数字成图的数学基础市公开课获奖课件

1、第三章 数字成图数学基础与原理3.1 惯用坐标系及其转换3.2 图形裁剪3.3 规则图形正形化处理3.4 曲线光滑测绘工程教研室第1页第1页3.1 惯用坐标系及其转换一、测量坐标系概述1、不同基准坐标系统2、同一基准中几种惯用坐标系二、测量坐标转换1、不同基准间坐标转换2、同一基准内坐标互相转换三、测量坐标系到屏幕坐标系和绘图仪坐标系转换测绘工程教研室第2页第2页 地面和空间点位确实定总是要参考于某一给定坐标系统。 坐标系统是由坐标原点、坐标轴指向和尺度所定义。 坐标参考系统分为天球坐标系和地球（地固）坐标系。测量坐标系 依据坐标系原点位置不同，地固坐标系分为地心坐标系（原点与地球质心重合）和

2、参心坐标系（原点与参考椭球中心重合），前者以总地球椭球为基准，后者以参考椭球为基准。 不论是地心坐标系还是参心坐标系均可分为空间直角坐标系和大地坐标系，它们都与地球固连在一起，与地球同时运动。 建立某一基准地固坐标系统必须处理下列问题： 拟定椭球形状和大小（长半径a和扁率）； 拟定椭球中心位置（椭球定位）； 拟定椭球短轴指向（椭球定向）； 建立大地原点。测绘工程教研室第3页第3页1、不同基准坐标系统 （1）1954年北京坐标系（2）1980年国家大地坐标系（3） 中国地心坐标系统CGCS（4） WGS-84坐标系 测绘工程教研室第4页第4页 1954年北京坐标系是我国当前广泛采用大地测量坐标系

3、。 该坐标系源自于原苏联采用过1942年普尔科沃坐标系。 该坐标系采用参考椭球是克拉索夫斯基椭球。这是一个只有几何量表示 椭球，其椭球参数为 a =6378245m =1：298.3 该椭球并未依据当初我国天文观测资料进行重新定位，而是直接由前苏 联西伯利亚地域一等锁，经我国东北地域传算过来。1、不同基准坐标系统 （1）1954年北京坐标系 1954年北京坐标系存在下列几种方面缺点：测绘工程教研室第5页第5页 1954年北京坐标系存在以下几个方面缺点： 克拉索夫斯基椭球参数同当代准确椭球参数差异较大，而且不包 含表示地球物理特性参数，因而给理论和实际工作带来了许多不便。 椭球定向不十分明确，椭

4、球短半轴既不指向国际通用CIO极，也不 指向当前我国使用JYD极。参考椭球面与我国大地水准面呈西高东低 系统性倾斜，东部高程异常达60余米，最大达67米。 该坐标系统大地点坐标是经过局部分区平差得到。区与区之间存 在较大隙距。如接合部中有些点，在不同区坐标值相差1-2米。1、不同基准坐标系统 （1）1954年北京坐标系测绘工程教研室第6页第6页 1980年国家大地坐标系采用国际大地测量协会1975年推荐参考椭球 IAG-75国际椭球，其四个几何和物理参数值为： 椭球长半径a=6378140m 引力常数与地球质量乘积GM=3.9860051014m3s2 地球重力场二阶带球谐系数J 2=1082

5、6310-8 地球自转角速度=7.29211510-5rads 椭球短轴平行于地球自转轴（由地球质心指向1968.0JYD地极原点 方向），起始子午面平行于格林尼治平均天文子午面。 按照椭球面与似大地水准面在我国境内符合最好约束条件进行定位， 并将大地原点拟定在我国中部陕西省泾阳县永乐镇。 高程系统以1956年黄海平均海水面为高程起算基准。（2）1980年国家大地坐标系1、不同基准坐标系统测绘工程教研室第7页第7页（3） 中国地心坐标系统CGCS 利用1999-共7年24个GPS连续运营基准站观测数 据，并联合47个国际IGS关键站，得到这些点于2000.0历元在ITRF2000框架中坐标及速

