中国矿业大学徐海学院高等数学方法上市公开课获奖课件

1、高等数学办法主讲教师: 王升瑞 第一讲1第1页第1页唯有奋斗最风流!惜时如金2第2页第2页此刻打盹，你将做梦，学习时痛苦是暂时，未学到痛苦是终身；学习这件事，不是缺乏时间，学习不是人生所有，请享受无法回避痛苦；哈佛图书馆训诫但是人生一部分;只有比别人更早，更勤奋努力，此刻学习，你将圆梦；而是缺乏努力；学习也无法征服，还能做什么呢？才干尝到成功滋味；3第3页第3页谁也不能随随便便成功，狗同样地学习，绅士同样地玩；今天不走，明天要跑；教育程度代表收入；哈佛图书馆训诫没有艰苦，便无所获。它来自彻底自我管理和毅力；即使现在，对手也不断地翻动书页；4第4页第4页培根说：历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使

2、人精细。马克思：一门科学只有当它达到了能够成功地利用数学，才算真正发展了。伽利略认为：宇宙像一本用数学语言写成大书，假如不掌握数学语言，就像在黑暗迷宫里游荡，华罗庚：数学是最珍贵研究精神之一。科学家语录什么也看不清。勤能补拙是良训，一分辛劳一分才。5第5页第5页华罗庚 （1910 - 1985）“聪明在于勤奋, 天才在于积累”“学而优则用, 学而优则创”“由薄到厚 ,由厚到薄”注意问题：认真听课，扼要统计， 多做题目，总结规律。6第6页第6页一提到数学， 诸多人首先想到是复杂公式、大量计算、漫天数字数据、尚有百思不得其解数学题。对数学产生畏惧、反弹心理。. 这与中国高中教育偏重于对于知识灌输，

3、而非对于知识掌握密切相关。基于应试压力，数学教育尤其容易演变为固定类型题海战术，某种意义上死记硬背，而非激发学生创造性思维，这在主线上就是与数学教育相背道而驰。甚至成为这样使学生7第7页第7页其实数学背后思想， 精髓。 数学证实办法才是数学都是商定俗成、很少歧义概念。数学学习关注是逻辑推演能力。数学是一个表述简练、清楚、歧义较少逻辑体系。在数学中，不但各种数字、函数，就连加、减、乘、除，不小于、小于、等于，以及指数、导数、积分等符号本身，也用清楚、直观坐标或图形表示比较复杂逻辑关系。 而几何办法，更是能学习目的是得到某种拟定感和安全感，就是一个战场，身处战场绝对不是一安全事， 并且上学有利于得

4、到某种拟定感和安全感。不是为了考高分念书，而是为了不逃避痛苦与讨厌事。生活本质上活脱脱8第8页第8页科学办法是打开科学殿堂大门钥匙 , 是由必定王国通向自由王国桥梁。数学办法是数学灵魂高等数学办法（上）9第9页第9页参 考 书张晓宁、李安昌： 高等数学办法 中国矿业大学出版社，.10第10页第10页目 录第一讲 高等数学中分析问题和处理问题 办法第二讲 研究函数与极限基本办法第三讲 导数计算办法及微分中值定理应用第四讲 导数应用办法第五讲 积分学概念、性质和不定积分 计算法第六讲 定积分计算、证实和解应用问题 办法第七讲 试题类型及解题办法分析11第11页第11页序言一. 为何要学“高等数学办

5、法 (参考序言第一段)1. 科学办法主要性科学是什么 , 为何:技术做什么 , 怎么做:科学办法桥梁与钥匙。反应自然、社会、思维客观规律分科知识体系。进行物资资料生产所凭借办法和能力。12第12页第12页数学思维体操科学语言生活需要(思绪)(表示)(应用)数学办法对数学规律结识思维办法解题办法(是数学灵魂)2. 数学办法含义13第13页第13页二. “高等数学办法”结构与学习办法(参考序言第二、三段)第一部分 (第一至第七章)每节包括: 办法指导, 实例分析, 相关问题第二部分 (第八至第十一章)包括综述和提升(从古典数学向近代数学靠拢 )学习办法:1. 掌握数学内容和数学办法相结合；2. 注

6、重分析问题和处理问题办法；3. 学习要纵横结合 , 着眼于提升数学素养。14第14页第14页第一讲 高等数学中 分析问题 和 处理问题 办法15第15页第15页一. 数学模型及数学建模办法 ( P511 , 第一节 )数学模型客观实际问题内在规律性数学含有形式化、符号化、简练化特点.是一个高度抽象模型. 有狭义和广义两种解释 .数学建模办法 试验归纳法 理论分析法 ( P514 )物理模型数学模型求解和分析结构.许多物理中概念都要借助于高等数学中数学结构才干说清楚。16第16页第16页可无限迫近比如 , 为何用及语言定义极限 ? 用圆内接正多边形面积迫近圆面积A .圆内接正n边形面积为(正整数

7、) ,当时,有记作精度要求边数足够多找出利用极限知识可求出 :17第17页第17页 测量圆面积直接观测量为r间接观测量为A.半径真值为面积真值为测量圆半径得计算圆面积为任给精度要使寻找精度让记作18第18页第18页再如 , 椅子稳定问题 (P515P516)假设: 四条腿同样长 ; 地面为连续曲面 .建模:设 A , C 两脚与地面距离之和为B , D 两脚与地面距离之和为不妨设且对任意有证实存在使19第19页第19页证实: 设又由连续函数零点定理可知 , 存在使即又知因此思考: 对长方形板凳稳定问题如何考虑?不妨设且对任意有证实存在使（转后，对角线互换）。提醒：相邻两脚之和，并旋转1800。

