二次函数图像性质知识点总结以及习题集锦

1、2 a 4 二次函数概 念二次函数图像及性质知识总结一般地，形如 bx （ a 是数， a ）函数，叫做二次函数。定 义域是全体实数，图像是抛物线解析式 为 0 时 时 y ax 不 开 开 对称轴向上向下y 向上向下y 轴向上向下x a图顶点坐标 2 时 有最小值X=0.时y 最值等于 0X=0, 时Y 最小值等于 c当 x a4 时。 y 有小值 4像 时 y 有最大值X=0. 时 X=0, 时y 最值等于 0 Y 最大等于 ac 当 x 时， 有大值 a a的性质 时开口向上 时开口x 时 y 随 x 的大而增大； 时 b当 x 时 随 的大而减小；y 随 增大而减小x 时， 有小值 当

2、 x 时， 随 的增大而增大 a 时 随 x 的增大而减小； x ， 当 x 时 随 的大而增大；y 随 x 的大而增大； 时 有最大值 向下当 x a时， y 随 的增大而减小图像画利用配方法将二次函数 y 化顶点式 y ( ) ，定其开口方向、对称轴及顶点 坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴交点 称的点 法与 x 轴交点 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴交点，与 轴交点.解析式的表 一式： y 2. 顶式： ( x ) 3. 两式： y ( 平移 抛物线解析式转化成顶点式 定

3、其顶点坐标 数的基础上 值右移，负左移； k 值上移，负下移括成八个字“左右减，上加下减”示及y ax2 沿 轴移向上（下）平移 个单位， y 2 变成图像y 2bx m（或y 2 m）平移y 2 沿 轴 平 移 ： 向 左 （ 右 ） 平 移个 单 位 ，y 2 变 成y a( x m 2 ( m （ ( m )2 ( m ) ）12 2 2 二次函 ax2 及其图2 2 2 一填题形如_的函叫做二次函数，其_是目变量，c 是且_0函数 yx的图象叫做_，称轴是_，顶点是_抛物线 ax 2的顶点是 ，称轴是 当 a 时抛物线的开口向 ；当 a0 时抛物线的开口向_当 a 时在抛物线 的对称轴

4、的左侧， 随 x 的大_，而在对称的右侧 随 x的增大而_函数 y _时的值_当 a 时在抛物线 的称轴的左侧， 随 x 的大_，而在对称的右侧 随 x 的增大而_函数 y _时的值_写出下列二次函数的 a，c y 3 x a_b，_a_b，_ y x2 x a_b，_ y x2a_b，_抛物线 yax2a越大则抛物线的开口_，越小则抛物线的开口_二次函数 yax的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内x如图( )； y 2如图( )；2如图( ； y 如图( )； y 如 )； y 2如图( )已知函数 y x , 画图象，回答下列各题开口方向_；对称轴；顶点坐标_；当 ，y 随

5、的大而_当 _时，y0当 _时，函数 的最_值23三解题函数 (3) x 为二次函数若其图象开口向上，求函数关系式；若当 时，y x 的大而减，求函数的关系式，并画出函数的图象抛物线 ax与直线 yx3 交点 A，)求 ，b 的； 求抛物线 y与直线 y2 的两个交点 ，C 的标( 点 C 点侧；求 的面积已知抛物线 ax经过点 (2，求这个函数的解析式；写出抛物线上点 A 关 轴的对称点 B 的坐标；求 面积；抛物线上是否存在点 C，使 的积等 eq oac(,于)OAB 面的一半，若存在，求出 点坐标； 若不存在，请说明理由4yca，常数a ，y ，上，下增大，减小，x0大2抛物线，y 轴

6、(0，0) 4减小，增大x0，小(1) 3, (2)， , 0, 越小，越大，(2)C，(5)F(6)E向下，(2)y 轴(3)(00)减小0(6)0，大，11、；、(2)；(3)、；(4)，；，0 a，(2)a b，(3)c0 且 0y42；，0)0；向上；22；抛物线；一、二，；y2x；直线；二、四 1；2、 18 (1)m4，yx；(2)1，y4a，b1；B ( 2). C ( (3)S 2 2(1)y x； B(，； 2；(4)设 C 点坐标为 mm 2 则 m 4 则得 或 2. 点坐标为( 323), ( ), 2,21 ), ( ).2 52 2 2 2 3 1 2 二次函 ya

7、x) 其图象2 2 2 2 3 1 2 一填题已知 0，抛物线 2 的点坐标_对称轴为_抛物线 2c 顶点坐标为_对称轴为_抛物线 ax)的顶点坐标为_，对称轴为_若函数1 y m ) x22 是二次函数，则 m_线 yx的顶点为_轴 _ 随 x 增大而减小 时，y 随 增大而增大；当 时y 有_值_抛线 yx的开口方向是_它形状与 y22的形状_它顶点坐标是，对称轴是_抛物线 yx23 的点坐标为_，对称轴为 x时 随 的增大而减小；当 x_时y 有最值是_，它可以由抛物 22 到向平移_个单位得抛物线 y2的开口方向是_顶点坐标，对称轴是_当 x时随 x 的大而增大； _，y 有最_值是，