6、度，以及其相对于NNR-NUVEL1A板块模型速度，以此建立起中国地心坐标系基准点。CGCS2000坐标系采用地球椭球参数下列： 地球椭球长半径a=6378137m 引力常数与地球质量乘积GM=3.9860044181014m3s2 地球自转角速度=7.29211510-5rads 年7月1日起实行中国地心坐标系统CGCS2000是全球地心坐标系在我国详细表达，其原点为包括海洋和大气整个地球质量中心。1、不同基准坐标系统测绘工程教研室第8页第8页（4） WGS-84坐标系 WGS-84坐标系(World Geodical System-84，世界大地坐标系-84），它属于地心地固坐标系统。坐标

7、系原点是地球质心，椭球面与大地水准面在全球范围内最佳符合，Z轴指向BIHl984.0定义协议地球极(CTP)方向，X轴指向BIHl984.0零度子午面和CTP赤道交点，Y轴和Z、X轴构成右手坐标系。WGS-84椭球参数为： 地球椭球长半径a=6378137m 引力常数与地球质量乘积GM=3.9860051014m3s2 地球重力场二阶带球谐系数J 2=1082.6299890510-6 地球自转角速度=7.29211510-5radsGPS星历坐标及由GPS观测值直接计算坐标，都是WGS-84坐标系坐标。1、不同基准坐标系统测绘工程教研室第9页第9页2、同一基准中几种惯用坐标系（1）空间直角坐

8、标系（2）大地坐标系 （3）高斯平面直角坐标系 （4）平面直角坐标系 测绘工程教研室第10页第10页 空间直角坐标系中空间任意点坐标用（X，Y，Z）表示，坐标原点位在地球椭球质心或参考椭球中心，Z轴（短轴）与地球平均自转轴相重叠，亦即指向某一时刻平均北极点，X 轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定子午面与赤道面交点Ge，而Y 轴与XOZ平面垂直，且指向东为正。 2、同一基准中几种惯用坐标系（1）空间直角坐标系测绘工程教研室第11页第11页（2）大地坐标系 大地坐标系（亦称地理坐标系）是采用大地经度L、大地纬度B和大地高H来描述地面上一点空间位置。地面上一点大地经度为大地起始子午面与该点所

9、在子午面所构成二面角；大地纬度是过该点作椭球面法线与赤道面夹角；大地高H是地面点沿椭球法线到椭球面距离。2、同一基准中几种惯用坐标系测绘工程教研室第12页第12页（3） 高斯平面直角坐标系 高斯投影横切椭圆柱等角分带投影。2、同一基准中几种惯用坐标系测绘工程教研室第13页第13页（4）平面直角坐标系 当测图范围较小时，可把该部分球面视为水平面。将地面点直接沿铅垂线方向投影到水平面上。以互相垂直纵横轴建立平面直角坐标系：纵轴为x轴，与南北方向一致，以向北为正，向南为负；横轴为y轴，与东西方向一致，以向东为正，向西为负。这样任一点平面位置可用其纵横坐标x，y表示。假如坐标原点O是任意假定，则为独立

10、平面平面直角坐标系。2、同一基准中几种惯用坐标系测绘工程教研室第14页第14页 不同基准间坐标转换本质上是不同坐标系统转换。不同基准间坐标转换能够在不同空间直角坐标系之间转换也能够在不同大地坐标系之间转换。在两空间直角坐标系之间转换比较简便，应用广泛。不同空间直角坐标系转换应包含不同参心空间直角坐标系间转换，同时也包含参心空间直角坐标系与地心空间直角坐标系间转换。二、测量坐标转换1、不同基准间坐标转换 在进行两个空间直角坐标系间转换时，要对坐标原点实施三个平移变换，对三个坐标轴实施三个旋转变换（这三个旋转角称为欧勒角），除此之外，还有两个坐标系尺度之间不同一个尺度变换参数。以上三个坐标原点平移

