《数系的扩充与复数的概念》名师教案

1、第三章系的扩充与数的引3.1 数系扩充和数的概念一、教学目标1.核心素养：通过学习数系的扩充和复数的概念步形成基本的数学抽象和逻辑推理能 力.2.学习目标：（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数 的运算规则方程求根在数系扩充过程中的作用感受人类理性思维的作用以 及数与现实世界的联系.（2）理解复数的基本概念，复代数形式及复数相等的充要条件（3）复数的向量表示.3.学习重点：复数的概念，复数的代数形式，复数的向量表示4.学习难点：复数相等的条件，复数的向量表示.二、教学设计（一）课前设计1.习任务任务 1、阅读教材 102，思考：方程 2 在实数集中无解联系从自然

2、数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？任务 2阅读教材 P，思考：复数集 C 和数集 有什么关系？任务 3阅读教材 P, 思考：实数与数轴上的点一一对应，因此，实数 可以用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？ 2.习自测1.下列复数中，满足方程 x20 的是 )A.1B.iC. 2D.2i/19答案：C解析：略2.已知复数 za2(2bi 的实部和虚部分别是 2 3，则实 a，b 的值分别是( ) ，B. 2，5C. 2，5D. ，1答案：C解析：略3、如 (m1)(m21)i 为纯虚数，则实数 m 值为( )A.1B.0C.1D.1 或 1答案

3、：解析：略（二）课堂设计1.知识回顾（1）对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括 自然数分数负数整数有理数无理数实数2.问题探究问题探一：数系的充重点知识对于实系数一元二次方程，没有实数 .我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？动一：回顾旧知，回顾数集的扩充过程对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括 自然数分数负数整数有理数无理数实数（教师引导） 动二：类比旧知，探究数系的扩充/19对于实系数一元二次方程2，没有实数根.我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？我们说，实系数一元二次方 2没有实数根.际上，就是

4、在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数.解决这一问题，其本质就是解决一个什 么问题呢？最根本的问题是要解决1 的开平方问题即一个什么样的数的平方会等于 1.我们引入一个新 i，它的平方等于1动三：类比探究，研究新数 i 的运算性质把实数和新引进的数 i 像实数那样进行运算希望运算时有关的运算律仍 成立，你得到什么样的数？根据前面讨论结果，我们引入一个新 i i叫做虚数单位，并规定：虚数单 i的平方等于-1，即i i的周期性：i in n, i4 n Z )实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍 然成立.有了前面的讨论，引入新 i，可以说是水到渠成的事这样，就可以解决

5、前面提出的问题 可以开平方，而 的平方根 ）.问题探二：复数的念重点、难点知识动一：理解概念，复数的代数形式 怎样表示一个复数？根据虚数单 i的第条性质 i可以与实 b相乘，再与实 a相加.于满足乘法交换律及加法交换律从而可以把结果写 bi这样数的范围又扩充了，出现了形 a (, b )的数，我们把它们叫做复数复数通常用字母 表示，即 zabi，其中 a，b )，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中 、 分别叫做复数 z 的实部与虚部.复数的实部、虚部满足什么条件表示实数？对于复数 abi(),/19 (b (b 当且仅当 b=0 时,它是实数;当且仅当 a=0 且 b=0 时它是实数 当 b

6、 时叫做虚数当 a=0 b0 时， 叫做纯虚数动二：剖析概念复数 mni 的实部、虚部一定是 、 吗？不一定，只有当 m，n，则 、n 是该复数的实部、虚部.对于复数 abi 和 cdi( R你认为满足什么条件时，这两个复数 相等？（a=c 且 =d，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等）任意两个实数可以比较大小，复数呢？如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小.动三：完善知识体系复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系是怎样的？虚 数复 数纯虚数实 数复数 z= (, )包括：复z (b=0) 虚(b a 纯虚( 动四：复数基本概念、复数的代数形式、复数充要条件的应用例 1、实数 为

