《复数的四则运算》单元教学设计(2课时)

1、复数的四则运算单元教学设计（ 时） 一、内容和内容解析1.容复数的加减运算及其几何意义，复数的乘除运算本单元的知识结构：本单元建议用 2 时时加减运算及其几何意义时， 复数的乘、除运算.2.容解析引入一类代数对象要研究它的运算节主要讨论复数的加法法运算它们的逆运算角度给出复数减法的运算法则还讨论复数加、减运算的几何意义.通过本节的学习，侧重提升学生的数学运算、直观想象素养复数的四则运算法则都是规定的，但这种规定是有“依据”的，也是有层次的 一层次，复数的加法和乘法法则是直接规定的，规定的“依据”就是在复数概念引入时，得到的“规则”， 即实数系扩充到复数系后，我们希望“数集扩充后复数集中规定的加

2、法运算法运算原来在实数集中规定的加法运算法运算协调一致且加法和乘法都满足交换律和结合律法对加法满足分配律” 教学时应引导学生体会复数运算法则和运算律规定的合理 . 以此为载体，教给学生研究数学问题的思路和方. 第二层次，复数的减法运算和除法运算法则通过复数的减法运算是加法运算的逆运算法运算是乘法运算的逆运算得到的以看成逆运算实数减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算得到 . 教学过程中，要让学生感受转化与化归的数学思想受加减运算和乘除运算中辩证统一的思想一步体会类比是研究数学问 题的重要方法,教材在规定了复数的四则运算后，让学生分别与多项式的运算法则进行比较，发现两者的共 . 的是通过类比，让

3、学生借助多项式的四则运算法则去进行复数的四则运算，从而避免了不必要的死记硬背如：复数 a+bi 中实部和虚部 ，b 看作常数，i 作“变元”，从而将复数 a+bi 看成是“一次二项式”，进而就容易发现两个复数相加与两个 “一次二项式”相加合并同类项一致个复数相加与两个多项式相加类似成同类项 通过这种比较，加深理解，淡化记忆，提升学生的数学运算素养复数加法和减法的几何意义是借助复数的几何意义以及向量加法和减法的几何意义得到的要体现在三方面是复数与复平面内以原点为起点的平面向量一一对应是向量加法和减法的坐标形式及其几何意义是复数的加法和减法的运算法则学中要让学生充分感受数形结合以及类比的数学思想

4、受普遍联系的唯物主义观点，提升学生的直观想象素养综上所述，本单元的教学重点是：复数代数形式的加、减、乘、除的运算法 则及其运算律，复数加、减运算的几何意义二、目标和目标解析1. 目标（1掌握复数代数表示的四则运算的运算法则和运算律，体会转化与化归 的数学思想方法，发展数学运算素养.（2发现复数的四则运算和多项式的四则运算的共性，体会类比的思想方 法.（3了解复数加、减运算的几何意义，体会数形结合的思想方法，发展直 观想象素养.（4了解在复数集中求解一元二次方程的方法2. 目标解析达成目标（1的标志是：学生能够依据数系扩充的规则，自主探索，合理地规定复数加法和乘法的运算法则够通过减法和加法互为逆

5、运算法和乘法互为逆运算到减法和除法的运算法则在其中体会转化与化归的思想方法.学生能够利用复数的四则运算法则，进行简单的复数代数表示的运算.达成目标（2的标志是：学生能够通过类比发现复数的加减运算和乘除运算与多项式的加减运算和乘除运算的“共性”，得到“两个复数相加（减）或相 乘（除），类似于两个多项式相加（减）或相乘（除）达成目标（3的标志是：学生能够通过复数与平面向量一一对应的关系、平面向量加法和减法的几何意义以及复数加减运算法则数加减运算的几 何意义.达成目标4的标志是：学生能够利用复数的四则运算法在复数集范围 内求解一元二次方程，得出复数集内一元二次方程的求根公式三、教学问题诊断分析学生在