11、参数、三个坐标轴旋转参数、一个尺度变换参数统称为七参数。进行空间直角坐标系转换主要有布尔莎（Burse-Wolf）模型莫洛金斯基模型范士公式（武测模型）测绘工程教研室第15页第15页 布尔莎模型 C点在A空间直角坐标系坐标为（XA，YA，ZA）；在B空间直角坐标系坐标为（XB，YB，ZB）。 两坐标系间七个转换参数： 3个平移参数（X0，Y0，Z0 ） ：为A空间直角坐标系原点平移到B空间直角坐标系原点坐标差； 3个旋转参数为A空间直角坐标系三轴指向分别旋转到B空间直角坐标系三轴指向旋转角 ； 1个尺度参数m为B基准与A基准两个长度比。 布尔莎模型 二布尔莎模型 一测绘工程教研室第16页第16

12、页由A空间直角坐标系到B空间直角坐标系转换关系为： 布尔莎模型 三个旋转角通常为小角度，称为欧勒角 令： 测绘工程教研室第17页第17页式中： 在作业中，普通把既有A坐标系坐标，又有B坐标系坐标点叫做公共点。转换参数就是依据两坐标系公共点按最小二乘法原理来确。 布尔莎模型 布尔莎沃尔夫模型另一个形式为： 测绘工程教研室第18页第18页2、同一基准内坐标互相转换二、测量坐标转换（1） 空间直角坐标系与大地坐标系间转换 大地坐标系向空间直角坐标系转换办法 空间直角坐标系向空间大地坐标系转换办法（2）大地坐标系与高斯平面直角坐标系间转换 高斯投影坐标正算 高斯投影坐标反算测绘工程教研室第19页第19

13、页 大地坐标系向空间直角坐标系转换办法为：式中： 其中：N为卯酉圈曲率半径；a为地球椭球长半轴； b为地球椭球短半轴；e为第一偏心率。2、同一基准内坐标互相转换二、测量坐标转换（1） 空间直角坐标系与大地坐标系间转换测绘工程教研室第20页第20页 在采用上式进行转换时，大地纬度B需要用迭代办法求解。当两次迭代结果之差时，就得到了B。然后就可拟定H 。 空间直角坐标系向空间大地坐标系转换办法为： 2、同一基准内坐标互相转换二、测量坐标转换（1） 空间直角坐标系与大地坐标系间转换测绘工程教研室第21页第21页t = tan B； l = L-Lo，L0为中央子午线经度（2）大地坐标系与高斯平面直角

14、坐标系间转换 2、同一基准内坐标互相转换二、测量坐标转换 高斯投影坐标正算式中，测绘工程教研室第22页第22页（2）大地坐标系与高斯平面直角坐标系间转换 2、同一基准内坐标互相转换二、测量坐标转换 高斯投影坐标反算测绘工程教研室第23页第23页 1、 测量坐标与屏幕坐标之间变换 2、 图形缩放时坐标变换 （1）定倍数缩放显示 （2）开窗放大显示 3、测量坐标系到绘图仪坐标系换算三、测量坐标系到屏幕坐标系和绘图仪坐标系转换测绘工程教研室第24页第24页 测量坐标系通常是高斯平面直角坐标系，北为X正向，东为Y正向。 计算机屏幕坐标系是以屏幕左上角为原点，以从左至右水平方向为x轴，以从上至下垂直方向

15、为y轴直角坐标系，屏幕坐标系坐标单位为像素，其取值普通只能是0和正整数，详细取值范围与屏幕分辨率相关，如对分辨率为1024768显示器而言，x取值范围为01023，y取值范围为0767。 测量坐标系与屏幕坐标系之间变换测绘工程教研室第25页第25页XYOyxo基本图形显示-坐标系、窗口定义测绘工程教研室第26页第26页 1、 测量坐标与屏幕坐标之间变换XYOyxoSx P(X0，Y0) Sy sysx 1.2.测绘工程教研室第27页第27页 2、图形缩放时坐标变换-（1）定倍数缩放显示XYOyxo M P M P设所选点在原窗口中坐标为（ )，其相应测量坐标为( )缩放倍数为k，则原窗口中任一

