高考数学主题复习函数周期性与对称性

1、高考数学主题复习函数周期性与对称性.常见函数周期：y=sinx ,最小正周期 T=2n; y=cosx,最小正周期 T=2n; y=tanx,最小正周期 T=汽； y=cotx ,最小正周期 T=兀.周期函数f(x)最小正周期为 T,则y=Af( 3 x+ 6 )+k的最小正周期为 T/| .几种特殊的抽象函数的周期：函数y f x满足对定义域内任一实数x (其中a为常数)， fx fxa,则y f x是以T a为周期的周期函数；f x a f x ,则f x是以T 2a为周期的周期函数；一1 一f x a ,则f x是以T 2a为周期的周期函数；f xfxa fxa,则fx是以T 2a为周期

2、的周期函数；f(x a) 1 f(x),则f x是以T 2a为周期的周期函数. 1 f(x)f(x a)1一3,则fx是以T 4a为周期的周期函数.f(x)f(x a) 1 f(x),则f x是以T 4a为周期的周期函数. 1 f(x)函数y f(x)满足f(a x) f (a x)( a 0),若f(x)为奇函数，则其周期为 T 4a,若f (x)为偶函数，则其周期为 T 2a.函数y f(x) x R的图象关于直线x a和x b a b都对称，则函数f(x)是以b a为周期的周期函数；函数yf (x) xR的图象关于两点 A a,y0、B b, y0ab都对称，则函数 f(x)是以2 b

3、a为周期的周期函数；(11)函数yf(x) xR的图象关于 A a,y0和直线x b ab都对称，则函数f (x)是以4 b a为周期的周期函数；(二)主要方法：.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x恒有f(x T) f (x);二是能找到适合这一等式的非零常数T, 一般来说，周期函数的定义域均为无限集.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所 要解决的问题的特征来进行赋值。二、对称性：函数关于原点对称即奇函数：f( x) f(x)函数关于y对称即偶函数：f( x) f (x)函数关于直线 x a对称：f(x a) f

4、(a x)或f(x) f(2a x)或者f(x 2a) f ( x)函数关于点(a,b )对称：f(x+a)+f(a-x)=2bf(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且 f(2)=0在区间(0, 6)内解的个数的最小值是 TOC o 1-5 h z A. 2; B. 3; C. 4; D. 5()，一 一， 1 ，.设函数 f(x)(x R)为奇函数，f (1) 一,f(x 2) f (x)f(2)，则 f(5)()2A. 0B. 1C. -D. 52.已知f(x)是R上的偶函数,对 x R都有f(x + 6)=f(x) +f(3)成立,若f(1)=2 ,则f(2011)=()A、2005

5、 B、2 C、1 D、0内单调递减，且y=f (x)的图象关于直线x=3.设f (x)是定义在 R上以6为周期的函数，内单调递减，且y=f (x)的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是(A) f 1.5 f 3.5B) f 3.5f 1.5(C) f 6.5 f 3.5f 1.5 ；(D)f 3.56.51.55.设函数f(x)与(A) f 1.5 f 3.5B) f 3.5f 1.5(C) f 6.5 f 3.5f 1.5 ；(D)f 3.56.51.55.设函数f(x)与g(x)的定义域是Rx,函数f (x)是一个偶函数,g(x)是个奇函数，且f(x) g(x)北则f (x)等于A.

6、 1A. 1 B. -2x x2 1x2 1D.xA.已知定义在R上的函数f (x)的图象关于(3丁)成中心对称,且满足 f (x)=f (x3.已知定义在R上的函数f (x)的图象关于(3丁)成中心对称,且满足 f (x)=f (x3-),f( 1)21 ,f (0) = 2 则f (1) + f (2) +A. t2.已知函数f(x)： + f (2010)的值为()B -1C. 0是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有 xf (x 1)(1 x)f(x),的值是A.0B.1C.1d922.若f(x)是定义在R上的奇函数，且当 x0时,. y f x定义域为R,且对任意

