高中数学《空间向量与立体几何》教案新课标人教A版选修2-

1、精品教学教案3.1.2 空间向量的数乘运算（一）教学要求： 明白共线或平行向量的概念,把握表示方法；懂得共线向量定理及其推论；把握空间直线的向量参数方程；会运用上述学问解决立体几何中有关的简洁问题教学重点： 空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式教学过程：一、复习引入 1. 回忆平面对量向量学问： 平行向量或共线向量？怎样判定向量 b 与非零向量 a 是否共 线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量 由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上,所以平行向量也叫做共线向量 ,使 b a . 称平面对量向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数共线定理,二、新课讲授

2、1. 定义：与平面对量一样,假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合,就这些向量叫做 共线向量 或平行向量 a 平行于 b 记作 a / b 2关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：共线向量定理： 空间任意两个向量a 、 b （ b 0）, a / b 的充要条件是存在实数 ,使 a b . 懂得：上述定理包含两个方面：性质定理：如 a b （ a 0）,就有 b a ,其中 是唯独确定的实数；判肯定理：如存在唯独实数,使 b a（ a 0）,就有 a b （如用此结论判定 a 、 b 所在直线平行,仍需 a （或 b ）上有一点不在 b （或 a）上） . 对于确定的 和

3、a , b a 表示空间与 a 平行或共线,长度为 | a | ,当 0 时 与 a 同向,当 0 时与 a反向的全部向量 . 3. 推论：假如 l 为经过已知点 A且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任意一点 O,点 P在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满意等式 OP OA t a 其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量 . 推论证明如下：l / a ,对于 l上任意一点P,存在唯独的实数t ,使得APt a * 精品教学教案又对于空间任意一点O,有 APOPOA ,tOB 中点公OPOAt a ,OPOAt a 如在 l 上取 ABa ,就有 OPOAt AB * 又ABOBO

4、AOPOAt OBOA1t OA当t1时,OP1 2OAOB ,式是线段的2懂得：表达式和都叫做空间直线的向量参数表示式式事实上,表达式 * 和* 既是表达式和的基础,也是直线参数方程的表达形式 表达式和三角形法就得出的,可以据此记忆这两个公式A C D B 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定O 空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面对量完全相同,是平面对量相关学问的推广4. 出示例 1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形 是平行四边形 . （分析：如何用向量方法来证明？）5. 出示例 2：如图 O是空间任意一点, C、D是线段 AB的三等分点,分别用 OA

5、 、 OB表 示 OC 、 OD . 三、巩固练习：作业：3.1.2 空间向量的数乘运算（二）精品教学教案教学要求： 明白向量与平面平行、共面对量的意义,把握向量与平面平行的表示方法；懂得共面对量定理及其推论；把握点在已知平面内的充要条件；会用上述学问解决立几 中有关的简洁问题教学重点： 点在已知平面内的充要条件教学难点： 对点在已知平面内的充要条件的懂得与运用教学过程：一、复习引入 1. 空间向量的有关学问共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间 直线的向量表示式、中点公式2. 必修平面对量,平面对量的一个重要定理平面对量基本定理：假如 e1、e2 是同一平面内两个不共线的向量,那

6、么对这一平面内的任意一个向量 a,有且只有一对 实数 1、 2,使 a 1e1 2e2. 其中不共线向量 e1、e2 叫做表示这一平面内全部向量 的一组 基底 二、新课讲授1. 定义：假如表示空间向量a 的有向线段所在直线与已知平面平行或在平面 内,就称向量 a 平行于平面 ,记作 a/ 向量与平面平行, 向量所在的直线可以在平面内,行时两者是没有公共点的而直线与平面平2. 定义： 平行于同一平面的向量叫做共面对量共面对量不肯定是在同一平面内的,但可以平移到同一平面内3. 争论：空间中任意三个向量肯定是共面对量吗？请举例说明结论：空间中的任意三个向量不肯定是共面对量例如：对于空间四边形ABCD

7、,AB 、AC 、 AD 这三个向量就不是共面对量4. 争论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面对量呢？5. 得出 共面对量定理 ：假如两个向量 a、b 不共线,就向量 p 与向 量 a、b 共面的充要条件是存在实数对 x,y,使得 p= xa+yb 证明：必要性：由已知,两个向量 a、b 不共线 向量 p 与向量 a、b 共面 由平面对量基本定理得：存在一对有序实数对x,y,使得 p= xa+yb充分性：如图,xa,yb 分别与 a、b 共线, xa,yb 都在 a、b 确定的平面内又xa+yb 是以 xa、 yb为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量,精品教学教案并且此平行四边形在

