ ） 圆 椭圆C. 抛线 直【答案】A【解析】分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即.【详解】设 ，以 中为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则： ，可得： x , y , BC y，从而： AC 2 ，结合题意可得：，整理可得：x2 ，即点 的轨迹是以 中为圆心， 2 为径的.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学的转化能 力和计算求解能.设O为坐标原点，直线x 与抛物线 C：y 2 p 0)交于 D ， E两点，若O

5、D ，则C的,0焦点坐标为（ ）,0 ,0 C.(2,0)【答案】B【解析】【分析】根据题中所给的条件OD OE，结合抛物线的对称性，可知DOx EOx ，从而可以确定出点 D的坐标，代入方程求得 的值，而求得其焦点坐标，得到结【详解】因为直线 与物 y2 px ( 0)交于 点，且 OD ，根据抛物线的对称性可以确定DOx EOx ，所以 ，代入抛物线方程 4 p 求得 p ，所其焦点坐标为( ,0)，故选：【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线对称性， 点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题.点(01)到直线 为（ ） C.3 【答案】

6、B【解析】【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点P ， A ，当直线y ( x 与 AP 直时，点 A 直线y ( x 距离最大，即可求得结果.【详解】由y ( x 可知直线过定点P ，设(0, ，当直线y ( x 与 AP垂直时，点 到直线y ( 距离最大，即为 | AP 2 故选：【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几性质是解 题的关键，属于基础.下图为几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） 6+4 C. 3 3【答案】C【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表 【详解】根据三视图特

7、征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得： eq oac(, ) eq oac(, )ADC 根据勾股定理可得： DB 2 是边长为 2 2 的边三角形根据三角形面积公式可得： eq oac(, ) 1 3 (2 2) 3 2 2该几何体的表面积是： 3 故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画立体图形， 考查了分析能力和空间想象能力，属于基础.3 3 3 5 3 3 3 3 5 5 A (1,2)3 3 3 5 3 3 3 3 5 5 A (1,2)10.设a 2 ， b log ， 3 523，则（ ） a a C. c 【

8、答案】A【解析】【分析】分别将 a , b 改为 a 2 ， log ，再利用单调性比较即可.【详解】因为 2 1 2 2 log ， 3 3 3，所以 a 故选：A【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档 二、填题：本题共 题，每题 5 分，共 分11.若 x， 满约束条件 【答案】7【解析】分析】x y 0, x y ， zx+2y 的大值为_ x 作出可行域，利用截距的几何意义解.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为 x y，所以y x z ，易知截距 越，则 2越大，平移直线y x 3x ，当 y 经过 点时截距最大，此时 最大，由 y ，得 ， ， x

9、 y 所以 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形合的思想， 是一道容易题.12.设曲线 C【答案】 【解析】【分析】 (，的一条渐近线为 y ，则 离心率_ a2 b根据已知可得 2，结合双曲线中 b 的关系，即可求.【详解】由双曲线方程 2 2 a2 b可得其焦点在 轴，因为其一条渐近线为 x，所以 2c b， e 1 2故答案为： 3【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意断焦点所 在位置，属于基础题.13.设数 f ( ) x 若f ，则 【答案】1【解析】【分析】由题意首先求得导函数的

10、解析式，然后得到关于实数 a 的方程，解方程即可确定实数 的【详解】由函数的解析式可得：fxx xx ，则：f1 ，据此可得：ae 4，整理可得： a 2 a ，得： a .故答案为：1 .【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等14.已圆锥的底面半径 ，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积_【答案】【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中 AB ，且点 M 为 边的中点，设内切圆的圆心为 ，由于 AM 3 2，故 eq oac

11、(,S)ABC 2，设内切圆半径为 r ，：S BOC 1 BC AC 2 3 2 ，解得： r22 2，其体积：V 3 . 3n n 3 n， 解得 ，故答n n 3 n， 解得 ， .【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对线长等于 球的直径.三、解题：共 70 .解应写出字说明、证过程或算步骤 第 为必考，每 个试题生都必须作 .第 、 为选考题考生根要求作答 .（一）考

12、题：共 60 分.15.设比数列a 足a 1 2 （1）求a 通项公式；（2）记S为数列log a 前 n 项若 ，求 m【答案） a 【解析】【分析】） m （1）设等比数列n q ，据题意，列出方程组求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（）求出系式，求得结果.log a 3 n的通项公式，利用等差数列求和公式求得 ，据已知列出关于 的等量关【详解）等比数列n ， 根据题意，有 所以 ； a q 4 1 a q q 1（2）令 a ，所以S n( n 2，根据S m m ，可得m m ( ( m 2 2，整理得 m ，为 ，以 m ，【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等

13、差数列求和公式的应用，考查计算解能力， 属于基础题目. 16.某生兴趣小组随机查了某市 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得 到下表（单位：天. 锻炼人次0，400 (400，600空气质量等级（优）（良）（轻度污染）（中度污染）（1）分别估计该市一天的空气质量等为 ，2，4 的率（2）求一天中到该公园锻炼的平均人的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表（3）若某天的空气质量等级为 ，称这“空气质量好；某天的空气质量等级为 3 或 4则称这天“空气质量不好据所给数据，完成下面的 22 列表，并根据联表，判断是否有 的把握认为一 天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空

