(易错题)高中数学必修五第二章《解三角形》测试(答案解析)

1、一、选题1在ABC 中 A ，BC边上的高为 1，则ABC面积的最小值为（ ）A 2 5B 3C 3 2 2在ABC中，内角 A 、 B 、所对的边分别为 、 、 c ，c sin ，角的角平分线交 AB于点 ， 3 ， ，则 c 的为（ ）AB4 73C 33我国古代数学家秦九韶在数书九中记述“三斜求积术，在ABC中，角，C 所对的边分别为 a， ABC 的积 ( 2 2 2 .根据此公式，若 b c)cos A ，且 ba4 ，则的面积为（ ）A 6B 3C 3 4在中，若sin A(sin B B ) sin ，sin C ， ，则的面积为（ ）A 3C 5在ABC 中，若 2 2 2

2、B 4 8 3ab ，则 C )A45 B30 C D6已知 ABC 的内 、 B 、 C 的对分别为 a 、 、 ，且 2 a ，则 的接圆面积为（ ），若ABC 12 7在ABC中，角 、 、 所的边分别为 、 b 、 ，若角 A 、 、 成差数列，且a sin c ac 3 ， 的积的最值为（ ）A B 4 3C 2 8在 ABC 中若 ， 2 ， ，则 B 于（ ）A 30B 或1C60或209正三棱锥 中，若PA ， 40，点 、 分别在侧棱 PB 上运动，则 AEF 的长的最小值为（ ）A 20B 2C D 6 2 2, 4 2 2, 4 10 中， 2 A B，若 AB ， AB

3、C 周长的取值范围是 ) C 2 11 eq oac(, )ABC 中，AC A302 ， ，则 A ）B 或 150 D或 12华想测出操场上旗杆 的度，在操场上选取了一条基线 ，从测得的数据 ， 处仰角 60， C处的仰角 45 ， cos BOC 30中选取合适的，计算出旗杆的高度为（ ）A 二、填题B12m C12 2m 3m13ABC中，a ， ， 13，则ABC的外接圆半径为_.14ABC中，角 A， ，所对的边分别为 a ， b ， c ， ， b，则面积的最大值是_15知 的内角 A，B， 的边分别为 a，b， 2 B a ，且ABC的面积为 4 则 322的最小值为16 中角

4、 A， 的边分别为 a，满足 ， b ， A 的三角形解的个数是_.在锐角中， ， AB , 在边上，并且 BD 2 DC， ，则 ABC 的面积为18ABC中， S ，则 b sin A sin C_.19ABC中， AB ， BC边上的中线 ，则 eq oac(,S)ABC=_20图，在四边形 ABCD 中，已知 BC ， ， ， 135 cos A ， 三、解题 21 ABC 的角 A ， ， 的边分别为 a ， b ， ，知 b C （）角的大小；（） 2 ，c B ，求的面积22ABC中， ，点 D 在BC上，满足 AB 3 BD .（） ，求 C ；CD , ，求 的积.（）23

5、中，角 A， 所边分别 ， b 的中点， BD AB ， c 和 ABC.5c ， A .点 是24三角形 中角 ，C 所对的边分别是 a， B+cA （）角 的小；（）线段 BC 上存在一点 D使得 ，且 AC 6 ， 求 .25 中，已知 aB=bA，试判 eq oac(, )ABC 的形状26 是边三角形，点 D 在 AC 的长线上，且 AD=3CD=2 7 ， AD 的值 和 sinABD 的值【参考答案】*试卷处理标记，请不要除一选题1解析：【分析】根据题意，可求得 1 AB , sin sin ，代入面积公式，可求得面积的表达式，设y 4sin B sin ，根据 B、 的系，利用

6、两角差的正弦公式及辅助角公式，可得y B ) ，根据 B 的围，即可求得，即可得答.【详解】设 BC 边的高为 ，则 AD=1， BC ，图所示：所以sin 1 AB AC ,所以AB sin B C，所以S 1 AB AB AC 2 4 B ，设y 4sin B ，因为 A 6，则 6，所以y 4sin B sin B sin(5 5 ) B cos cos sin B 6 = cos B 3 sin 2 sin 3 B 3=2sin(2 3，因为B 4 ，以 ( , ) ，所以 sin(2 ) ，则y B ) (0,2 3，所以y ，所以面积的最小值为y2 3.故选：【点睛】解题的关键是将

7、题干条件，转化为y 4sin B sin ，根据 的围，结合三角函数的图象与性质求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档. 2B解析：【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角 的，由 ABC ACD 可得出 ，结合 可求得 a 、的值，再利用余弦定理可求得 的.【详解】 sin A ，由正弦定理可得，可得 a 2 2 a2 2 1由余弦定理可得： cos C 2ab 2，0 ，所以 ，由 ABC ACD ，有1 1 sin sin b 2 3 6 2 6，得ab ，所以 3b b ，b 43， ，由余弦定理可得 c 2 2 16 4 7 . 故选：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，

