2021年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)

1、 9/92021年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版) 2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 1+2i 1-2i =( ) A - 45 - 35 i B - 45 + 35 i C - 35 - 4 5 i D - 35 + 45 i 解析：选D 2已知集合A=(x,y)|x 2+y 2 3,

2、x Z,y Z ，则A 中元素的个数为 ( ) A 9 B 8 C 5 D 4 解析：选A 问题为确定圆面内整点个数 3函数f(x)= e x -e -x x 2的图像大致为 ( ) 解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x0,f(x)0,排除D,取x=2,f(2)= e 2 -e -2 41,故选B 4已知向量a ，b 满足|a|=1，a b=-1，则a (2a-b)= ( ) A 4 B 3 C 2 D 0 解析：选B a (2a-b)=2a 2 -a b=2+1=3 5双曲线x 2 a 2y 2 b 21(a 0，b 0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A y=2x B y=3x

3、C y= 22 x D y= 32 x 解析：选A e= 3 c 2 =3a 2 b=2a 6在ABC 中，cos C 2=5 5，BC=1，AC=5，则AB= ( ) A 4 2 B 30 C 29 D 2 5 解析：选A cosC=2cos 2C 2 -1= - 35 AB 2=AC 2+BC 2 -2AB BC cosC=32 AB=4 2 7为计算S=1- 12 + 13 - 14 + 199 - 1 100 ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入( ) A i=i+1 B i=i+2 C i=i+3 D i=i+4 解析：选B 8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领

4、先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A 112 B 1 14 C 1 15 D 118 解析：选C 不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个其和为30的为7+23，11+19，13+17，共3种情形，所求概率为P=3C 102=1 15 9在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A 15 B 56 C 55 D 22 解析：选C 建立空间坐标系

5、，利用向量夹角公式可得。 10若f(x)=cosx-sinx 在-a,a是减函数，则a 的最大值是( ) A 4 B 2 C 3 4 D 解析：选A f(x)= 2cos(x+ 4),依据f(x)=cosx 与f(x)= 2cos(x+4)的图象关系知a 的最大值为4 。 11已知f(x)是定义域为(-,+ )的奇函数，满足f(1-x)= f(1+x)若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+ +f(50)= ( ) A -50 B 0 C 2 D 50 解析：选C 由f(1-x)= f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=-f(1)=-2

6、,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0; f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=f(1)+f(2)=2 12已知F 1，F 2是椭圆C: x 2 a 2y 2 b 21（ab0）的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为3 6 的直 线上，P F 1F 2为等腰三角形，F 1F 2P=1200 ，则C 的离心率为( ) A 23 B 12 C 13 D 14 解析：选D AP 的方程为y= 3 6 (x+a),P F 1F 2为等腰三角形 |F 2P|=| F 1F 2|=2c, 过P 作PH x 轴，则PF

7、2H=600 , |F 2H|=c,|PH|=3c, P(2c, 3c),代入AP 方程得4c=a 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为_ 解析：y=2x 14若x,y 满足约束条件? ?x+2y-50 x-2y+30 x-50 ,则z=x+y 的最大值为_ 解析：9 15已知sin +cos =1,cos +sin =0，则sin(+)=_ 解析：- 1 2 两式平方相加可得 16已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为7 8，SA 与圆锥底面所成角为45，若SAB 的面积 为515，则该圆锥的侧面积为_

8、解析：设圆锥底面圆半径为r,依题SA=2r, 又SA ，SB 所成角的正弦值为 158,则122r 2 158 =515 r 2 =40, S=r 2r=40 2 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17（12分） 记S n 为等差数列a n 的前n 项和，已知a 1=-7，S 3=-15 （1）求a n 的通项公式； （2）求S n ，并求S n 的最小值 解：（1）设a n 的公差为d ，由题意得3 a 1+3d=-15,由a 1=-7得d=2. 所以

9、a n 的通项公式为a n =2n-9. （2）由（1）得S n =n 2-8n=(n-4)2 -16. 所以当n=4时, S n 取得最小值,最小值为?16. 18（12分） 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,17）建立模型：y =-30.4+13.5t ；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,7）建立模型：y =99+17.5t （1）分别利用这两个模型，求该地区201