14、气质量有关？人次人次空气质量好空气质量不好2K附：PKk)kn(ad )2(a )(c )(a ) 841，【答案）市一天的空气质量等级分别为1 、 、 的率分别为 、 、 ）有，理由见解.【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一的空气质量等级分别 、（2）利用每组的中点值乘以频数，相后除 可结果；、 的率；（3）根据表格中的数据完善 2 列联表，计算出 K 的观测值，再结合临界值表可得结.【详解）频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为 概率为2 25 100，等级为 2 的概率为5 ，级为 3 概率为 ，级为 的率为100 ；100 20 500 （2）由频数分布表可知，一天中到

15、该园锻炼的人次的平均数为100（3） 列联表如下空气质量不好空气质量好人次 400人次 400K2 55 5.820 ，因此，有 95% 的握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查据处理能 力，属于基础题.17.如在方体 B C D1 中点 E ，F 分在棱 DD ，BB 上 DE ， 1 1 证明：（1）当 时，EF AC；（2）点 C 在面 AEF 内1【答案）明见解析）明见解析. 【解析】【分析】（1根正方形性质得 AC BD 根据长方体质得 AC BB 进而可证 面BB 1 即得结果；（2）

16、只需证明 AF1即可，在 CC上取点 M 使CM 1再通过平行四边形性质进证明即.【详解】（1）因为长方体 A B D1 所以BB1面 ABCD ,因为长方体 D , BC1 1 1 1所以四边形ABCD为正方形 因为BB1 BB 、 平面 BB 1 1 1因此 面BB D1 1因为 EF 平BB D1 所以 ；（2）在 上取点 使CM ,连 ,1因为 E ED DD CC DD = ,以 ED MC , MC 1 1 1 所以四边形 DMC E 为平四边形 DM 1 1因为MF /, MF =,所以 M 、F、 D四点共面，所以四边形 MFAD 为行四边形， / AF EC ，以 E、C 、

17、AF1 四点共面，因此 C 在平面 内1【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档18.已函数 f ( x 3 2 2（1）讨论 2f x)的单调性；（2）若f ( x)有三个零点，求的取值范围【答案）见解析(2)(0,)【解析】【分析】（1）f ( x ) ，对 k 分 k 和 k 种情况讨论即可；（2）f x)有三个零点，由1知 ，且 f ( f (k) k) ，解不等式组得到的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可.【详解）题，f ( x ) x 2 ，当 时，f ( x) 0恒成立，所以f x)在( 上单调递增；当 时令 f x) ， x k k，令

18、f ) 0 ， 3k，令f ( ) 0，得 x k 或 x ，所以 f ( x) 在 ( ) 3 3 上单调递减，在k ( ) ， ( , 3上单调递增.（2）由（）知，f ( )有三个零点，则 ，且 f ( f (k) k) 2 k 3即 k 2 3kk，解得 ，当 时， k k，且 ( k ) ，所以f ( )在 (k )上有唯一一个零点， 2 AQ 22 2 同理 2 AQ 22 2 k，f ( 3 2，所以f ( )在 ( k)上有唯一一个零点，又f x)在 ( k ) 上有唯一一个零点，所以f ( x)有三个零点，综上可知的取值范围为(0,)【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调

19、性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查生逻辑推 理能力、数学运算能力，是一道中档.19.已椭圆 C : m m的离心率为 ， A ， B 分为 C 的、右顶点 （1）求 C 的程；（2）若点 P 在 上点 Q 在线x 上且 BQ |， BP BQ ， APQ 的积【答案）【解析】【分析】 2 16 2 25 255 ） .2（1）因为 : m ，得 ， b ，据心率公式，结合已知，即可求得答案； m（2）点 在上，点在直线x 上，且 BP |，BP BQ ，过点 P 作 轴线，交点为 M ，设x 与 x 轴点为，可得 eq oac(, )BNQ，可求得 P 点标，求出直线 的直线方程，根据点

20、到直线距离公式和两点距离公式，即可求得 的积【详解） : m m ， b m，c 根据离心率 ，a 4解得m 5或 4(舍)，x x x x 的程： ，即 2 16 2 25 25；（2）不妨设 P ,在 x 轴方点 在上，点在直线x 上，且 BP |，BP BQ，过点 P 轴线，交点为 M ，设 与 轴点 根据题意画出图形，如图 BP |，BP BQ，PMB 90，又PBM QBN 90 QBN ， ，根据三角形全等条件“AAS”，可得： eq oac(, )BNQ， 2 16 25 ， B (5,0)， ，设 点 x y P P，可得 P 纵坐标为y P，将其代入 2 16 25 ，2 2

21、 2 2 可得： 16P 25 ，解得：x P或x P， P 点 (3,1) 或 3,1) ，当 P 为 (3,1) 时故MB ， eq oac(, )BNQ， MB NQ |，可得：点为(6, 2)，画出图象，如图，( , (6,2)可求得直线 AQ 直线方程为： x ，根据点到直线距离公式可得 P 到线 AQ 的离为： 2 22 512555，根据两点间距离公式可得： ， APQ 面积为： 5 ； 5 当 P 为 ( 时故MB 5+3 ， eq oac(, )BNQ， MB NQ |，2 2 可得： Q 点 ，2 2 画出图象，如图( , Q ，可求得直线的直线方程为： x y 40 ，根据点到直线距离公式可得 到线 AQ 的距为：d 8 8 251855185，根据两点间距离公式可得： AQ ，面积为：1 5 5 185 2 2，综上所述， 面为：52【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率义和数形 结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档（二）考题：共 10 分.请考