16、点P坐标（x,y）与缩放后窗口中坐标（x,y）之间存在下列关系 缩放窗口中坐标（x, y） 与相应高斯坐标（X,Y）之间存 在下列关系测绘工程教研室第28页第28页XYOyxo M P M P 2、 图形缩放时坐标变换-（2）开窗放大显示 设所选点在原窗口中坐标为（ ），其相应测量坐标为（ ），所选矩形区域在x方向和y方向上长度分别为 和 则原窗口中任一点坐标（x，y）与放大后窗口中坐标( ， )之间关系为放大后窗口中坐标（ ， ）与相应高斯坐标之间关系为测绘工程教研室第29页第29页 3、测量坐标系到绘图仪坐标系换算如图所表示，XOY为测量坐标系，xoy为绘图仪坐标系，是4个图廓点测量坐标，

17、则图幅中心测量坐标为则图副中任一点P测量坐标与相应绘图仪坐标存在下列关系测绘工程教研室第30页第30页 一、直线段裁剪 二、多边形裁剪 三、圆和曲线裁剪3.2 图形裁剪测绘工程教研室第31页第31页 图形裁剪-一、直线段裁剪直线段裁剪算法基本思想是，依据线段两端点位置判断该直线段是否与裁剪区域边界相交，假如相交，则计算出交点位置，并用裁剪区域内线段部分取代原线段。 10011000 1010 0001 0000 00100101 0100 0110yx0四位编码线段裁剪办法是依裁剪区域边界把平面划分为9个区域，如图所表示，矩形裁剪区域位于中心，每个区域用4位二进制编码表示。此编码每一位表示相对

18、于矩形裁剪区域边界位置。设矩形区域左下角坐标为（xmin,ymim ），左上角坐标为（xmax,ymax）,P(x,y)为平面上一点，则每一位编码定义下列： 若y ，则C1=1,表示P点位于上边界上方，则C2=1,表示P点位于下边界下方，则C3=1,表示P点位于右边界右方，则C4=1,表示P点位于左边界左方若y 若x 分别表示从左至右第1位、第2位、第3位和第4位编码。若某位为0，则表示P点位置与取值为1位置相反。显然，当P点四位编码为0000时，P点位于矩形裁剪区域内；当P点四位编码不为0000时，P点位于区域外。 测绘工程教研室第32页第32页 图形裁剪-一、直线段裁剪如图所表示，线段相对

19、于矩形裁剪区域位置，存在四种也许情况： 1. 线段两端点四位编码均为0000，则该线段位于矩形裁剪窗口内。此时只需保留该线段两端点即可。 2. 线段两端点四位编 码均不为0000，且逻辑相乘结果不为0。此时该线段位于矩形裁剪区域之外，则将该线段舍弃即可。3. 线段一个端点四位编码为0000，另一端点四位编码不为0000。此时该线段一个端点位于矩形裁剪区域之内，另一端点位于矩形裁剪区域之外，则需要计算线段与矩形裁剪区域边界交点，并用求得交点代替矩形裁剪区域外线段端点。4. 线段两端点四位编码均不为0000，且逻辑相乘结果为0，此时该线段两端点均在矩形裁剪区域之外，则需要判断并计算线段与矩形裁剪区

20、域边界交点。若线段与矩形裁剪区域边界无交点，则表示整个线段在矩形裁剪区域之外，只须将该线段舍弃即可；若线段与矩形裁剪区域边界有交点（必为两个交点），则表示部分线段在矩形裁剪区域内，用两个交点分别代替原线段两端点即可。测绘工程教研室第33页第33页 设线段两端点坐标分别为（x1,y1）和（x2,y2），则线段与裁剪区域边界交点为：上边界交点下边界交点 右边界交点 左边界交点 线段与剪切区域存在交点判别准则为 图形裁剪-一、直线段裁剪测绘工程教研室第34页第34页多边形裁剪比直线要复杂得多。由于通过裁剪后，多边形轮廓线仍要闭合，而裁剪后边数也许增长，也也许减少，或者被裁剪成几种多边形，这样必须适当

