2021年全国高考数学-山东理科

1、 9/92021年全国高考数学-山东理科 2007年高考数学山东卷（理科）详细解析 一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。 1 若cos sin z i =+（i 为虚数单位），则21z =-的值可能是 （A ） 6 （B ） 4 （C ）3 （D ） 2 【答案】:D 【分析】：把2 代入验证即得。 2 已知集合1,1M =-，1124,2x N x x Z +? = （D ）对任意的x R ，3 2 10 x x -+ 【答案】:C 【分析】：注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定。 8 某班50名学生在一次百

2、米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒。右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为 （A ）0.9,35 （B ） 0.9,45 （C ）0.1,35 （D ） 0.1,45 【答案】: A .【分析】：从频率分布直方图上可以看出0.9x =，35y =. 9 下列各小题中，p 是q 的充要条件的是

3、（1）:2p m ；2 :3q y x mx m =+有两个不同的零点。 （2）() : 1;() f x p f x -= :()q y f x =是偶函数。 （3）:cos cos ;p = :tan tan q =。 （4）:;p A B A ?= :U U q C B C A ?。 （A ）(1),(2) （B ） (2),(3) （C ）(3),(4) （D ） (1),(4) 【答案】: D.【分析】：（2）由 () 1() f x f x -=可得()()f x f x -=，但()y f x =的定义域不一定关于原点对称；（3）=是tan tan =的既不充分也不必要条件。 1

4、0 阅读右边的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是 （A ）2500,2500 （B ） 2550,2550 （C ）2500,2550 （D ） 2550,2500 【答案】:D.【试题分析】：依据框图可得1009896.22550S =+=，999795.12500T =+=。 11 在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 （A ）2 AC AC AB =? （B ） 2 BC BA BC =? （C ）2AB AC CD =? （D ） 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ?= 【答案】:C.【分析】： 2 ()0

5、0AC AC AB AC AC AB AC BC =?-=?=，A 是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2 2 2 2 CD AB AC BC ?=?，通过等积变换判断为正确. 12 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 1 2 .质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为 （A ）51()2 （B ） 2551()2C （C ）3351()2C （D ） 235 551()2C C 【答案】:B.【分析】：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为2 2 3

6、 51 1()(1)2 2 P C =-。 二填空题：本大题共4小题，每小题4 分，共16分，答案须填在题中横线上。 13 设O 是坐标原点，F 是抛物线2 2(0)y px p =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60? ，则OA 为_. 【答案】: 2 p 【分析】：过A 作AD x 轴于D ，令FD m =，则2FA m =，2p m m +=，m p =。.2 OA p = 14设D 是不等式组21023041 x y x y x y +?+? ?表示的平面区域,则D 中的点(,)P x y 到直线10 x y +=距 离的最大值是_. 【答案】:【分析】：画图确

7、定可行域，从而确定(1,1)到直线直线10 x y +=距离的最大为 15与直线20 x y +-=和曲线2 2 1212540 x y x y +-+=都相切的半径最小的圆的标准 方程是_. 【答案】:. 2 2 (2)(2)2x y -+-=【分析】：曲线化为2 2 (6)(6)18x y -+-=，其圆心到直线20 x y +-= 的距离为d = =所求的最小圆的圆心在直线y x =上，其 ，圆心坐标为(2,2).标准方程为2 2 (2)(2)2x y -+-=。 16函数log (3)1(0,1)a y x a a =+-的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny +=上,其中0

8、mn ,则 12 m n +的最小值为_. 【答案】 : 8。【分析】：函数log (3)1(0,1)a y x a a =+-的图象恒过定点(2,1)A -， (2)(1)10m n -?+-?+=，21m n +=，,0m n ， 12124()(2)448.n m m n m n m n m n +=+?+=+= 三解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17)（本小题满分12分）设数列n a 满足2 1 *12333 (3) ,.3 n n n a a a a n N -+= (I)求数列n a 的通项; (II)设,n n n b a =求数列n

9、 b 的前n 项和n S . 解：: (I)2 1 12333 (3) ,3n n n a a a a -+= 221231133.3(2),3 n n n a a a a n += 1113(2).333n n n n a n -=-= 1 (2).3 n n a n = 验证1n =时也满足上式，* 1().3 n n a n N = (II) 3n n b n =?， 23132333.3n n S n =?+?+?+? 231 233333n n n S n +-=+-? 1 1332313 n n n S n +-= -?-， 111333244 n n n n S += ?-?+?