6、初中已经学习过多项式的四则运算，在“数系的扩充和复数的概念”一节已经了解了数系扩充的规则，即集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律在教师的引导下，应该能够得出复数加法运算和乘法运算运算法则的“合理”规定 . 前一节刚刚学习了复数的几何意义复数与复平面上的点以及平面向量三者之间一一对应的关系比较熟悉以易得出复数加法的几何意义时类比加法的几 何意义，能够得出复数减法的几何意义.由于减法运算和除法运算是分别通过加法运算和乘法运算的逆运算得到的，而学生对逆运算会感觉不好理解习中可能会存在

7、一些困难以本单元的教 学难点是：复数减法和除法的运算法则.四、教学支持条件分析在复数加法和减法几何意义的教学中，可借助几何画板 Geogebra 件，呈现复数所对应的平面向量以及加减运算后所得到的平面向量生更好地 理解复数加法和减法的几何意义.五、课时教学设计第一课时7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（一）课时教学内容复数的加减运算及其几何意义.（二）课时教学目标1.掌握复数加法和减法运算的运算法则及其运算律.2.了解复数加法运算和减法运算的几何意义.（三）教学重点与难点教学重点数加法运算的运算法则及其运算律数加运算的几何意 义教学难点：复数减法运算的运算法则（四）教学过程设计1.数加法

8、运算和减法运算引言：同学们，上一节课，我们把实数集扩充到了复数集，引入新数集后，我们就要研究其中的数之间的运算 .我通过上一节的研究，已经了解了，数集扩充后，复数集中的数依然满足四则运算和相应的运算律 单元我们主要讨论复数的加法运算它们的逆运算角度给出复数减法的运算法则.这一单元分为两课时，我们这节课先来学习复数的加减运算及其几何意义 .节 课我们再学习复数的乘除运算.问题 1 上一节，我们在将实数集扩充到复数集的时候，遵循了数系扩充的 规则，这个规则是什么？师生活动：生思考回答：数集扩充后，在复数集中规定的加法运算、乘法运算原来在实数集中规定的加法运算法运算协调一致且加法和乘法 都满足交换律

9、和结合律，乘法对加法满足分配律设计意图：数加法运算法则是规定的这种规定是基于数系扩充的一般规则让学生复习数系扩充的一般规则故知新后续复数加法运算法则 的规定做好铺垫.问题 2 们规定数的加法法则如下是任意两个复数，那么它们的和当 b=0,d=0 时， ？和规定的复数的加法运算法则比较，说明了什么？师生活动： 学生易得 a+c. 教师引导学生得出：复数的加法法则与实数的加法法则一致，这说明复数系与实数系中加法运算协调一致设计意图：过特例学生感受复数系中加法的运算法则和实数系中加法 的运算法则是协调一致的.问题 3 同学们，我们已经规定了复数的加法运算法则，请大家类比一下， 复数的加法运算和多项式

10、的加法运算有什么共性？师生活动：师引导，学生思考回答：可以把复数 a+bi 中实部和虚部看作常数，i 看作“变元”，从而将复数 a+bi 看成是“一次二项式”，进而就容易发现两个复数相加与两个 “一次二项式”相加合并同类项一致这样，可以得到两个复数相加与两个多项式相加类似，可以看成是“合并同类项” .师总结：两个复数相加，类似于两个多项式相加 . 复数的加法法则不需要死记硬 背.设计意图：学生通过类比会复数加法运算法则和多项式加法运算法则 的联系性.问题 4 数的加法是否和多项式的加法一样，也满足交换律和结合律呢？追问：你能试着证明你的结论吗？师生活动：师引导生由多项式加法的交换律和结合律易猜