21、地插入窗口边界才干保持多边形封闭性。这就使得多边形裁剪不能简朴地用裁剪直线办法来实现。把整个多边形先相对与窗口第一边界裁剪，然后再把形成新多边形相对与窗口第二条边界裁剪，如此进行到窗口最后一条边界，从而把多边形相对与窗口所有边界进行了裁剪。 图形裁剪-二、多边形裁剪 多边形裁剪环节测绘工程教研室第35页第35页 图形裁剪-二、多边形裁剪环节1. 取多边形顶点Pi(i=1,2,n)，对其相对于窗口第一条边界进行判别，若点Pi 位 于边界靠窗口一侧，则把Pi统计到要输出多边形顶点中，不然不作统计。 2. 检查Pi 点与点Pi-1点（i=1时，检查Pi与Pn点）是否位于窗口边界同一侧 。若是， Pi

22、点统计是否，随 Pi-1点是否统计而定；不然计算出Pi Pi-1与窗口边界交点，并 将它统计到要输出多边形顶点中去。 3. 如此判别所有顶点， P1 、 P2 Pn后，得到新多边形，然后用新多边形重复上述环节（1）、（2），依次对窗口第二、第三和第四条边界进行判别，判别完后得到多边形即为裁剪最后结果。测绘工程教研室第36页第36页 把整个多边形先相对与窗口第一边界裁剪，然后再把形成新多边形相对与窗口第二条边界裁剪，如此进行到窗口最后一条边界，从而把多边形相对与窗口所有边界进行了裁剪。该算法环节为： 1. 取多边形顶点Pi(i=1,2,n)，对其相对于窗口第一条边界进行判别， 若点Pi 位于边界

23、靠窗口一侧，则把Pi统计到要输出多边形顶点中， 不然不作统计。 2. 检查Pi 点与点Pi-1点（i=1时，检查Pi与Pn点）是否位于窗口边界同一侧 。若是， Pi点统计是否，随 Pi-1点是否统计而定；不然计算出Pi Pi-1与窗 口边界交点，并将它统计到要输出多边形顶点中去。3. 如此判别所有顶点， P1 、 P2 Pn后，得到新多边形，然后用新多边形重复上述环节（1）、（2），依次对窗口第二、第三和第四条边界进行判别，判别完后得到多边形即为裁剪最后结果。如图所表示，多边形P1 P2 P3 P4 P5 P6经裁剪后得到两个新多边形Q1 Q2 Q3 和Q4 Q5 Q6 图形裁剪-二、多边形裁

24、剪测绘工程教研室第37页第37页 图形裁剪-三、圆和曲线裁剪圆和曲线都能够用一组短直线段来迫近，因此可采用对每一短直线段裁剪，来实现对圆和曲线裁剪。测绘工程教研室第38页第38页3.3 规则图形正形化处理一、直角化处理办法1. 采用比较法进行直角化处理2. 采用最小二乘法进行直角化处理二、圆形正形化处理 在大百分比尺数字成图时，对于矩形构筑物，通常测定其中3个点或者测定4个点来拟定其位置，受测量误差影响，由3个点绘制平行四边形以及由4个点围成四边形构筑物往往不是矩形，这就需要对其进行直角化处理。 在测量圆形构筑物时，测量圆周上三个点能够唯一拟定一个圆，当测量点多于3个时就需要对其进行正形化处理

25、。三、绘制圆滑平行线测绘工程教研室第39页第39页 在外业数据采集过程中，因棱镜所放位置、仪器误差以及个别人为原因等，势必引起碎部点点位误差，从而使得许多规则图形，如矩形房屋、平行铁路、圆曲线等，测绘成图后形状有一定变形，为了处理这些问题，在计算机制图时，常以规则地物应满足几何条件为基础，利用最小二乘原理对规则地物测量数据进行平差处理，用处理后数据作为规则地物计算机制图数据进行制图，以确保规则地物制图结果美观和制图精度。我们把这一过程称为规则图形几何纠正，或规则图形正形化处理。由于规则地物属性参数必须满足一定几何条件，因而以规则图形几何条件为基础方程，进行条件平差处理，便可实现规则地物几何纠正