7、什么值时z m 是（）实数（）虚数（）纯虚数答案：解析解析 ） 0 ， m 时，复数 是数； (2) m 即 m 时，复数 z 是虚数；(3)当 ，复 纯虚数.点 拨 ： 本 题 对 实 数 、 虚 数 、 纯 虚 数 概 念 的 考 察 因 为 R , 所 以/19 0.1 2 1 21 21 2 1 2 1 2 1 0.1 2 1 21 21 2 1 2 1 2 1 1 2. 是实数虚数虚数的条件可以确定 的值例 2、已知x2x6x1(2x3)i(xR)，求 x 的值.答案：见解析x2x6解析 ：由复数相等的定义得 x1x22x30.解得：x3，所以 3 为所求.点拨 ：本题考察复数相等的

8、充要条件.对于复数 +bi 和 c+( R当且仅当 a=c 且 bd，即实部虚部分别相等时，这两个复数相等例 、设 z 1m2m2)i， 2(m25i，若 z z ，求实 数 的取值范围答案：解析解析 ：由于 z ，mRz 且 z R，当 z 时，m220，m1 m2.当 z 时，m2540，m1 m4，当 m1 ，z 2z 6满足 z .z 时，实数 m 的取值为 m1.点拨 本题考察对复数概念的理 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比 较大小.问题探三：复数的何意义点、难点知识动一 类比实数的几何意义，探究复数的几何意义若把 看成有序实数（a,b）与复 +bi 是怎样的对应关系？有序 实

9、数对（）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系） 实数可以用数轴上的点来表示实数一一对应实数轴上的点（几何模型）任何一个复数 za+bi,都可以由一个有序实数对a,b）唯一确.因为有序实数对/19（ ）与平面直角坐系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的 点集之间可以建立一一对应.复数 zabia，b )一一对应,复平面内的点 Za，b)；如图：复数 za+ 可以用点 （a,b数的几何形式）来表示，这个建立 了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 轴叫做实 ，y 轴叫做轴 . 显然，实轴上点都示实数虚轴上点（了原点都表纯虚数例 、实数 取什么值时，复平面内表示复数 点

10、（1）位于第四象限）位于 y=x 上 答案：解析的解析 由 m2 位于第四象限 解得， 或 m (2)由 =x 上， m2 m 29 3点拨 ：本题考察复数的几何意义即复数z=a+ 与点 Z a,b ）一一对应 .复数 表示的点坐标为，分别由条件， m 第四象限、yx 上可得动二：类比探究复数的另外一个几何意义除了用平面里的点表示复数，还可以用什么表示复数？还可以用向量！设复平面内的点 Z（对于原点来说也可以由向 OZ 一确定.之，也成.因此，复数 za+bi OZ 是一一对应的（实数 0 零向量对应是复数的/19另一种几何意义.复数 z，点 Za,b, 三者关系如下：复数 a bi复平面内的

11、点 Z (, ) 复数的向量形式.以原点 为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数. 动三：探究复数的模的几何意义向 OZ 的模叫做复数 a bi的模, | | | .由模的定义知: z bi | ( r 0, r )例 5、已知复数 3ai，且z|4，求实数 的取值范围答案：见解析解析 ：方法一：ai(a)， 2，由已知得 32a22，a2，a( ， 方法二：利用复数的几何意义，由z|4 ， 在复平面内对应的点在以原点为圆 心，以 4 半径的圆内(不包括边界，由 z ai 知 对应的点在直线 3 ， 所以线段 除去端点) 为动点 集合由图可知： 7a 点拨 ：本题考察复数的几何意义即复数

12、的模及考察数形结合思想例 6、 ，在复平面内对应 Z，试说明满足下列条件的 Z 集合是什么 图形.(1)| 2；(2)1|z2.答案：见解析解析 ：(1)方法一： 2 明复数 z 复平面内对应的点 Z 到原点的距离为 ， 这样的点 Z 的集合是以原点 O 圆心，2 半径的圆./19 方法二：设 zabi，由z2得 a2b4.点 应的集合是以原点 为圆心，2 为半径的圆.(2)不等式z2 的解集是圆 z2 及该圆内部所有点的集合.不式|z1 的解集是 圆 1 及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件 1| 2 的 点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以 O 为圆心，以 1 和

13、 为半径的两圆所夹 的圆环，并且包括圆环的边界.点拨 ：解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是 表示点 Z 到原点的距离据|z满足的条件判断点 的集合表示的图形； 二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决3.课堂总结【知识梳理】实数(1)复数的分类：复数(z=abi，a，bR)虚数b0b0数 a0 虚数 a0(2)复数相等的充要条件设 a，b，d 是实数，那么 abicdi c 且 (3)复数与点、向量间的对应复数 zabia，b)一一对应,平面内的点 (，；复数 zabia，b)一一对应,面向量O(ab(4)复数的模复数 za(a，b)对应的向量为Z则Z模叫做复数

