多元函数微分法及其应用习题课市公开课获奖课件

1、第九章 多元函数微分法及其 应用习题课第1页第1页一、内容回顾1、偏导数定义与计算求函数 偏导数 时，只要把 暂时看作常量而对 求导数；类似地，可求函数 偏导数 。 第2页第2页2、多元复合函数求导法则 zuvtzuvxy(1)设 和 在点 可导， 在相应点 处可微，则复合函数 在点 处可导，且 (2)设 和 存在偏导数， 在相应点 处可微，则复合函数 在 偏导数存在,且 第3页第3页3、隐函数导数由方程 拟定一元函数 ， 则有： 由方程 拟定二元函数 ， 则有 ：第4页第4页（2）. 由四个变量两个方程 所构成方程组, 如拟定隐函数两个二元函数方程组（1）. 由三个变量两个方程所构成方程组,

2、 如拟定隐函数两个一元函数方程组.,yvxvyuxu求由方程组所拟定隐函数第5页第5页4、多元函数微分学在几何上应用4.1 空间曲线切线与法平面切线方程： 法平面方程： (1), 则 在点 处第6页第6页切线方程： 法平面方程： 切线方程和法平面方程可转化为第(2)种形式， 求出 即可.(3) ,则 在点 处(2) , 则 在点 处第7页第7页4.2 曲面切平面与法线切平面方程： 法线方程： 切平面方程： 法线方程： (2) , 则 在点 处(1) , 则 在点 处第8页第8页5.方向导数与梯度 二元函数 在点 沿方向 方向导数为 计算公式:其中 是方向 方向余弦。其中 为x 轴到方向 转角第

3、9页第9页函数 在点处梯度为一向量:第10页第10页6. 无条件极值求法环节： 求 , 得所有驻点.求 , ,由判别驻点为极值点条件，验证 符号,拟定极值点，求出极值。 第11页第11页7. 条件极值求法：(拉格朗日（Lagrange）乘数法) 求出极值。 结构辅助函数 求解 得出 , 就是也许极值点.函数 在条件 下也许极值点:第12页第12页二、典型例题 解： 例1、 求函数 偏导数.分析：由于函数 为三元函数，因此，应分别求对 偏导数。 第13页第13页解：依据复合函数求偏导法则得 例2、设 ,而 , , 求 和 .第14页第14页 例3、 设 , 其中 含有二阶连续偏导数， 求 解：

4、设 ,则第15页第15页利用隐函数求导公式得 解:令 ,则 例4、 设 ,求 .分析：假如令 , 则由方程 拟定了 是 函数,求 用隐函数求导法。但在求二阶混合偏导时，应采用直接求导法。 第16页第16页计算 时，我们采用在方程两边同时对 求偏导办法, 并视 为 二元函数 , 得第17页第17页 例5、求曲线 在点 处切线及法平面方程。分析：此曲线为参数方程, 只需求出切向量为再求出切点，即可得切线及法平面方程。 解： 因 故在点 处切向量为第18页第18页所求切线方程为： 法平面方程为： 即 第19页第19页解： 将所给方程两边同时对 求导得 例6、求曲线 在点 处切线及法平面方程.分析：此

5、曲线由方程组形式给出, 也可视为参数方程, 视 为参数，则切向量为 , 利用直接求导法对方程组求导, 解方程组, 求出切向量, 即可得切线及法平面方程。 第20页第20页因此所求切线方程为法平面方程为 即 则曲线在点 处切向量为 解得 第21页第21页故切平面方程为即 法线方程为 例7、求旋转抛物面 在点 处切平面及 法线方程.分析：此曲面可当作 形式, 只需求出法向量 , 即可求出切平面及法线方程.解：设 , 则 第22页第22页解：沿梯度方向方向导数最大。梯度为 因此 方向导数最大值为 例8、问函数 在点 处沿什么方向方向 导数最大？并求此方向导数最大值。第23页第23页解： 解方程组 得驻点 又 因此 故 例9、求函数 极值. 因此 在点 处取得最小值, 且为第24页第24页求解 因此，函数极大值为