高中数学数学归纳法-完整精讲版课件

1、2.3 数学归纳法从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。” 万百千的笑话2.3 数学归纳法课题引入不完全归纳法回想等差数列通项公式的推倒过程：像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。费尔马(1601.81665.1)，法国数学家。 (费马猜想)结论是错

2、误的。举例说明：一个数列的通项公式是：an= (n25n+5)2请算出a1= ，a2= ，a3= ，a4=猜测an?由于a525 1，所以猜测是不正确的所以由归纳法得到的结论不一定可靠 1111猜测是否正确呢？思考：归纳法有什么优点和缺点？优点：可以帮助我们从一些具体事 例中发现一般规律缺点：仅根据有限的特殊事例归纳 得到的结论有时是不正确的解：猜想： 如何通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？证明对于数列，已知，求出数列前4项,你能得到什么猜想？ 只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下： （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。 （依据） 条件（2）事实上

3、给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。思考：你认为证明数列的通项公式 是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？（1）第一块骨牌倒下；（基础）多米诺骨牌游戏的原理 这个猜想的证明方法（1）第一块骨牌倒下。（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。（1）当n=1时猜想成立。（2）若当n=k时猜想成立，即 ，则当n=k+1时猜想也成立，即 。根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想 都成立。已知数列数学归纳法对于某些与 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明

4、当n取第一个值n0时命题成立；2. 当n=k(kN*，kn0)时命题成立， 当n=k+1时命题也成立。这种证明方法就叫做。数学归纳法正整数n假设证明 根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.证明：(2)假设n=k时猜想成立即1k=a k证明一个与正整数n有关的数学命题 关键步骤如下：这种证明方法叫做数学归纳法(1)证明当n取第一个值n0 时命题成立 完成这两个步骤后, 就可以断定： 命题对从 开始的所有正整数n都成立 (2)假设当 时,命题成立 证明当 时,命题也成立（基础）（依据）例1：用数学归纳法证明：122334n(n1) 从n=k到n=k+1有什么变化利用假设凑结论证明:2)假设

5、n=k时命题成立,即122334k(k+1)则当n=k+1时， += n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 ，命题正确。 =1)当n=1时，左边=12=2,右边= =2. 命题成立数学归纳法步骤，用框图表示为： 验证n=n0时命题成立。若n = k ( k n0 ) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 命题对从n0开始的所有的正整数n都成立。归纳奠基归纳递推 注：两个步骤,一个结论,缺一不可上如证明对吗？为什么？证明：当n=1时，左边设n=k时，有即n=k+1时，命题成立。根据问可知，对nN，等式成立。思考：用数学归纳法证明:当右边等式成立。第二步证明中没有用到假设，这不是数

6、学归纳法证明。则，当n=k+1时135（2n1）正确解法：用数学归纳法证明n2即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立。证明：135（2k1）+2(k+1)1那么当n=k+1时（2）假设当nk时，等式成立，即（1）当n=1时，左边1，右边1，等式成立。135（2k1）k2 + 2(k+1)1k2 2k1k2（k+1）2（假设）（利用假设）注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。证明传递性（凑结论）用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： 明确首取值n0并验证真假。（必不可少） “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。分析“n=k+1时”命题是什么，

7、并找出与“n=k”时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 并 用上假设。课堂练习2、求证：1+2+3+n=n(n+1 )课堂小结1、数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确4、数学归纳法体现的核心思想是什么？递推思想，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题注意类比思想的运用作业：求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3 (2

8、n-1)证明： n=1时：左边=1+1=2，右边=211=2，左边=右边，等 式成立。 假设当n=k(kN ）时有： (k+1)(k+2)(k+k)=2k 1 3 (2n-1), 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)(k+k) = 2k 1 3(2k-1)(2k+1)2 = 2k+11 3 (2k-1) 2(k+1)-1=右边， 当n=k+1时等式也成立。 由 、可知，对一切nN ,原等式均成立。 练习：1、如果an是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成立。 证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1, 当n=1时，结论成立(2)假设当n=k时结论成立,即ak=a1+(k-1)d 当n=k+1时，结论也成立.由(1)和(2)知,等式对于任何nN*都成立。利用假设凑结论注意 1.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.2(1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0(2)(归纳递推)是递推的依据nk时命题成立作为必用的条件运用，而nk+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；（2）假设当n=k时，等式成立，即那么 这就是说，