26、。 规则图形正形化处理测绘工程教研室第40页第40页一、直角化处理办法1. 采用比较法进行直角化处理 如图所表示, 现对四边形ABCD进行直角化处理，先从其中一条边开始进行调整，详细办法与直角化调整环节下列：测绘工程教研室第41页第41页（1） 过C、D两点且垂直于AB直线 垂足交点m、n坐标分别为，计算下列：式中， 同样能够计算出n坐标，则Am中点A和Bn中点B坐标为：一、直角化处理办法1. 采用比较法进行直角化处理测绘工程教研室第42页第42页（2）在Bb（BbAB、AaAB）方向线上，过C、D两点与Bb直线 垂足交点为p、q，可依据式（3-28）按相同原理求得两点坐标 ，则C点坐标为：

27、一、直角化处理办法1. 采用比较法进行直角化处理测绘工程教研室第43页第43页（3）过C点且垂直于Bb直线Cc 与Aa直线交点即可拟定D点 位置。 通过上述调整后得到以AB为起始边进行调整后矩形为ABCD，并计算坐标更正数平方和。 按照上述办法，依次分别以BC、CD、DA为起始边进行直角化调整，从而得到4组通过直角化处理后矩形各点坐标，分别计算其坐标更正数平方和，取其中相应坐标更正数平方和最小那组坐标作为直角化处理最优结果。一、直角化处理办法1. 采用比较法进行直角化处理测绘工程教研室第44页第44页2. 采用最小二乘法进行直角化处理 如图所表示，测量i、j、k三点构成一个已知角，则这三点构成

28、角间几何关系可由下式表示：、式中：分别为边jk和边ji坐标方位角平差值，即：一、直角化处理办法测绘工程教研室第45页第45页设，并令 是由点位观测值反算近似边长，将（3-35）式进行线性式中和化处理，经整理后得：式中：分别为边jk和边ji坐标方位角平差值，即：2. 采用最小二乘法进行直角化处理一、直角化处理办法测绘工程教研室第46页第46页是由点位观测坐标计算方位角近似值。将式（3-36）式中 则可得到条件方程下列： 代入（3-34）式，并令 当 时，表示jk和ji边构成直角条件；当 直线，即构成直线条件。在实际应用时，依据式（3-37）能够列出相应条件方程，按照最小二乘原理求解，即可得到经直

29、角化处理后坐标为：表示jk和ji为一条2. 采用最小二乘法进行直角化处理一、直角化处理办法测绘工程教研室第47页第47页比如，在如图3-12（b）所表示为一矩形房屋建筑，观测了A、B、C三个点，则可按照（3-37）列立条件方程，然后可按最小二乘原理进行处理，得到这三个点平差坐标值后，再按照矩形图形构成办法推算第4个点D坐标。当观测了矩形构筑物4个角点坐标时，这时可依据（3-37）式列立三个直角条件方程（或列立一个直角条件加两个对边相等条件形式等），然后按最小二乘原理进行平差处理，得到经直角化处理后各点坐标，即可消除因测量误差而造成规则地物各参数间矛盾，从而达到规则图形几何纠正之目的。2. 采用

30、最小二乘法进行直角化处理一、直角化处理办法测绘工程教研室第48页第48页二、圆形正形化处理 在测量圆形构筑物时，测量圆周上三个点能够唯一拟定一个圆，当测量点多于3个时，圆曲线上测量点应满足圆曲线方程：式中 是圆心坐标， 是圆半径，均为未知参数。 由于测点存在误差， 因此设 然后线性化处理得： 近似值，将其代入（3-42）并令 其中 是直接观测量， 是 对上述附有参数条件平差方程按最小二乘原理进行平差处理，就能够解算出满足条件观测点坐标平差值，然后按照平差后坐标值进行图形绘制，就可实现圆曲线几何纠正。测绘工程教研室第49页第49页3.2 绘制圆滑平行线 基于中心线段平行线求交 图1 平行线求交