8、a、b 确定的平面内, p = xa+yb 在 a、b 确定的平面内,即向量 p 与向量 a、b 共面说明：当 p、a、b 都是非零向量时,共面对量定理实际上也是 p、a、b 所在的三条直线共面的充要条件,但用于判定时,仍需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内6. 共面对量定理的推论是： 空间一点 P 在平面 MAB内的充要条件是存在有序实数对 x,y,使得 MP xMA yMB , 或对于空间任意肯定点 O,有 OP OM xMA yMB 分析：推论中的 x、y 是唯独的一对有序实数；由 OP OM xMA yMB 得：OP OM x OA OM y OB OM , OP 1

9、 x y OM xOA yOB 公式都是P、M、A、B四点共面的充要条件7. 例题：课本 P88 例 1 ,解略小结：向量方法证明四点共面三、巩固练习向量的数量积（ 2）一、教学目标：向量的数量积运算利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角二、教学重点：向量的数量积运算利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角三、教学方法：练习法,纠错法,归纳法精品教学教案四、教学过程：考点一：向量的数量积运算（一）、学问要点：1）定义：设= ,就a b（的范畴为；）设ax y 1 1,bx 2,y 2就 a b注： a b 不能写成 ab ,或 ab a b的结果为一个数值；2）投影： b 在 a 方向上的投

10、影为；3）向量数量积运算律： a bb a a ba b ab ab ca cb c注：没有结合律 a b ca b c 二）例题讲练1、以下命题：如a b0,就 a , b 中至少一个为 0 如 a0且 a ba c ,就 bc, 就4 就； a b ca b c 3 a2 3 a2 9a24b2中正确有个数为（）A. 0 个B. 1 个C. 2个D. 3个2 、 已 知ABC 中 , A , B , C 所 对 的 边 为a,b,c , 且a=3,b=1,C=30 BC CA = ；3、如a,b,c满足abc0,且a3,b1 ,abbc= ；4、已知ab2,且 a与 b 的夹角为3,就 a

11、b 在 a上的投影为考点二：向量数量积性质应用一、学问要点：aba b0（用于判定垂直问题）a2 a （用于求模运算问题） cosa b a b（用于求角运算问题） 二 例题讲练1、已知a2,b3,且 a 与 b 的夹角为2,c3 a2 b , dmab ,求当 m 为何值时 cd精品教学教案2、已知 a 1,b 1, 3 a 2 b 3,就 3a b；3、已知 a 和 b 是非零向量,且 a = b = a b ,求 a 与 a b 的夹角4、已知 a 4,b 2,且 a 和 b 不共线,求使 a b 与 a b 的夹角是锐角时 的取值范畴巩固练习1、已知1e 和2e 是两个单位向量,夹角为

12、3,就（e 1e ） 3 e 12 e 2等于（）A.-8 B. 9 2C. 5 2D.8 2、已知1e 和2e 是两个单位向量,夹角为3,就下面对量中与2e 2e 垂直的是（）A. e 1e 2B. e 1e 2C. 1eD. 2e3、在ABC 中,设 ABa , BCb, CAc,如aab 0,就ABC （） A 直角三角形B 锐角三角形C 钝角三角形D 无法判定4、已知 a 和 b 是非零向量,且a3 b 与 7a5 b垂直,a4 b 与 7 a2 b 垂直,求 a 与 b 的夹角；5、已知 OA 、 OB 、 OC 是非零的单位向量,且 ABC 为正三角形；OA +OB +OC =0

13、,求证：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 教学要求： 把握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；把握空间向量的 坐标运算的规律；会依据向量的坐标,判定两个向量共线或垂直教学重点： 空间向量基本定理、向量的坐标运算教学难点： 懂得空间向量基本定理精品教学教案教学过程：一、新课引入 1. 回忆：平面对量的加减与数乘运算以及平面对量的坐标运算,2. 复习：平面对量基本定理 . 二、讲授新课1. 类比：由平面对量的基本定理,对平面内的任意向量a ,均可分解为不共线的两个向量 1 a 和 2 a ,使 a 1 a 1 2 a . 假如 a 1 a 时,这种分解就是平面对量的正交分解

14、. 假如取 a a 为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量 ,i j ,就存在一对实数 x、y,使得 a xi y j ,即得到平面对量的坐标表示 a , x y . 推广到空间向量,结论会如何呢？1 空间向量的正交分解：对空间的任意向量a ,均可分解为不共面的三个向量1a 、2a 、3a ,使a1a 12a23a . 假如a a2,a 两两垂直,这种分解就是空间向量的正交分解 . 2 空间向量基本定理： 假如三个向量a b c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在有序实数组 , , x y z ,使得 p xa yb zc. 把 , , a b c 叫做空间的一个基底（ base）,a