14、 z 的模，记作z， 且 ab【重难点突破】/192 2 （1）对于复数概念，首先要在变化中认识复数代数形式的结构，正确判断复数 的实部、虚部，然后依据复数是实数、虚数、纯虚数的条件，用列方程（或不等 式）的方法求出相应参数的取值(或取值范围)（2）对于复数相等的问题.必须保证实部和虚部都分别相等（3）对于复数的向量表示，一定先准确找出复数所表示的向量是关键4.随堂检测1.若复数a2aa1|ia )不是纯虚数，则 )A.a1a 且 a2C.aD.a答案：解析一个复数不是纯虚数该复数是一个虚数或是一个实数.当 aa0时，已知的复数一定不是纯虚数，解得 且 a；当 2a20 且a1|10 时，已知

15、的复数也不是一个纯虚数，解得 综上所述，当 1 ， 已知的复数不是一个纯虚数.点拨：纯虚数的概念、复数的代数形式2.如果 zm(m1)(21)i 为纯虚数，则实 m 的值为 )A.1B.0C.1D.1 或 1答案：10解析：由题意知 10点拨：复数的概念、复数的代数形式3.在复平面内，复数 i2i A.第一象限第二象限C.第三象限2对应的点位于( )/19 1 1 2 1 1 2 D.第四象限答案：解析：zi2i2i，实部小 ，虚部大于 0，故复 z 应的点位于 第二象限点拨：复数几何意义4.在复平面内，O 为原点，向量A对应的复数为i，点 A 关于直线 x 对称点为 ，则向量OB对应的复数为

16、)A.2i2iC.12iD.12i答案：解析A(1,2)关于直线 的对称点 B(2,量OB对应的复数为 2i点拨：复数几何意义（三）课后作业基础型主突破1.说出复 i, 5, i3答案：见解析的实部和虚部.解析： 复数 i 的实部是 2，虚部是 3；- 的实部是- 5 ，虚部是 0 i3的实部是 0虚部 13点拨：复数的概念、复数的代数形式2.指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？ 7 ，27i，0 i i2，5 i 8 i实数：虚数：答案：实数有 7 0.618 ，0 i2纯虚数：虚数有： i i ，75 i 8 i102 2 纯虚数有： i 7 i解析：略点拨：复数的概念、

17、复数的代数形式3.设 是原点 OB 对应的复数分别 i , 对应的复数是（ ） . i iC 5 i i答案：解析： OAOB ) i点拨：复数的概念、复数的几何意义i 是虚数单位）的是（ ） 4.下列 n 的取值中， iA.n.nC.nDn=5答案：解析：因 i , i么向量BA点拨：复数的概念、复数的代数形式5. z 是复数a z ) 示满足 z 的最小正整 对虚数单 i a(i ) ）A.8B.6C.4D.2答案：C116.若 6.若 4 44 解析 (i ，则最小正整 为 4，点拨：复数的概念、复数的代数形式复数 m i 为纯虚数，求实 m 的值. 答案：见解析解析：若复数 2m 2

18、i 为纯虚数， 点拨：复数的概念、复数的代数形式能力型生共研3 57.若 ( ， )，则复数( sin) i 在复平面内所对应的点在 ( )A.第一象限第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B.3 5解析：( ， )，sin0，sincos 点拨：复数的几何意义8.复数( a (a 不是纯虚数，则有（ ） a C a 且a D . 答案：C解析：需要a ，即a a .点拨：复数的概念、复数的代数形式9.集合ZZ i , n 用列举法表示该集合，这个集合是（ ）121 2 31 2 3A.0，2，2 0，2C.0，2，22iD.0，2，2，2 i ， i 答案：解析：略点拨：根 i 成周期性变化