8、它可以由抛物线 x 平移_个位得到二选题要得到抛物线1y ( x 321，可将抛物线 ( )3A向上平移 单位B下平移 4 个位C右平移 单位D左移 单位下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的( )A22与 y32B y 与 Cy22与 yx2D与 yx顶点为，且开口方向、形状与函数 x2的图象相同的抛物线( )A y ( 2B y x C y ( x 5) 2D y ( 5)2三解题在一坐标系中画出函数 12 2 和 y x2的图象并说明 的图象与函数 的象的关系61 2 3 2 31 2 1 2 3 2 31 2 的图象的关系11在同一坐标系中，画出函数y 22y 2(x2) y x

9、与 y x2)的图象，并说明 的图象与填题二次函数 ( 2k( 0) 的点坐标是 ，对称轴是 _ ，当 x 时， 有最值 ；当 a 0 时若 x 时， y 随 x 增而减小 填表解析式开口方向顶点坐标对称轴yx2)y(221y ( x 21 y ( x )3 2yx2 yx21抛物线 ( x 22 有_点，其坐标 x_时， 的最_是_；当 x时，y 随 增而增大1将抛物线 y x 向平移 3 个位，再上平移 单位，所得的抛物线的解析式_3选题一抛物线和抛物线 x的形状、开口方向完全相同，顶点坐标(，则该抛物线的解7析式为 )A3 Bx1)23Cyx1)23 Dy(2x1)23要得到 2)3 的

10、象，需将抛物线 22 作下平( ) A向右平移 单位，再向上平移 3 个位B右平移 2 个位，再向下平移 个单位C左平移 单位，再向上平移 个单位D左移 单位，再向下平移 3 个位解题将下列函数配成 (h2k 的式，并求顶点坐标、对称轴及最值26x10 yx5x2x yxx100 xx2)(2x1)把二次函数 a(h)k 的图象先向左平移 2 个位，再向上平移 个位，得到二次函数 ( 的象试确定 a， 的；指出二次函数 ya(x)2k 的口方向、对称轴和顶点坐标81 22 1 ，y ； (2)(0)，y 轴 m0)，直线 xm 11 22 1 ，y ，0，小，0向下，相同，y 轴，y ，0，0

11、，小，上，3向上(2，0)，直线 x2x，2小0右，2 D 9C1略 ，y 的象是 y 的象分别向上和向下平移 个单位211图略 ，y 的象是把 的象分别向右和向左平移 2 个位 h)，直线 xh；h，k，xy(开口方向向上顶点坐标，3)对称轴 直线 x2y22向下(，直线 x31y ( x 2向下(55)直线 x51 5y ( ) 3 2向上(52，直线 x52y3( yx向上向下，直线 x2 直线 x0(3，3大，1 ( 3) 3 B 17yx，顶点(3，直线 x3最小值为 1 y ) , 8 81 顶点 ( ), 直线 x 最大值为 x ) , 顶点 ( , ), 3 直线 x 最值为

12、(4)y21，顶(1，1)直线 ，最大值为 1(5)y5x100顶点，线 x0，最大值为 100(1) y x ) 2 , 顶 ( 8 h ),直线3 25 , 最小值为 4 (2)开口向上，直线 x1顶点坐(1，5)92 2 二次函 axc 及图象2 2 一填题把次函数 yax(配方成 )2k 形_顶坐标是_对轴是直线_当 _时， 最_；当 a ，_时，y 随 增而减小； x_时，y 随 增而增大抛物线 y22x5 的顶点坐标_当 _时，y 有最值，与 轴 的交点是_与 y 轴交点是_当 x时 随 x 增而减小，当 x时y 随 x 增而增大抛物线 y2x2 _的顶点坐标是_，它与 x 轴交点

13、坐标_，与 轴的交点坐标是把二次函数 y2x5 配方成 yah)k 的形式，得，这个函数的图象有 点，这个点的坐标为已知二次函数 y3，当 x_时，函数 有最_当 时，函数 y 随 的增大而增大，当 x时y0抛物线 yax2bx 与 y2的形状完全相同，只是位置不同，则 抛物线 yx先向_平个单位就得到抛物线 2(x3)2再向平移_个单位就得到抛物线 y2(x2 二选题下列函数中y3；y23； ; y22，是二次函数的 )ACB D抛物线 yx4 的口方向和顶点坐标分别 )A向下，4) B向下，(0 C上，4) D上，4)抛物线y 12x 的顶点坐标 ) A (1, ) B ( ) C1( 2

14、D，0)11二次函数 yaxx 的象必过( )A(0 B(1，a C(，) D，a)三解题已知二次函数 2x24将其化成 yax)2k 的式；写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；求图象与两坐标轴的交点坐标；画出函数图象；说明其图象与抛物线 yx的关系；当 x 取值时， 随 x 增而减小；当 x 取值时，y，00；当 x 取值时，函数 有值 最值是多?当 y 取值时，40(10)函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积10填题已知抛物线 ax(a0)若抛物线的顶点是原点，_； 若抛物线经过原点，_若抛物线的顶点在 y 轴上，_； 若抛物线的顶点在 x 轴上，_抛物线 axbx 过点若次函数 3m