8、若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理 或余弦定理得到答案，要选择边角或角边，换原则如下：（）式子中有正弦的齐次式，优先考虑正弦定“角边；（）式子中有 、 、 的齐次式，优先考虑正弦理边”；（）式子中有余弦的齐次式，优先考虑余弦定“角边；（）数式变或者三角恒等变换前置；（）有面积式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（）时出现个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定.3C解析：【分析】首先根据正弦定理化简已知，求得 A ，再根据余弦定理求 b，最后代入面积公式求解.【详解】由正弦定理边角互化可知a cos b )cos A 化简为sin A B 2sin A sin cos B

9、 cos A 2sin A，即 C cos sin ， ,2 2 2 2 b 2 2 1 1 A ，得：2bc 2 2bc bc ，根据面积公式可知 S 2 2 . 故选：【点睛】关键点点睛，本题考查数学文化，理解面积公式，对于面积公式可变形为S 2 2.4C解析：【分析】在中，sin ，化简sin A B cos B ) 可得A ，又sin B 和 ，解得 B ， ，后通过正弦定理求出 3 12c 2( 3 【详解】，再根据三角形面积公式得到面.由sin A(sin B B ) sin 得：sin B A A B A B ，sin A cos A，又A ，)，则 A ，则 ，又sin B 2

10、 sin3C，则 B C k或 k 2，B、C )，则B C 3 或 ， B 2，则取2 ，得B ， 12，又 ，根据正弦定理， Csin 2( 3 ，S .故选 C.【点睛】思路点睛：在三角形中，由于 ,根诱导公式，sin ，sin , A，cos ,cos ,cos 等，以上常见结论需要非常熟.5B解析：【分析】根据余弦定理，可以求出 C 角的余弦值进而根据 C 为角形内角，解三角方程可以求角【详解】a222ab a 2 3 .2ab 又 为角形内角 .故选 【点睛】本题考查余弦定理的应用，属基础题 6D解析：【分析】先化简得B 2，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得的外接圆面.【详解】

11、由题得 b 2 2 2 ，所以 222 2 ，所以 a ，所以2ac cos B 12,所以B 2.3由正弦定理得 32=2 R R 3,所以 的接圆面为 =3.故选 D【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分 析推理能力7B解析：【分析】a a 由等差数列性质得B 3，应用正弦定理边角转换、余弦定理由已知可求得三角形外接圆半径 R ，从而边 可角表示，最后用角表示出三角形面积，结合三角函数恒等变换、 正弦函数性质得出最大值【详解】 角 A 、 、 成等差数列， B ，又 ， B 3，C 22 ， A (0, )3，由正弦定理 c R sin A

12、sin C得 a ,sin B ,sin 2R R 2，2a sin sin Cac ， 2 sin A sin C sin ，即 2 c a cos ac ， ac R R R 4 4 ， ，3又由正弦定理得 a A 3 8 A, 3 C ，S1 1 8 3 8 3 16 3 2ac sin sin C A) 2 2 3 3 1 3 A A sin ) sin A cos 2sin 2 2 32)4 8 3 2 A sin(2 3 6 ， A (0,2 ) ， A 时， A ) 6，即取得最大值 3 4 3 故选：【点睛】本题以我们熟知的三角形为背景，探究的是三角形面积的最大值，结合等差数列

13、的性质， 利用正弦定理进行边角转换，考查目的是让考生发现、揭示问题本质的关联点，从而有效 的激发考生学习兴趣，本题同时考查了考生的逻辑推理能力、直观想象能力本题属于中 档题8D解析：【分析】由正弦定理，求得s B sin A ，再由 ， ，即可求解，得到答.【详解】由题意，在中，由正弦定理可得 B，即 sin 2 3 30 2 2，又由 ，且0，所以 或 ，故选：【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的 关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础.9D解析：【分析】画出正三棱锥 ABC 侧展开图，将问题转化为求平面上两点间的距离最小值问题，不 难求得

14、结果【详解】将三棱锥由 开，如图，正三棱锥 ABC ， APB ，则图中 120，当点 A 、 、 F 、 A 位于同一条直线上时， AEF 的长最小，故 AA 为 AEF 的长的最小值，又 ，为等腰三角形，PA ， PA ， AA 3 最小周长为： 6 ，故选：【点睛】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面 22 2 22 2 上两点之间的距离问题，是解答本题的关键 10解析：【解析】由题意可得：tan tan 2 2 C2C2C C2sin 2 ，则：sinC 1 1 ，即： C C 2.据此可 eq oac(, ) 是点 C 为直角顶点的直角三角形