10、8年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 解：（1）利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 y =-30.4+13.519=226.1 (亿元). 利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 y =99+17.59=256.5 (亿元). （2）利用模型得到的预测值更可靠. 理由如下： （）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y =-30.4+13.5t 上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年

11、的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y =99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠. （）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型得到的预测值更可靠. 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19（12分） 设抛物线C:y

12、 2 =4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=8 （1）求l 的方程； （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程 解：（1）由题意得F(1,0)，l 的方程为y=k(x-1)(k0). 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由? ? y=k(x-1)y 2 =4x 得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2 =0. =16k 2 +160，故x 1+x 2=2k 2 +4 k 2. 所以|AB|= x 1+x 2+2=2k 2 +4 k 2+2=8 ，解得k=-1（舍去），k=1. 因此l 的方程为y=x-1. （2）由（1

13、）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0)，则? ? y 0=-x 0+5(x 0+1)2=(y 0-x 0+1) 2 2+16解得? ? x 0=3 y 0=2 或? x 0=11 y 0=-6 因此所求圆的方程为(x-3)2 +(y-2)2 =16或(x-11)2 +(y+6)2 =144. 20（12分） 如图，在三棱锥P-ABC 中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O 为AC 的中点 （1）证明：PO 平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且二面角M-PA-C 为300

14、 ，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值 C 解：（1）因为AP=CP=AC=4，O 为AC 的中点，所以OP AC ，且OP=2 3. 连结OB.因为AB=BC= 2 2 AC ，所以ABC 为等腰直角三角形， 且OB AC ，OB=1 2 AC=2. 由OP 2 +OB 2 =PB 2 知OP OB. 由OP OB,OP AC 知OP 平面ABC. （2）如图，以O 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系. 由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0,),P(0,0,23),AP =(0,0,23) 取平面PAC 的法向量OB =(2,0,0). 设M(a,

15、2-a,0)(0 设平面PAM 的法向量为n=(x,y,z).则? ? 2y+23z=0 ax+(4-a)y=0 ，可取n=(3(a-4), 3a,-a)， 所以cos=23(a-4) 23(a-4)2+3a 2+a 2 .由已知得|cos|=32. 23|(a-4)|23(a-4)2 +3a 2 +a 2 =32 解得a=-4（舍去），a=4 3 . 所以n=(- 833,433,- 43).又PC =(0,2,-23)，所以cos =34 . 所以PC 与平面PAN 所成角的正弦值为 3 4 . 21（12分） 已知函数f(x)=e x -ax 2 （1）若a=1，证明：当x 0时，f(x

16、)1； （2）若f(x)在(0,+)只有一个零点，求a 【解析】（1）当a=1时，f(x)1等价于(x 2+1)e -x -10 设函数g(x) (x 2+1)e -x -1，则g (x)=-(x-1)2e -x 当x 1时，g (x)0，h(x)没有零点； （ii ）当a0时，h (x)=ax(x-2) e -x 当x (0,2)时，h (x)0 所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,+)单调递增 故h(2)=1- 4a e 2是h(x)在0,+)的最小值 若h(2)0，即ae 24，由于h(0)=1，所以h(x)在(0,2)有一个零点， 由（1）知，当x0时，e x =x 2 ，所以h

17、(4a)=1-16a 3 (e 2a )21-16a 3 (2a)4=1- 1 a 0 故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,+)有两个零点 综上，f(x)在(0,+)只有一个零点时，a=e 2 4 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修44：坐标系与参数方程（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为? ? ? x=2cos y=4sin （为参数），直线l 的参数方程为? ? ? x=1+tcos y=2+tsin （t 为参数） （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率 【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为x 2 4+y 2 16 =1 当cos 0时，l 的直角坐标方程为y=tan x+2-tan ， 当cos =0时，l 的直角坐标方程为x=1 （2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1+3cos 2)t 2 +4(2cos +sin )t-8=0 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以有两个解，设为t