反函数 省赛获奖-精讲版课件

1、反函数 一般的,函数 y = ax ( a 0, 且 a 1 ) 叫做指数函数,其中x是自变量.函数的定义域是 R. 图 象 性 质a 10 a 1)yx(0,1)y=10y=ax(0a1时， 当x=1时， 当0 x0y=0y1时， 当x=1时， 当0 x1时，y0 探究活动在指数函数y=2x中，x为自变量，y为因变量。如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由。yx0 4321-3 -2 -1-1-2-3y 2x把y作为自变量，x作为y的函数，这时我们就说x=log2y(y(0,+)是函数y=2x(x R)的反函数。yxy=log2

2、x注意：在函数x=log2y中，y是自变量，x是变量.由于我们习惯用x作自变量，y作变量，故函数y=2x的反函数x=log2y,常记作y=log2x.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.一、反函数的概念函数y=f(x)的反函数记作：x=f-1(y)一般函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x).思考1:函数yax（a0，且a1）的反函数是什么？函数 的反函数是什么？ 小结:求反函数的一般步骤分三步 一求逆对应、二对换x,y、三注明定义域同底的对数函数与指数函数互为反函数.思考2:在函数yx2中，若将y作自变量，那么x与y的对应关系是函数吗？为什么？ 思考3:一个函数在其对应形式上有

3、一对一和多对一两种，那么在哪种对应下的函数才存在反函数？不是,因为当y=1时,x有两个值1与-1和它对应.在一对一的情况下,才存在反函数.指、对数函数的比较分析y=ax (a1) y=logax(a1) 图象 定义域 值域 性质yx01yx01RR当x0时y1；当x0时0y1时y0；当0 x1时y1时，指、对数函数的图象和性质如下表：你能发现这两个函数有什么内在联系吗？指、对数函数的比较分析y=ax (0a1) y=logax(0a0时0y1；当x1；当x=0时y=1；在R上是减函数. 当x1时y0；当0 x1时y0；当x=1时y=0；在R上是减函数. yx(0,1)y=10y=ax(0a1)

4、当0a1时，指、对数函数的图象和性质如下表：你能发现这两个函数有什么内在联系吗？yx0(1,0) 结论:1、原函数的定义域就是反函数的值域.2、原函数的值域是反函数的定义域.3、原函数与反函数的图象关于直线y=x对称.4、原函数与反函数具有相同的单调性.二、反函数的性质思考3:函数y = 1-x , 的反函数分别是什么？由此推测：如果函数y=f(x)的图象关于直线y= x对称，则 函数f(x)与其反函数有什么关系？ y=1-x的反函数是y=1-x的反函数是结论：如果函数y=f(x)的图象关于直线y= x对称，则函数f(x)的反函数就是函数f(x)本身。或者说函数f(x)与其反函数相等。理论迁移

5、例1 求下列函数的反函数例1 求下列函数的反函数 例2 已知函数 .（1）求函数f(x)的定义域和值域；（2）求证函数y=f(x)的图象关于直线 y=x对称. 定义域(-,0)所以,函数f(x)的值域为(-,0)因f(x)的反函数与原函数相等,故结论成立.A. y轴对称 B. x轴对称C. 原点对称 D. 直线yx对称2. 函数y3x的图象与函数ylog3x的图象关于( )练习D例3 函数f(x)loga (x1)(a0且a1)的反函数的图象经过点(1, 4)，求a的值. 若函数yf(x)的图象经过点(a, b)，则其反函数的图象经过点(b, a).结论：解:依题意,得 例4 若点P（1，2）同时在函数y 及其反函数的图象上，求a、b 的值.解:依题意,得:课 堂 小 结1. 反函数的定义；求反函数的步骤；2. 互为反函数的函数图象间关系；3. 互为反函数的两个函数具有相同的增减性4. 互为反函数的两个函数的定义域和值域互相对调(2) y0.25x (x