11、测得出复数的加法也满足交换律和结合律 .之让学生分成两大组，分别证明复数加法 的交换律和结合律，证明完成后，由学生进行展示与互评设计意图：学生经历观察比想明的过程养逻辑推理素养 问题 5 我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法的意义，你 认为该如何定义复数的减法？师生活动：学生思考回答.教师引导：首先类比实数的减法定复数的减法是加法的逆运算用两个复数的加法定义两者的差；即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi 的复数 x+yiR）叫做复数 a+bi，bR）减去复数 c+di（c，dR）的差，记作(a+bi)-(c+di)然后依据复数的加法、复数相等的定义， ，d+y=b，因此 x

12、=a-c y=b-d.所以 x+yi=(a-c)+(b-d)i即：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.教师要指出这里实际上使用的是待定系数法确定复数的一个一般性 的方法追问：复数的减法和多项式减法有什么共同点？师生活动：学生通过类比，易得：两个复数相减，类似于两个多项式相减， 也可以看成是合并同类项.设计意图：过类比实数减法是加法的逆运算导学生推导得出复数减法的法则会待定系数法是确定复数的一般方法会类比是研究问题的常用的 逻辑思维方法.通过与多项式减法的类比，发展学生的逻辑推理素养.2.数加、减运算的几何意义问题 6 数的几何意义是什么？追问 1向量加法的几何意义是什么？追问

13、 2你能由向量加法的几何意义出发，得出复数加法的几何意义吗？师生活动：学生思考回答，教师利用 PPT 展示复数的几何意义以及向量加 法的几何意义.师生活动：师从三个方面进行引导是复数与复平面内以原点为起点的平面向量一一对应是向量加法的坐标形式及其几何意义是复数的加法法 则.师生共同推导得出：这说明两个向量的和就是与复数(a+c)+(b+d)i 对应的向量因此数的加法可以按照向量的加法来进行下图所示就是复数加法的几何意义设计意图：学生通过类比、推理，得出复数加法的几何意义，体会数形结 合思想的作用，加深对复数几何意义的理解，提升数学直观想象素养追问 2类比复数加法几何意义得出的过程能得出复数减法

14、的几何意义 吗？师生活动生自主探究比加法几何意义得出的过程出复数减法的几何意义，即：复数的减法可以按照向量的减法来进行，如下图所示：3.数加减运算及其几何意义的简单应用例 1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).师生活动：学生独立完成，教师展示学生答题结果，并进行评价.解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i.设计意图：让学生利用向量加、减运算法则和运算律进行简单的运算求解， 巩固新知.4. 课堂练习教科书第 77 练习第 题.师生活动： 学生独立完成，口答结果，教师进行评价反馈 . 师进一步指出复数的加减运算类似于多项式加减运算合并

15、同类项数的减法运算可以 转化成加法运算.设计意图：时巩固新知查学生对复数加减运算法则和运算律的掌握程 度，培养学生运用所学知识解决数学问题的能力，提升数学运算素养师生活动：学生独立完成，教师利用信息技术进行展示、评价、反馈.设计意图：通过该例题加深学生对复数代数形式加法运算几何意义的理解， 通过画图培养学生数形结合思想和直观想象素养例 3 据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点之间的距离教师指出：题的计算结果实际上就是平面上两点间的距离公式高二年 级的解析几何的教学中还会进一步学习.5. 课堂练习教科书第 77 练习第 题.设计意图：一步巩固复数加减法运算的几何意义会利用复数的几何意 义可

16、以将几何问题代数化，体会转化与化归的数学思想6. 课堂小结问题 7 通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、 经验等方面谈谈.师生活动：学生思考回答，教师补充完善.预设答案：识方面习了复数加减运算的运算法则算律以及几何意 义；思想方法方面：类比的研究方法，转化与化归的数学思想等设计意图：过对本节内容从知识和方法上进行总结学生对本节课的学 习有一个全面、系统的认识.7. 课后作业教科书习题 7.2 1 题.（五）目标检测设计1已知复数 z 满足 i则 z 于 ( 0 B C6 D设计意图：考查学生对复数加法运算掌握的情况2已知 2 1，复数 z 对应的点位于 ( 第一象限 B第