19、可知设 A、 为锐角三角形的两个内角，则复数 BtantanBi 对的点 位于复平面的( )A.第一象限第二象限C.第三象限D.第四象限答案：解析：略点拨：复数的几何意义探究型维突破11、复数 z =3+4i,z =0,z =cc-6)i 在复平面内对应的点分别为 B，若BAC 是钝角，求实数 的取值范围答案：见解析解析：在复平面内三点坐标分别为 (3,B(0,(2c-6),由 是钝角得 AC , A 不共线,(,2-10)1，如何求自然数 ， 的值？解析：因 log (mn(m23m)i1，所 log (mn)m23i 是实数，从而有 (m 由得 m0 m3当 m0 ，代入得 n2，又 mn

20、，所以 ； 当 m3 ，代入得 n1，与 n 是自然数矛盾，162 A B2 A B综上可得 m0，n点拨：复数的概念、复数的代数形式设复数 lg(m23)(m23i，(1)当实数 为何值时，z 纯虚数？ (2)当实数 为何值时，z 实数？ 答案：见解析解析：因为复数 lg(m2m(m22)i 是纯虚数，m2m30所以2m0， m3m0.解得 m ，所以当 m 时， 纯虚数(2)因为复数 lg(m22m(m23mi 实数，所以230， 320，解得 m2，所以当 m2 时，z 是实数点拨：复数的概念、复数的代数形式已知复数 1，求复数 34 的模的最大值及最小值答案：见解析解析：令 34i，则

21、 z(34i 1，4i)|1，复数 在复平面内对应的点的轨迹是以圆心，1 半径的圆，如图，容易看出，圆上的点 所对应的复数 的模最大，为16；圆上的点 所对应的复数 的模最小，为14，复数 34 的模的最大值和最小值分别为 6 4.点拨：复数的几何意义数学视自然数的产生，起源于人类在生产和生活中计数的需要 开始只有很少几个 自然数来随着生产力的发和记数方法的改进步认识越来越多的自然数 从某种意义上说幼儿认识自然数的过程就是人类祖先认识自然数的过程的再 现.随着生产的发展，在土地测量、天文观测、土木建筑、水利工程等活动中，17都需要进行测 .在测量过程中，常常会发生度量不尽的情况，如果要更精确地

22、 度量下去，就必然产生自然数不够用的矛 这样，分数就应运而生 .数学史书 记载，三千多年前埃及纸草书中已经记有关于分数的问 .引进分数,这是数的概 念的第一次扩展.最初人们在记数时没有“零” 的概念.后来在生产实践中,需要记录和计算 的东西越来越多，逐渐产生了位值制记数法 .有这种记数法，零的产生就不可 避免的了.国古代筹算中利用 “空位”示零公元 世纪印度数学家开始用 符号“0表示零. 但是，把0作为一个数是很迟的事引进数 ，这是数的概念的 第二次扩充.以后,了表示具有相反意义的量,数概念就出现了我国是认识正负数最 早的国家九章算术中就有了正、负数的记载在欧洲，直到 17 世纪才对负 数有一

23、个完整的认识.引进负数，这是数的概念的第三次扩充数的概念的又一次扩充渊源于古希腊 .元前 世纪，古希腊毕达哥拉斯 Pythagqras约公元前 前 500)学派发现了单位正方形的边长与对角线是不 可公度的，为了得到不可公度线段比的精确数值，导致了无理数的产生 .当时只 是用几何的形象来说明无理数的存在，至于严格的实数理论，直到 19 世纪 70 年代才建立起来.引进无理数，形成实数系，这是数的概念的第四次扩充数的概念的再一次扩充，是为了解决数学自身的矛盾. 世纪前半叶，意大 利数学家塔尔塔利亚发现了三次方程的求根公式，胆地引用了负数开平方的运 算，得到了正确答 此，虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一 步的发展中加以运用,成功地经受了理论和实践的检验，最后于 世纪末至 世纪初确立了虚数在数学中的地 引进虚数，形成复数系，这是数的概念的第 五次扩充.上面,们简要地回顾了数的发展过 .必须指出，数的概念的产生，实际上 是交错进行 例如，在人们还没有完全认识负数之前，早就知道了无理数的存 在；在实数理论还未完全建立之前,经运用虚数解三次方程了直到 19 纪初，从自然数到复数的理论基础，并未被认真考虑.后来，由 于数学严密性的需要以及公理化倾向的影响使人们开始认真研究整个数系的 逻辑结构 . 从 19 世纪中叶起，经