7、xR都有f x1 f(x)A.0B.1C.1d922.若f(x)是定义在R上的奇函数，且当 x0时,. y f x定义域为R,且对任意xR都有f x1 f(x);x 1f x 11 1 f x1f (2) =2 1 ；2 贝 Uf(2009).设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线 x12 对称，则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=，一一 ，、1一，,一 ，一，11:已知函数f(x)在(一1, 1)上有定义，f( )二1，当且仅当0Vx1时f(x) 0 .f (Xi+x2)= f (x1 . ,1、(i)求f (-), f (-) ； ( n )证明f

8、( x)是周期函数；(出)记参考答案7.解析：令x17.解析：令x1皿 11一，则f ()222f(1人八一f (-)0;令 x 0,则 f (0) 0 TOC o 1-5 h z 一一 一x 1由 xf(x 1) (1 x)f(x)得 f(x 1) f(x),所以x HYPERLINK l bookmark44 o Current Document 53523535215f (0) 0 ,故选择A。f(2) 3f(2) 3 f(5)3ff(2) 0 f(f(f (0) 0 ,故选择A。228.-2 9. -1-近 10.0 x y11.证明:(1)由 f(x)+f(y)=f(ixy )可令

9、x=y=0,得f(0)=0,令y= 一x,得f(x)+f(x)=f(二 尸f(0)=0.，f(x)= f( x).f(x)为奇函数1 xx2x1(2)先证 f(x)在(0, 1)上单调递减.令0 x1x21,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-刈=3 g )x2 x1-1 0 x1x20,1 x1x20,1 xx 0,x2 x1x2_xl . 一又(x2x1)一(1 x2x1)=(x2 1)(x1+1)0 , 1- x2 x11 x2x1, 1- 0-1,由题思知 f(dv v )0 ,1 xx2I xx2即f(x2)0,所以a=1.(II)证明一:a00,所以a=1.(II)证明一:

10、a0 x10,11a2,心4吟f(4)1a4一 x一一 一 11 一 1f(-) 0,x 0,1Q f(1) f(- -)f(-) HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 22 2211 2f(-) f(-)24411 2丐)枝(n (n )证明：依题设y)关于直线x = 1对称,故f (x)=f (1+1故f (x)=f (1+1即 f (x) = f (2x)又由f ( x)是偶函数知又由f ( x)是偶函数知f () = f(x), xCR. f(x) = f(2x), xCR,将上式中一 x以x代换，得f (x) = f (x + 2), x

11、CR 这表明f ( x)是R上的周期函数，且 2是它的一个周期.(出)解：由(I )知 f ( x ) 0 , x ： 0 , 1 1111 ,f(-) f (n ) fL (n 1)一 22n2n2n11, f 211, f 211f(丁)f(n 1) 2n111 Af ( ) a2f( ) a2n22n1a=a2n127LLf(27)f(2n)L f(2n 51 、f ( x )的一个周期是 2f ( 2 n +) 2n1-.二f (一)，因止匕2n(三)典例分析：问题1 .( 06山东)已知定义在B. 0C.1R上的奇函数 f(x)满足f(x 2)D. 2f (6)的值为A. 1问题2.

12、 1 ( 00上海)设f (x)的最小正周期T 2且f(x)为偶函数，它在区间0, 1上的图象如右图所示的线段AB,则在区间1,2上，f(x)2已知函数f(x)是周期为2的函数，当 1 x 1时，f(x) x2y|A 2B当19 x21时，f(x)的解析式是是定义在R上的以2为周期的函数，对k Z ,已知当x问题3. 1I0 时，f x x(04福建)定义在，求f x在Ik上的解析式。R上的函数f x满足f xA. fsin f cos 66C.f cos232 (05天津文)设f(x).2sin 一3是定义在D. f cos2用Ik表示区间B. f sin1f sin 22k3,5 时,co

13、s1 ；R上以6为周期的函数,f(x)在(0,3)内单调递减,且y f(x)的图像关于直线 x 3对称，则下面正确的结论是A. f(1.5)f(3.5)f(6.5)C. f(6.5)f (3.5)f(1.5)问题4.定义在R上的函数f x ,对任意xB.D.R,有f(3.5) f (3.5) f x yf(1.5) f(6.5)f xf(6.5)f(1.5)2f x f y ,且 f 00, 1求证：f 01 ； 2判断f x的奇偶性;3若存在非零常数c,使f *0,证明对任意x R都有f x2函数f x是不是周期函数，为什么？问题5. ( 01全国)设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于