15、，则4 ，据此有： a 2 的周长： 2 2 ，三角形满足两边之和大于第三边，则： 2, ，综上可得：周长的取值范围是4, 2.本题选择 C 选项.11解析：【分析】直接利用正弦定理求出 的小，根据大边对大角可求 A 为锐角，即可得解 A 的值 【详解】因为 eq oac(, )ABC 中， 2 ，B，所以：BC AC sinB，21BC AC 12因为：可得： 为角，所以：故选：【点评】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题12解析：【分析】设旗杆的高度 OA 选，表示出 ，OC ， 中由余弦定理列方 程求解；选，表示出 ， BAC 中由余弦定理列方程求. 【详解】3

16、2 2 h h 8 3 3 3 2 2 h h 8 3 3 设旗杆的高度 .选，则OC ， h3，在 中，由余弦定理得 OC OB ，即122 2h 3 2，解得 ；选，则AB 23h， 2 ，在中，由余弦定理得 BC222 ，即122 2h ，解得 h 3 .故选：【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形的应用，考查了仰角的概念，考查了学生对概念的理 解和运算求解能力，属于中档.二、填题13【分析】利用余弦定理求出并求出再利用正弦定理可求得的外接圆半径 【详解】由余弦定理可得则为锐角所以因此的外接圆半径为故答案为：【点 睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边和角但不能直接使 用

17、解析： 【分析】利用余弦定理求出 ，求出sin ，再利用正弦定理可求得的外接圆半.【详解】由余弦定理可得 a 22 ，cos 13，则C为锐角，所以， sin 1 C ， 因此， 的外接圆半径为 故答案为：.r 2sin C2 3 9 2 2 3.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理 或余弦定理得到答案，要选择边角或角边，换原则如下：（）式子中有正弦的齐次式，优先考虑正弦定“角边；（）式子中有 、 、 的齐次式，优先考虑正弦理边”；（）式子中有余弦的齐次式，优先考虑余弦定“角边；（）数式变或者三角恒等变换前置；（）有面积式的问题，要考虑结合余弦

18、定理求解；（）时出现个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定.14【分析】先根据余弦定理求出结合平方关系求得利用三角形的面积公式及 二次函数可求面积的最大值【详解】 可得 由可得即则的面积当且仅当时 即时取等号故答案为：【点睛】本题主要考查三角形的面积最值常见求解思 解析： 12【分析】先根据余弦定理求出 ，结合平方关系求得 A ，用三角形的面积公式及二次函数可求 面积的最大值 【详解】 ， b，6 b 2 A 可得 cos 36 2，sin 1 2 A 4 2，由 ，可得4 2 36 ， ，则 ABC 的面积 2304 S sin sin 2 b2 42，当且仅当 2 60 时，即

19、 时等号故答案为： 【点睛】本题主要考查三角形的面积最值，常见求解思路是建立关于三角形面积的表达式结合二次 函数或者基本不等式的知识求解，侧重考查数学运算的核心素.1580【析】由已知结合正弦定理以及三角形内角和性质有根据面积公式有 再应用余弦定理可得结合目标式有利用基本不等式即可求最小值；【详解】由 及正弦定理可得 即又故故因为的面积为所以即故由余弦定理可得 当且 解析：【分析】由已知结合正弦定理，以及三角形内角和性质有 ，根据面积公式有 ab ，应用余弦定理可得 c 2 a ，合目标式有 3a2 2 4a ，利用基本不 等式即可求最小值；【详解】由 2c cos 及正弦定理可得 2sin

20、2sin A sin ，2sin C cos B ， 2sin B ， B ，故 2 ，故 因为的面积为 4 所以ab ，即 4 3 故 2 ，由余弦定理可得 cos C 2 ，a 4ab 80 ，且仅当 a 2时等号成立，故 3a22的最小值为 故答案为：【点睛】本题考查了正余弦定理，应用了三角形内角和性质、三角形面积公式以及基本不等式求最 值；16【分析】直接利用正弦定理得到答案【详解】根据正弦定理得到：故故满 足条件的三角形共有个故答案为：【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角 形的个数问题意在考查学生的应用能力解析：【分析】直接利用正弦定理得到答.【详解】根据正弦定理得到： 9 ， ，

21、1 sin B sin A.故满足条件的三角形共有 2 个故答案为： 2 .【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的个数问题，意在考查学生的应用能. 17【分析】在中由正弦定理可得到在中由正弦定理可得到由是锐角可知结合 三角形的面积公式可得到答案【详解】在中由正弦定理得：则在中由正弦定理 得：则因为所以由于三角形是锐角三角形故则故的面积为【点睛】本题考查 解析： 【分析】在中，由正弦定理DC ，得到 sin ，在ADB 中由正弦定理DB sinBAD sin，可得到sin sinADB12DC DC 2 ，由 BAD 锐角，可知 BAD ，2 2 ，结合三角形的面积公式可得到答案【详解】在