17、二象限C第三象限 D第四象限设计意图考查学生对复数加减法运算法则和复数加法运算几何意义的掌握 情况.设计意图：考查复数的加减运算.第二课时7.2.2 复数的乘、除运算（一）课时教学内容复数的乘除运算.（二）课时教学目标1.掌握复数乘、除运算的运算法则及其运算律.2.会在复数范围内求解一元二次方程.（三）教学重点与难点教学重点：复数乘法运算的运算法则教学难点：复数除法运算的运算法则（四）教学过程设计1.数的乘法运算及其应用引言：节课们学习了复数的加减运算及其几何意义节课我们来继 续学习复数的乘除运算.问题 1 们规定，复数的乘法法则如下：设 =a+bi， = c+di(a，b,c,d任意两个复数

18、，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.复数的乘法法则和多项式的乘法法则有什么共性和差异？师生活动：学生思考口答，教师板书.学生通过类比，易得：将复数 a+bi 看成是关于 i 的“一次二项式”，将复数的乘法按多项式的乘法进行在所得的结果中把虚部分别合并即可换成-1把实部与教师指出数的乘法法则类似多项式的乘法法则没有必要专门去记忆 复数乘法的法则设计意图：通过类比，进一步加强数学知识间的联系，问题 2 合理规定了复数乘法的运算法则之后，你认为我们还应该继续研究 什么？师生活动：生类比复数加法的研究过程易想到接下来应该去研究复数 乘法的运算律.追问 1你认为复数

19、的乘法是否满足交换律合律？乘法对加法满足分配 律吗？师生活动：学生类比多项式乘法，易得出复数的乘法满足交换律、结合律， 乘法对加法满足分配律的猜想.即：追问 2怎样证明你的猜想？师生活动：教师根据学情，让学生证明他们的猜想可以分成 3 个大组，每组同学分别证明其中一个结论可以证明其中一个复数乘法的交换律 两个留作课后作业.教师重点展示（或板书）其中一个结论的证明过程.以复数乘法的交换律为例：设计意图： 让学生经历猜想、证明的过程，感受数学的严谨性 过形式化 的证明，培养学生的逻辑推理素养和数学运算素养例 1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)师生活动：学生独立完成，之后利用信息技术手段展

20、示、自评、互评.解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.教师要提醒学生注意(-2i)(4i)=8，而不是-8.设计意图：一是让学生明晰复数乘法的结合律连乘形式有意义， 可以看成左到右依次相乘；二是让学生熟悉复数的乘法例 2 计算：（1）(2+3i)(2-3i) （2）(1+i)2.师生活动：师应先引导学生观察两个式子的特点而指出计算时以用复数的乘法法则计算可以用初中学过的乘法公式计算生独立完成后进 行展示、自评、互评.（5一元多项式方程有虚根虚根以共轭复数的形对出现设计意图：特殊到一般想得出共轭复数的性质会推广和一般化是 得出数学结论的一种逻辑思维

21、方法.问题 4 类比复数减法运算法则的规定定复数除法的运算法则？师生活动： 类比复数的减法是加法的逆运算，以及实数的除法是乘法的逆运算，学生可以得出可以由复数的除法是乘法的逆运算来探求复数除法的法则追问 1请尝试由复数的除法是乘法的逆运算以及复数乘法的运算法则 规定复数除法的运算法则.师生活动： 教师指出：把满足(c+di) (x+yi)=a+bi（a，b，d，xR，且 c+di0）的复数 x+yi叫做复数 除以复数 的商. 学生尝试推导，教师巡 视并给予个别指导.由计算可得(c x -dy)+ (cy+d x) =a+bi.根据复数相等的定义，有 c x -dy=a x=b.师生活动：学生思考回答，可以将“分