8、20第20页第20页二 .几种惯用分析问题办法 (P444-455)1. 简化办法 2. 直观分析法3. 逆向分析法 4. 类比法1. 简化办法复杂问题 简朴问题分解法变换法换元法递推法转化法21第21页第21页惯用几种初等函数公式22第22页第22页23第23页第23页单调递减。 提醒: 令则转化为讨论下述函数在 t 0 时单调递减 .注意阐明 1. 与含有相同极值点 , 故可用后者代替前者讨论极值 2. 有些复合函数单调性问题 , 可利用构成它简朴例1. 证实问题与单调性问题 . 函数链单调性传递得出 . 如 P445例1.24第24页第24页 设, 求提醒：将函数化为则例2.25第25页

9、第25页2. 直观分析法 通过特例或图形，寻找规律、办法和结论. 与几何形体相关问题应尽也许画图寻求启示. 相关几何应用画出图形找几何关系 . 填空题和选择题可用增强条件办法找结论.26第26页第26页图形关于例1. 设定义在实数域上函数直线及对称 , 试证为周期函数 . ( P.447 例4 )直观分析:任取一个实数因此有是周期为函数 .它关于直线对称点为而关于直线对称点为显然可猜想27第27页第27页图形关于例1. 设定义在实数域上函数直线及对称 , 试证为周期函数 . ( P.447 例4 )证:有因此是周期为函数 .28第28页第28页拉格朗日中值定理(1) 在区间 a , b 上连续

10、满足:(2) 在区间 ( a , b ) 内可导至少存在一点使思绪: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件函数作辅助函数显然 ,在 a , b 上连续 ,在 ( a , b ) 内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立 .证毕29第29页第29页渐近线若则有水平渐近线若则有垂直渐近线若则有斜渐近线30第30页第30页例2.如何求函数斜渐近线分析:由图可知, 若曲线有斜渐近线则必有从而31第31页第31页比如 , 求曲线斜渐近线。解:因此曲线有斜渐近线32第32页第32页斜渐近线方程。解 所求 斜渐近线方程为 例3、求曲线考研33第33页第33页练习、曲线渐近线条数（）；

11、A、1； B、2； C、D、3. 则为垂直渐近线；，则为水平渐近线，解考研故没有斜渐近线。34第34页第34页例4. 求笛卡儿叶形线渐近线 . (P100 例13)解: 令 y = t x ,代入原方程得曲线参数方程 :因因此笛卡儿叶形线有斜渐近线即35第35页第35页在上连续, 在内存在 , 连接两点直线交曲线于且试证至少存在一点使提醒:如图所表示, 有在上应用Rolle定理。C对（ P118 题7 ）例5.已知36第36页第36页逆向思维反推 执果溯因反证 利用正命题与逆否命题等价，反例 找反例阐明原命题不正确3. 逆向分析法多用于否命题。37第37页第37页设函数 在 0,1 上二阶可导

12、 , 且证实至少存在一点 ,使 提醒: 设辅助函数在0,1上满足 Rolle 定理 ,可知有 , 再对 F(x) 在从结论入手, 注意到利用上用 Rolle 定理.例1.38第38页第38页在 上连续,在 内可导,且,试证存在 使得提醒:转化为证上满足 Lagrange 定理条件 ,使则只需证实可见只要对上用 Cauchy 中值定理.( P450,考研98 )由于在则有及在例2. 设函数39第39页第39页无实根.( P451 例7 )提醒:用反证法. 假设有实根代入上式两边异号, 矛盾, 假设不真!利用显然则有例3. 证实方程40第40页第40页 类比是找相同性, 是发觉问题和处理问题主要办

13、法。 4. 类比方法41第41页第41页计算极限提醒:类比下列极限例 1( P453 例9)42第42页第42页计算极限提醒:类比下列极限例 1( P453 例9)43第43页第43页利用Lagrange 微分中值定理易推出 :若在 a , b 上严格单调增长 , 则例2. 证实下列不等式 :44第44页第44页提醒: 将不等式改写为设易证若在 a , b 上严格单调增长 , 则45第45页第45页高等数学办法主讲教师: 王升瑞 第二讲46第46页第46页三.几种惯用证题办法1.分析综合法2. 设辅助函数法3. 反证法 证实题是考核基本理论、基本运算掌握情况和逻辑推理能力主要题型通过“执果溯因

14、”寻找证实路径,利用“由因导果”写出证实过程.1. 分析综合法47第47页第47页设 为正实数,试证提醒:为上上凹函数在 上，( P473 例12 )例1.满足48第48页第48页在 上可导, 且 , 证实至少存在一点 使提醒: 由于可考虑对函数在区间 a , b 上用 Cauchy 中值定理 .( P81 例10 )例2 设49第49页第49页利用辅助函数证实等式或不等式是一个主要证实办法.如:寻找辅助函数普通用逆向分析法. 通过设辅助函数, 利用微分或积分中值定理 证实等式或方程零点存在. 通过讨论辅助函数单调性或最值,证实 相关不等式.2. 设辅助函数办法50第50页第50页例1. 设在

15、 上连续且可导, 并有 n 个不同零点证实: 对任意常数 a ,在 上至少有 提醒: 设辅助函数在上用 Rolle 定理 . n -1 个不同零点.51第51页第51页设函数 和 在 上二阶可导, 且提醒:只要证且依据乘积导数法则想到设辅助函数(用反证法)再证实 上满足 Rolle 定理条件试证至少存在一点使( P475 例15,考研95 )例 2.即52第52页第52页设 , 求证提醒:办法1. 设证实它在单调增;办法2. 设证实它在单调减。例3.53第53页第53页3. 反证法反证法是一个逆向分析办法,是通过否认命题结论 ,引导出与题设条件或已知结论矛盾结果来证实明原命题正确性.反证法多适合用