22、ADC ，由正弦定理得： ACsin sin，则 sinADC DC DC，在 中，由正弦定理得：DB sinADB ， sin sinBAD sin ，因为sin ADC DC，BD ，所以 12 DC 2 ，由于三角形是锐角三角形，故 BAD ，则2 2 2 sinBAC sin ，故的面积为 2 3 . 4【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中档题 18【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理求解即可【详解】由余弦定理可知故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用 属于中档题解析： 12【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理求解即

23、.【详解】ABC 1 3 bc sin A 2 2由余弦定理可知 a 22bc cos 144 36 72 a a 2 sin sin 3故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档.19【分析】中分别用余弦定理表示再利用解边长再根据余弦定理求角最后根 据三角形面积公式求解【详解】设中中解得：中故答案为：【点睛】本题考查 解三角形重点考查数形结合分析问题计算能力属于基础题型解析： 15【分析】ABD ， ADC 中分别用余弦定理表示 c ， ADC ，利用 ADC 解长 BC ，再根据余定理求角 BAC ，后根据三角形 面积公式求.【详解】设BD DC ，ABD2

24、2 中， ADB 2 4，ADC22 2 2 中， cos 2 ADB ， , 2 6 2 6 4 x，解得： x 6 ， ，中，cos 22 2 14, 1 sin BAC 4 , . 2 4故答案为： 【点睛】本题考查解三角形，重点考查数形结合分析问题，计算能力，属于基础题.20【分析】由余弦定理可得由诱导公式可得进而可得由三角恒等变换得再由 正弦定理即可得解【详解】在中由余弦定理得所以所以又所以所以所以在中由 正弦定理得所以故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角解析： 【分析】由余弦定理可得 BD 、 cos 12，由诱导公式可得sin CBD 12，进而可得cos ，三角

25、恒等变换得in ，再由正弦定理即可得解【详解】在 中由余弦定理得 BD 2 AB AD 2 AB A 所以BD ，AB 2 2 所以 2 ，又 ，所以sin cos ABD ， ，所以 ，所以 sin CBDBCD cos 1 6 2 2 ， BD 2在 BCD 中由正弦定理得 BDC sin ，所以 故答案为： 4 24 .【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角形的应用，考查了三角恒等变换的应用及运算求解 能力，属于中档.三、解题 1211）；（） . 2【分析】C（）用正弦理化边为角，利用三角恒等变换公式化简，得到c C 的大小；，从而求得（）用余弦理化简 cos A，得到 ab，求出

26、，再计算面积即可.【详解】解：（）已及正弦定理，得 2 B C sin A cos C C B A cos C cos A C A ，sin 2 B C B 又 ， C ， （）已知及弦定理，得 ac a 2 222 a 2 b2 2 2ac 22化简，得 a又 a ， 的面积ABC sin 2【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出 现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦6 AD AB AB AB AC2 2 6 AD AB AB AB AC2 2 定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围2

27、21）【分析】；（） 2 .（） ABD 中由正弦定理得 sin BDA 大小；，得到 的大小，进而求得（） BD CD BD 得到 6 ，根据向量的线性运 3算，求得AD AB AC ，进而得到4 2 2 9 92，求得BC , AB , 的长，利用面积公式，即可求解 【详解】（） ABD 中由正弦定理 ABsin BAD BDA，所以sin BDA AB 3BD ，因为 (0,)，所以BDA 或 BDA 3，当 时，可得 6，可得 ；当 时，可得 ，因为BAC （舍去），综上可得C .（）为 AB BD CD BD ，以 AB 3 6BC , AC BC ， 3 3 1 2 1由 AB B

28、D AC ) AB ， 3 3 3所以2 2 1 2 1 4 4 2 1 2 9 9，即24 AC9 2， 1 6又由 AD ，得 9 ，则 2 AC 4 32 ，解得 所以S 2 .2 2 2 0, 2 2 2 0, 23 5 ， 4.【分析】由勾股定理求出 BD ，由sin A BDAD， c sin ， 5c 求 5 ， ，再由余弦定理求出 【详解】，最后由正弦定理求出 . 解：在直角三角形 ABD 中 c c ，所以 BD .2所以 sin BD .AD 又因为 c sin ，所以 5 由 c 得 .因为 sin A ， ，所以 cos A 1 sin A 5.在 中，由余弦定理，得 2 5 .由正弦定理，得a sin sin 5 ，即 sin ABC 5，所以 ABC .又因为 , ，所