10、 18（本小题满分12分）设b c 和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量表示方程2 0 x bx c +=实根的个数(重根按一个计). (I)求方程2 0 x bx c += 有实根的概率; (II) 求的分布列和数学期望; (III)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程2 0 x bx c += 有实根的概率. 解：:（I ）基本事件总数为6636?=， 若使方程有实根，则2 40b c ?=- ，即b 。 当1c =时，2,3,4,5,6b =； 当2c =时，3,4,5,6b =； 当3c =时，4,5,6b =； 当4c =时，4,5,6b =； 当5c =时，5,6b

11、 =； 当6c =时，5,6b =, 目标事件个数为54332219,+= 因此方程2 0 x bx c += 有实根的概率为19.36 (II)由题意知，0,1,2=，则 23413 132333.3n n S n +=?+?+?+? 17(0)36P = ，21(1),3618P =17(2)36 P =， 故的分布列为 0 1 2 P 17 36 118 1736 的数学期望17117 012 1.361836 E =? +?+?= (III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M ，“方程2 0ax bx c += 有实根” 为事件N ，则11()36P M = ，7()36 P MN

12、 =， ()7 ()()11 P MN P N M P M = =. 19（本小题满分12分）如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,已知 122DC DD AD AB =,AD DC ,AB DC . (I)设E 是DC 的中点,求证: 11D E A BD 平面; (II)求二面角11A BD C -的余弦值. C1 A1 B A 解：:(I)连结BE ，则四边形DABE 为正方形， 11BE AD A D =，且11BE AD A D ， 11A D EB 四边形为平行四边形， 11D E A B . 1111D E A BD A B A BD ?平面，平面， 11.D

13、E A BD 平面 (II) 以D 为原点，1,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设1DA =，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,2),(1,0,2).D A B C A 1(1,0,2),(1,1,0).DA DB = 设(,)n x y z =为平面1A BD 的一个法向量， 由1,n DA n DB 得20 x y x y +=? +=?，取1z =，则(2,2,1)n =-. 设111(,)m x y z =为平面1C BD 的一个法向量， 由,m DC m DB 得1111 220 0y z x y +=?+

14、=?， 取11z =,则(1,1,1)m =- . cos ,9m n m n m n ?= = = ? 由于该二面角11A BD C -为锐角，所以所求的二面角11 A BD C - (20)（本小题满分12分）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105? 的方向1B 处, 此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120? 方向的2 B 处,此时两船相距, 问乙船每小时航行多少海里? 解：如图，连结12A B ，22A B =1220 60 A A =?=， 122A A B

15、?是等边三角形，1121056045B A B =?-?=?， 1 A 2 A 120 105 乙 在121A B B ?中，由余弦定理得 22212111211122 2 2cos 4520220200 2 B B A B A B A B A B =+-? =+-?=， 12B B = 因此乙船的速度的大小为 6020 = 答：乙船每小时航行海里. (21)（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1. (I)求椭圆C 的标准方程; (II)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A,B 两点(A,B 不是左右顶点

16、),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标. 解：(I)由题意设椭圆的标准方程为22 221(0)x y a b a b += 3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b = 22 1.43 x y += (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由2214 3y kx m x y =+? ?+=?得 222(34)84(3)0k x mkx m +-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+-，22340k m +-. 2121222 84(3) ,.3434mk m x x x x k k -+=-?

17、=+ 222 2 121212122 3(4) ()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1122(2,)(2,)0DA DB x y x y =-=， 1212122()40y y x x x x +-+=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k -+=+， 2271640m mk k +=，解得 1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-. 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2

18、,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 (22)（本小题满分14分）设函数2 ()ln(1)f x x b x =+,其中0b . (I)当1 2 b 时,判断函数()f x 在定义域上的单调性; (II)求函数()f x 的极值点; (III)证明对任意的正整数n ,不等式2 3111 ln(1)n n n + -都成立. 解：(I) 函数2 ()ln(1)f x x b x =+的定义域为()1,-+. 222()211 b x x b f x x x x +=+=+， 令2 ()22g x x x b =+，则()g x 在1,2?- + ?上递增，在11,2? ?- ? ?上递减， min 11 ()()22 g x g b =-=-+. 当12b 时，min 1 ()02 g x b =-+， 2()220g x x x b =+在()1,-+上恒成立. ()0,f x 即当1 2 b 时,函数()f x 在定义域()1,-+上单调递增。 （II ）分以下几种情形讨论： （1）由（I