31、图2 求交失真(a)(b)基于中心线段平行线求交办法基本思想是，先列出中心线各线段平行线直线方程，然后对相邻线段直线方程求交，交点系列连线即为所求平行线。如图1所表示是本办法常见两种情况。从图中能够看出，这种办法对于较平缓中心线来讲是合用，但当中心线出现尖角时，会出现如图2所表示失真情况。 圆滑平行线绘制测绘工程教研室第50页第50页 圆滑平行线绘制 如图所表示，设中心线上相邻3个点为i-1,i,i+1,平行线距中心线距离为d。为叙述以便，假定求左侧平行线。从图中可看出，平行线绘制随中心点i处左侧转折角i大小而异。 圆滑平行线绘制 - i180 圆滑平行线绘制 - i180测绘工程教研室第51

32、页第51页当i180时，如图所表示，i相应平行线转折点为 i，其计算公式为 圆滑平行线绘制- i180测绘工程教研室第52页第52页当i180时，如图所表示，i点出平行点不是一个点，而是一段圆弧ii。i，i点坐标计算公式为圆弧ii上任一点k坐标为 圆滑平行线绘制- i180测绘工程教研室第53页第53页3.5 曲线光滑 线形迭代法 分段三次多项式插值法 张力样条函数插值法曲线光滑也就是曲线拟合或内插，即将曲线当作是由一系列点列连接而成，只要能依据已知点内插出这些点列位置，并确保在这些点处含有连续一阶导数或连续二阶导数，就可确保得到曲线是光滑。曲线光滑处理办法有两种类型：一个是光滑后曲线不一定通

33、过已知点，成为曲线拟合；另一个是光滑后曲线一定通过已知点，称为曲线内插。 正轴抛物线加权平均法测绘工程教研室第54页第54页地图所描述地球表面形态是复杂多变，如道路、水系、境界和等高线都是曲线，而计算机制图时，在数据采集阶段所采集是实际曲线上一定数量特性点，由图形软件依据这些特性点生成相应曲线，在这个生成过程中，必须有一个对曲线平滑处理过程，这就是所谓曲线光滑。曲线光滑也就是曲线拟合或内插，即将曲线当作是由一系列点列连接而成，只要能依据已知点内插出这些点列位置，并确保在这些点处含有连续一阶导数或连续二阶导数，就可确保得到曲线是光滑。曲线光滑处理办法有两种类型：一个是光滑后曲线不一定通过已知点，

34、成为曲线拟合；另一个是光滑后曲线一定通过已知点，称为曲线内插。曲线光滑计算机地图制图中大都要求光滑后曲线经过已知点。光滑曲线算法很多，如线性迭代法、正轴抛物线加权平均法、B样条法，分段三次多项式插值法、张力样条函数插值法及样条抛物线法等，所用拟合或插值算法不同也将会有不同光滑结果，地图制图中曲线形态有各种，要求平滑处理程序中所应包含光滑算法应是多样，考虑到各种拟合算法都较复杂，本书仅对较经典而惯用方法作一介绍。测绘工程教研室第55页第55页 线性迭代法（抹角法）是一个较简朴曲线光滑办法。这种办法建立在线性插值基础上，是用重复线性迭代法产生加密折线对曲线进行光滑处理，每迭代一次，抹去一批拐角点，

35、重复迭代以达到曲线光滑目的，因而拟合曲线不通过给定已知点。 F B E 1 2 345 6 线形迭代法如图所表示，第n次迭代是在n-1次迭代（点列F,B,E）基础上，在所有各相邻点间各插两个1/4点，将其两两相连得到n次迭代后折线点列（2，3，4，5），其中：F2=3B=FB/4；B4=5E=BE/4,进行多次迭代后就可得到一条光滑曲线。线性迭代法缺点是：迭代结果会造成曲线偏离所有特点，向内收缩，在曲线挠度大时愈加明显，使曲线定位精度较低。长处是：图形向内收缩能够确保等高线即使在较密集情况下也不会相交，且计算量小。当曲线定位精度要求较低时，可采用线行迭代法。测绘工程教研室第56页第56页首先要