14、直线意白x x1 ,x2都有 f (x1 x2)f(x1) f (x2).1 设 f(1) 1.1c. I-,f(一)、 f (-)； 2证明：f(x)是周期函数.243记anf 2n12n,求 lim(ln an). n(四)巩固练习:1.( 03北京春)若存在常数0 ,使得函数f (x)满足f(px) f (pxf (x)的一个正周期为2.设函数f x (x R)是以3为周期的奇函数，且 fA. a 2B. a 2 C. a 1 D. af x成立;1对称，对任a,则8.8.3.函数f(x)既是定义域为 R的偶函数，又是以 2为周期的周期函数，若 f(x)在 1,0上是减函数，那么f(x)

15、在2,3上是A.增函数一 x4.设 f(x) 一 x 1B.减函数1 、一一，记 fn(x)C.先增后减函数D.先减后增函数f4f2f 4 3f (x),则 f2007 (x) n个f(五)课后作业：1.已知函数f(x)是以2为周期的周期函数，且当x 0,1时,f (Iog2l0)的值为2.设偶函数f(x)对任意xR,都有f (x3)C. 381f(x) 2x 1D.-3f (x) 2x,则 f (113.5)A.B.f(x)2 7C.且当3,时,3.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对于任意的 xR,当 0 xwl时，f(x) 2x,则 f(11.5)A.D.都有f (x1)1 B. 1C

16、.已知f(x)是定义在实数集 R上的函数，满足 f (x 2) f(x),且x 2,0时，f(x)的表达式；2证明f(x)是R上的奇函数.3. (05朝阳模拟)已知函数f(x)的图象关于点一,0对称，且满足4f (0)2,求 f(1) f(2)f(3) f (2006)的值1 f(x)1 f(x)D.-20,2时,f (x)3 f(x) f(x -),22x x . 1 求又 f( 1) 1 ,(六)走向Wj考：1.( 05福建)f(x);的个数的最小值是是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)B. 3C. 42. (07安徽)定义在 R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数,0在区间0

17、,6内解D. 5T是它的一个正周期.若将方程f (x) 0在闭区间T, T上的根的个数记为nB. 13. ( 96全国)已知函数f(x)为R上的奇函数，且满足C.3f (x2)n可能为D.5 f (x),当0 x 1时,A. 0.5f(x) x,则 f(7.5)等于()B. 0.5C. 1.5D.1.54. ( 06安徽)函数x对于任意实数x满足条件，若 f 15,则f f 55. ( 06福建文)已知f(x)是周期为2的奇函数，当1 时，f (x) lg x.6.设 a f (6),b 5A. a b c(04天津)定义在f(3), c2B. bR上的函数- 5f，则2a cC. c b a

18、D. c a bf (x)既是偶函数又是周期函数，若 f (x)的最小正周期7.是，且当x(05天津)对称，则(05广东)0,7 上,0,时，f (x) sin x ,则C.一 5、，f ()的值为3.32D. 一2设f(x)是定义在R上的奇函数，且y f(x)的图象关于直线f(1) f(2)f(3)设函数 f (x)在( 只有 f(1) f(3)f(4)f(5),)上满足0.f(2 x) f(2 x), f(7x) f(7,且在闭区间(I)试判断函数 y f (x)的奇偶性；(n)试求方程f(x) 0在闭区间2005,2005上的根的个数，并证明你的结论【选择题】的值为1.f (x)是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为 T,则f ( T)的值为2A.0TB.一C.TA.0TB.一C.T22. (2004天津)定义在R上的函数f (x)既是偶函数又是周期函数TD. 一 2.若f (x)的最小正周期是Tt,且当x 0,乌时，f (x)0,乌时，f (x)2A.-2【填空题】=sinx,则f (2)的值为3B.-23.设f (x)3.设f (x)是定义在(2f(x)= 2(x 3)4,则 x)上，以2为周期的周期函数，且0,2时,f(x) =f (x)为偶函数，在区间 2 , 3上,x成立，写出f(x)的一个最小正周.已知函数f(x)是偶函数，且等式