高中数学 一轮复习 第三章第一节　函数及其表示

1、第一节函数及其表示课程标准考向预测1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用考情分析：以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域，分段函数以及函数与其他知识的综合仍是高考的热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，难度中等偏上学科素养：数学抽象、数学运算学生用书P221函数的定义函数前提条件集合A，B是两个

2、非空的数集对应关系按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记法yf(x)，xA2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法注意函数图

3、象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象3分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数注意分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集(1)直线xa(a是常数)与函数yf(x)的图象有0个或1个交点(2)判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yf(x)的图象与直线x1有两个交点()(2)定义域相同，值域也相同的

4、两个函数一定是相等函数()(3)二次函数yx21的值域可以表示为y|yx21，xR，即为y|y1()(4)分段函数是由两个或几个函数组成的()答案：(1)(2)(3)(4)2已知函数f(x) eq blc(avs4alco1(log3x，x0,x2，x0) ，则f(f( eq r(3) )()A2 B2 C1 D1Df( eq r(3) )3，则f(f( eq r(3) )f(3)log331，故选D.3(多选)(2020海南海口第四中学期中)下列各组函数表示同一函数的是()Af(x)1，g(x)x0Bf(x) eq r(x2) ，g(x)|x|Cf(x)x1，g(x) eq f(x21,x1

5、) Df(x)|x|，g(x) eq blc(avs4alco1(x，x0，,x，x0) BD对于A项，f(x)1的定义域为R，g(x)x0的定义域为x|x0，两个函数的定义域不同，所以它们是不同函数；对于B项，f(x) eq r(x2) |x|的定义域为R，g(x)|x|的定义域为R，且两个函数的对应关系相同，所以它们是同一函数；对于C项，f(x)x1的定义域为R，g(x) eq f(x21,x1) 的定义域为x|x1，两个函数的定义域不同，所以它们是不同函数；对于D项，f(x)|x| eq blc(avs4alco1(x，x0，,x，x0，) g(x) eq blc(avs4alco1(x

6、，x0，,x，x0，且当x eq f(6,2a) ，即x eq f(3,a) 时，ya( eq f(3,a) )26 eq f(3,a) 7a2，即7a22a90，所以a1或a eq f(9,7) (舍去).5已知f(x) eq r(x3) eq f(1,xa) ，若f(2)0，则a的值为_解析：因为f(x) eq r(x3) eq f(1,xa) ，所以f(2) eq r(23) eq f(1,2a) 0，解得a1.答案：16如果f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x) eq f(x,1x) ，则f(x)_解析：由f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)

7、eq f(x,1x) ，知x0且x1.令 eq f(1,x) t，得x eq f(1,t) (t0且t1)，f(t) eq f(f(1,t),1f(1,t) eq f(1,t1) (t0且t1)，f(x) eq f(1,x1) (x0且x1).答案： eq f(1,x1) (x0且x1)学生用书P23 eq avs4al(求函数的定义域) 题组练透1函数f(x) eq r(14x2) ln (3x1)的定义域为()A eq f(1,2) ，1) B( eq f(1,3) ， eq f(1,2) C eq f(1,2) ， eq f(1,4) ) D eq f(1,2) ， eq f(1,2)

8、B要使函数f(x) eq r(14x2) ln (3x1)有意义，则有 eq blc(avs4alco1(14x20，,3x10) eq f(1,3) 0，所以x2，,x22，x2，) 则f(f(1)()A eq f(1,2) B2C4 D11(2)(2020湖北省部分重点中学联考)设函数f(x) eq blc(avs4alco1(x21（x2），,log2x（0 x2）.) 若f(m)3，则f( eq f(5,2) m)_解析：(1)因为f(1)1223，所以f(f(1)f(3)3 eq f(1,32) 4.故选C.(2)当m2时，m213，所以m2或m2(舍)；当0m0) ，若f(x4)f

9、(2x3)，则实数x的取值范围是()A(1，) B(，1)C(1，4) D(，1)C函数f(x) eq blc(avs4alco1(1x2，x0,1，x0) 在(，0上是减函数，在(0，)上函数值保持不变，若f(x4)f(2x3)，则 eq blc(avs4alco1(x40,2x30) 或x42x30，解得x(1，4)，故选C.已知函数值(或函数值范围)求自变量的值(或取值范围)(1)先根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，然后将各段的结果求并集即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解 1设函数f(x

10、) eq blc(avs4alco1(x1，x0，,f(1,2x)，x0，) 则f(f(1)()A eq f(3,2) B eq r(2) 1C1 D3D由题意知f(1)2，因此f(f(1)f(2)213.故选D.2设f(x) eq blc(avs4alco1(r(x)，0 x1，,2（x1），x1.) 若f(a)f(a1)，则f( eq f(1,a) )()A2 B4C6 D8C法一：当0a1.所以f(a) eq r(a) ，f(a1)2(a11)2A由f(a)f(a1)得 eq r(a) 2a，所以a eq f(1,4) .此时f( eq f(1,a) )f(4)2(41)6.当a1时，a

11、11，所以f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)2A由f(a)f(a1)得2(a1)2a，无解综上，f( eq f(1,a) )6.故选C.法二：因为当0 x1时，f(x) eq r(x) ，为增函数当x1时，f(x)2(x1)，为增函数又f(a)f(a1)，所以 eq r(a) 2(a11)，所以a eq f(1,4) .所以f( eq f(1,a) )f(4)6.3已知函数f(x) eq blc(avs4alco1(x2x，x0，,3x，x0，则实数a的取值范围为()A(1，) B(2，)C(，1)(1，) D(，2)(2，)D当a0时，不等式af(a)f(a)0可化为a2a3a0，解

12、得a2.当a0可化为a22a0，解得a2.综上所述，a的取值范围为(，2)(2，).微专题系列4交汇创新新定义下的函数问题所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则、或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题(多选)(2020广东深圳3月模拟)在平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(nN*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数给出下列函数，其中是一阶整点函数的是()Af(x)sin 2x Bg(x)x3Ch

13、(x)( eq f(1,3) )x D(x)ln xAD对于函数f(x)sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数；对于函数g(x)x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，所以它不是一阶整点函数；对于函数h(x)( eq f(1,3) )x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(1，3)，所以它不是一阶整点函数，排除C，对于(x)ln x，它的图象(图略)经过整点(1，0)，所以它是一阶整点函数1若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为yx21，值域为1，3的同族函数有()A1个 B2个C3个 D4个C由x211得x0，由x213得x eq r(2) ，所以函数的定义域可以是0， eq r(2) ，0， eq r(2) ，0， eq r(2) ， eq r(2) ，故值域为1，3的同族函数共有3个2若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)xR，都有f(x)f(x)0；(2)x1，x2R，且x1x2，都有 eq f(f（x1）f（x2）,x1x2) 0.f(x)sin x；f(x)2x3；f(x)1x.以上三个函数中，“优美函数”的个数是()A0 B1 C2 D