36、求给出数据点是属于一个连续光滑曲线模型。在曲线上每两个数据点之间（即每条折线段上）建立其一条三次曲线，要求整条曲线上含有连续一阶导数来确保曲线光滑性。每个节点上一阶导数是以该点为中心，加上前后各相邻两点（共五个点）共同拟定，因此又称五点光滑法。图中3号点处导数计算公式213 4 5 分段三次多项式插值法在曲线两端，各有两个点斜率不能由上式求出。因此在这四个点上，总有一侧不够两个点，因此要求在端点以外设法补足两个点 补点办法 过相邻两点作一条三次曲线测绘工程教研室第57页第57页1 2 34 5 要求端点（x3 , y3）和其相邻两个数据点（x2 , y2）， （x1 , y1）以及将要补足两个

37、点（x4 , y4）， （x5 , y5）都在抛物线 上，这样能够满足曲线原有趋势 又设 x5 - x3 = x4 x2 = x3- x1从而就能相应地拟定 y4和y5。于是有至此在每个数据点上曲线斜率都可拟定下来，并且这种拟定只涉及到涉及该点本身在内相邻五个数据点该补点办法只适合用于开曲线。假如是闭曲线，由于首位两点相重叠，因此在首点补点直接利用（n-1）、(n-2)两点，在终点补点则直接利用2、3两点。事实上是重复这些点位。 补点办法测绘工程教研室第58页第58页 我们就能够采用分段三次多项式插值法，按顺序地过相邻两点作一条三次曲线，其方程为拟定a0,a1,a2,a3条件是：1. 点 （x

38、i ，yi）和 （xi+1 ，yi+1）通过该曲线 2. 依据公式（3-22）拟定在点 （xi ，yi）和 （xi+1 ，yi+1）处导 数 ti和 ti+1从而能够推出由式（3-26）和（3-27）拟定整条曲线，满足了一阶导数连续性，因此就能表示一条连续光滑曲线 过相邻两点作一条三次曲线测绘工程教研室第59页第59页 张力样条函数是描述样条曲线一个函数，它主要特性是在普通三次样条函数中引入一个张力系数 。当 0时，张力样条函数就等同于三次样条函数；当 时，张力样条函数就退化为分段线性函数，即相邻节点之间以直线连接。能够选择适当张力系数 ，以改变曲线松紧程度，使曲线走向愈加合理和美观。 张力样

39、条函数插值公式 张力样条函数插值计算过程 张力样条函数插值法 单值函数yf（x） 参数方程-多值函数曲线测绘工程教研室第60页第60页 设 （x1 , y1）， （x2 , y2）， （xn , yn）为平面上已知一组数据点，且 x1 x2 xn另外给出一个常数 0 （我们称它为张力系数）。现在求一个含有二阶连续导数单值函数yf（x），使它满足同时还要求 必须连续在每个区间xi , yi+1 （i=1，2，n-1）上呈线性改变，即方程 3-29 是一个二阶非齐次常系数线性微分方程，他通解为其中y为它相应齐次方程 通解，即 为它一个特解，即=ax+b 张力样条函数插值公式 i1，2，n -（3-

40、28）-（3-29） 单值函数yf（x）测绘工程教研室第61页第61页 依据（3-29）式初始条件（3-28）式，就能够拟定出c1、 c2和a、b值。最后通过整理得到（3-29）式解式（3-30）就是通过所设数据点 张力样条函数显然，只要能拟定各数据点二阶导数 ，这样张力样条函数就完全拟定了，下面我们就依据定义来处理求 问题。 -（3-30） 张力样条函数插值公式测绘工程教研室第62页第62页先微分（3-30）式，得-（3-31） (i=2,3,n-1) -（3-32） 张力样条函数插值公式测绘工程教研室第63页第63页式（3-32）就是内接点关系式（或叫连续性方程）,简记作节点关系式（3-33）是一个含有n个未知量 （i=1，2，3，n）（n-2）个方程线性方程组，要惟一定解，必须附加两个方程，在普通情况下可按实际问题给出端点条件，这里有周期和非周期之分。 (i=2,3,n-1) -（3-33） 周期函数 非周期函数测绘工程教研室第64页第64页我们能够给出二端点处导数：分别代入（3-31）式，整理后可得到： 非周期函数-（3-34）简记为： -（3-35）