15、的图象经过原点则 ，这个函数的解式_若抛物线 2 的顶点在 x 轴，则 c 的是_ 若二次函数 ax4 的大值是 ，则 _ 4 图象的顶点及它和 轴两个交点为顶点所构成的三角形面积_平单位抛物线 axbx(，b的图象经过_象限选题函数 mx的图象( )抛物线 ax(a的图象如下图所示，那么( )Aa0，00B00，0Ca0，0，0D0b，c已知二次函数 2c 的象如右所示，( )Aa0，c0ac0B0，bacCa0，c，bacD0，bac0已知二次函数 2c 的象如下所示，( )11Ab0，c0，B0，Cb0，c，D0，二次函数 2(3m)的图象如下图所示，那么 的值范围( )Am0 Bm3

16、C D3在同一坐标系内，函数 2和 y2(k0)的图象大致如图( )函数y 12 y 2abx(ab的图象在下列四个示意图中，可能正确的()解答题已知抛物线 23kxk4k 为值，抛物线关于 轴称； k 为值，抛物线经过原点画出 y 3 2 的象，并求： 121 2 1 1 1 1 2 1 1 1 顶点坐标与对称轴方程；x 取值， 随 增大而减小x 取值时 随 增而增大当 x 为值时，函数有最大值或最小值，其值是多? x 取值，y，y，y0?当 y 取值时，22?已知函数 2(0) y n 的图象交于(25)点和，4)点，并且 ax2bxc 的象与 轴于点，3)求函数 y 和 的解析式，并画出

17、函数示意图； x 为值， y ；y ； y 如图是二次函数 2c 的象一部分；图象过点 (3，对称轴为 ，给出四 个结论b2ac2a0b其正确的_填 序号134 a4 1 2 1 21 1 4 a4 1 2 1 21 1 a( x b ac b ) 2 , 2 a2). b b 4ac b b , x , 2 2 2 a ( , ), , 小，49 5 ,( ,0) , 8 2 41，4)(，0)、(1，0)，(0y(x2)1，低，(22，x， 7.2 7右，上，4 9 11C12(1)；(2)开口向上，直线 x，顶点(1；(3)与 x 轴点(，0)(1，0)，与 轴点0； (4)图略；(5)

18、将抛物线 yx向左平移 1 个单位下移 8 个单得到 2x4 图象；(6)x；(7)当 x3 或 x ，0当 3 或 x ，0当x1 时，y；(8)x1 时 ；(9)8；S 1213(1)b；(2)；(3)b；(4)b2414原 152223 17 一、二、三20C. 21B D 23B 24C 25B C 27(1)；(2)28 2,顶点(1，直线 x1x，x； x， 2x3 时，y；x1 或 x3 时 ；x 或 x3 时，； y 2.29(1)y x23，y 3(2)当21 时 当 x2 或 x 时y 当 x2 或 x 时 y 30，1二次函数y ax2二次函的图像和性习精的图像开口向，称

19、轴是，顶点坐标是，图像有最点x时y 随 x 的增大而增大x时，y 随 x 的大而减 小。2关于 132，y 2，y x2的图像，下列说法中不正确的是（ ）A顶点相同 B对称相同 图像形状相同 D最低点相同3两条抛物线 x 2 与 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）A顶点相同 B对称轴相同 开口方向相反 D都有最小值4在抛物线y 2上，当 y0 时，x 的值范围为（ ）A0 Bx0 x0 x5对于抛物线 x 2 与 下列命题中错误的是（ ）A两条抛物线关于 轴称 两条抛物线关于原点对称C两条抛物线各自关于轴对称 D两条抛物线有公共点6抛物线 y=b3 的称轴是，顶点是。7抛物线 y=12

20、( x 24 的口向，顶点坐标，对称轴时， 随 x 的大而增大，时y 增大而减小。8抛物线y 的顶点坐标是（ ）A，3） B） ， 9已知抛物线的顶点12（1条物线的表达式 ）Ay=3 2 2 B ( x 2Cy=3 x 2 y= ( x 2210二次函数 y 的像向左平移 2 个位，向下平移 3 个单位，所得新函数表达 式为（ ）Ay=aCy=a( ( 2)2 3 By=a ( x 2 3 Dy=a ( x 3311抛物线y 2 x 的顶点坐标是（ ）A，0） B，-2） ） ，-8）12对抛物线 y= 2 3 y= 2( 24 的说法不正确的是（ ）A抛物线的形状相同 抛物线的顶点相同C抛物线对称轴相同 抛物线的开口方向相反13函数 y=a2c 与 y=axc(a0)在同一坐标系内的图像是图中的（ ）14化y 2 为 x2 为 y ( x )2的形式是，图像的开口向，顶点是，对称轴是。15抛物线 y=x2 1 的点是，对称轴是。16函数 y=122x5 的图像的对称轴是（ ）A直线 x=2 B直线 a=2 直线 y=2 线 x=417二次函数 y= 图像的顶点在（ ）A第一象限 B第二象限 第三象限 第四象限18如果抛物线 y=x