高等数学微积分导数概念市公开课获奖课件

1、 第三章 导数与微分第1页第1页第三章 导数与微分第一节 导数概念第二节 求导法则第三节 反函数、复合函数、隐函数导数第四节 导数公式第五节 高阶导数第六节 微分第七节 导数在经济上简朴应用第2页第2页1.理解导数概念及可导性与连续性之间关系，2.掌握基本初等函数导数公式、导数四则运算导数，会求反函数与隐函数导数.法则及复合函数求导法则，会求分段函数理解导数几何意义与经济意义（含边际与弹性概念），会求平面曲线切线方程和法线方程. 3.理解高阶导数概念，会求简朴函数高阶导数.4.理解微分概念，导数与微分之间关系以及一阶微分形式不变性，会求函数微分.本章基本要求第3页第3页本章重点、难点重点：导数

2、与微分计算.难点：分段函数分界点处可导性讨论、隐函数求导.第4页第4页第一节 导数概念一、引出导数概念例子1、变速直线运动速度已知求解(1)(2)(3)第5页第5页2、平面曲线切线斜率切线割线第6页第6页2、平面曲线切线斜率解第7页第7页二、导数定义定义3.1设函数有定义,在点某邻域内对自变量在点处任一改变量函数相应改变量为假如极限存在,则称函数在点点处可导(或导数存在).并称此极限值为可导点,为在点处导数(或微商).第8页第8页注(1)记号(2)、(3)求导三步曲:第9页第9页例1 求函数 y=x2 在点 x = 3 处导数.解第10页第10页讨论导数另一定义形式第11页第11页定义3.1设

3、函数在点某邻域内有定义,假如极限存在,(第二定义)则称函数在点点可导(或导数存在).并称此极限值为可导点,为在点导数(或微商).第一个定义做证实题以便,第二个定义讨论分段函数分界点处导数以便.第12页第12页三、导数几何意义几何意义是:处切线方程为:曲线在点处切线斜率.曲线在点例2 求曲线 y=x2 在点 (3,9) 处切线方程.解因此所求切线方程为即函数在点导数第13页第13页处法线方程为:曲线在点例2 求曲线 y=x2 在点 (3,9) 处法线方程.解因此所求法线方程为即第14页第14页四、左导数和右导数定义3.2假如极限值为存在,在点处右导数,记作则称此极限假如极限值为存在,在点处左导数

4、,记作则称此极限第15页第15页假如极限值为存在,在点处右导数,记作则称此极限假如极限值为存在,在点处左导数,记作则称此极限定义3.2注 第16页第16页例 3 讨论函数在解故不存在.处可导性.第17页第17页分段函数求分界点处导数时注意(1)用定义(2)普通分左右导数(3)假如分界点左右两边函数表示式同样,则不分左右导数.(4)求左右导数时,函数值固定不变.第18页第18页五、可导与连续关系因此由 可得假如函数 y = f (x) 在点处可导,则它在点 x0 处一定连续.由于函数 y = f (x) 在点 x0 处可导,故连续.定理3.1证第19页第19页1. 可导必连续2. 连续不一定可导

5、3. 不连续一定不可导4. 不可导不一定不连续第20页第20页例4 讨论函数在点 x = 0 及 x = 1处连续性与可导性.解 在点 x = 0 处连续性故 不连续,从而不可导.三者不等第21页第21页在点 x = 1 处可导性故函数可导,从而连续.第22页第22页例5已知求使得函数在点可导.解因此第23页第23页六、导函数定义称为函数 y=f (x) 在开区间 (a,b) 内对 x 假如函数在某区间(a,b)内每一点 x 处都可导，则称 f (x) 在区间(a,b)内可导.导函数,简称为导数.第24页第24页(1) 记号:(2)(3)求导函数三步曲:、第25页第25页例6求导函数.解第26页第26页例7求导函数.解第27页第27页例