15、 b c 都叫做基向量 . 2. 单位正交基底：假如空间一个基底的三个基向量相互垂直,且长度都为 1,就这个基底叫做 单位正交基底 ,通常用 i , j , k表示单位三个基向量的长度都为1；正交三个基向量相互垂直选取空间一点 O和一个单位正交基底 i , j , k,以点 O为原点,分别以 i , j , k 的方向为正方向建立三条坐标轴：得到 空间直角坐标系 O- xyz,x 轴、y 轴、 z 轴,3. 空间向量的坐标表示： 给定一个空间直角坐标系和向量a,且设a j a ki 、j 、k 为坐标向量,就存在唯独的有序实数组a a2,a 3,使 a1a i 空间中相等的向量其坐标是相同的争

16、论：向量坐标与点的坐标的关系？向量在空间直角坐标系中的坐标的求法： 设 A x 1,y 1,z ,Bx2,y2,z 2,；就 AB OB OA x 2,y2,z 2x 1,y z x 2x 1,y 2y 1,z 2z b 34. 向量的直角坐标运算：设aa a2,a3,b b b2,b ,就b a3aba 1b a2b 2,a 3b ；aba 1b a 2精品教学教案 aa 1,a 2,a3R ；aba b 1 1a b 2 2a b 3 3b k 代入即可证明方法：与平面对量一样, 将 a1aia j a k 和 b1bib j 5. 两个向量共线或垂直的判定：设aa a2,a3,bb b2

17、,b ,就a/ ba ba 1b a 2b2,a3b , Ra 1a 2a b；b 1b 2aba b=0a b 1 1a b 2a b306. 练习：已知 a 2, 3,5 ,b 3,1, 4 ,求 ab,ab,8a,a b解：略7. 出示例：三、巩固练习 作业3.1.5 空间向量运算的坐标表示（夹角和距离公式）教学要求： 把握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式,并 会用这些公式解决有关问题教学重点： 夹角公式、距离公式教学难点： 夹角公式、距离公式的应用精品教学教案教学过程：一、复习引入1. 向量的直角坐标运算法就：设 a a a 2 , a 3 ,b b b b

18、3 ,就ab a 1 b a 2 b 2 , a 3 b ；ab a 1 b a 2 b a 3 b 3 ； a a 1 , a 2 , a 3 R ；aba b 1 1 a b 2 a b 3上述运算法就怎样证明呢？ （将 aa i a j a k 和 bb i b j 3b k 代入即可）2. 怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标）二、新课讲授 向量的模：设 aa a2,a 3,bb b b3,求这两个向量的模 . a2 a 1a22 b 12 b 2b这两个式子我们称为 向量的长度公式 a,b2这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度2. 夹

19、角公式推导：a b| a| b|cos a, bb cosa, ba 1b 1a2b2a2 b a 1a2a 2 b 1b222由此可以得出： cosa, b2 a 1a b 1 1a b22 b 1a b 32 b 3a2 2a2 3b2 2这个公式成为 两个向量的夹角公式 利用这个共识,我们可以求出两个向量的夹角,并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当 cosa、b 1 时, a 与 b 同向；当 cosa、b 1 时,a 与 b 反向；当 cosa、b 0 时, ab3. 两点间距离共识：利用向量的长度公式,我们仍可以得出空间两点间的距离公式 ：在空间直角坐标系中,已知点 A x

20、 1 , y z 1 ,B x 2 , y 2 , z 2 ,就d A、B x 2 x 1 2 y 1 y 2 2 z 1 z 2 2,其中 d 、 表示 A与 B两点间的距离3. 练习：已知 A3,3,1、B1 ,0,5 ,求：线段 AB的中点坐标和长度；到 A、B两点距离相等的点 P x y z 的坐标 x、y、z 满意的条件（答案： 2, 3 ,3 ；29 ； 4 x 6 y 8 z 7 0）2说明： 中点坐标公式 ：OM 1 OA OB x 1 x 2, y 1 y 2, z 1 z 2；2 2 2 2中点 p 的轨迹是线段 AB的垂直平分平面在空间中,关于 x、y、z 的三元一次方程

21、的图形是平面精品教学教案4. 出示例 5：如图,在正方体ABCDA B C D 中,B E 1D F 1A B 1,4求BE 与DF 所成的角的余弦值分析：如何建系？ 点的坐标？ 如何用向量运算求夹角？ 变式：课本 P96、例 6 5. 用向量方法证明： 假如两条直线同垂直于一个平面,就这两条直线平行三. 巩固练习 作业：课本 P97 练习 3 题. 3.2 立体几何中的向量方法（一）教学要求 ：向量运算在几何证明与运算中的应用把握利用向量运算解几何题的方法,并能解简洁的立体几何问题教学重点： 向量运算在几何证明与运算中的应用教学难点： 向量运算在几何证明与运算中的应用精品教学教案 教学过程：

22、一、复习引入 1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本摸索方法是：如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示；考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式；如何对已经表示出来的向量进行运算,才能获得需要的结论？2. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？利用定义 a b| a| b|cos a, b或 cosa, bab,可求两个向量的数量积ab或夹角问题；利用性质 ab ab可以解决线段或直线的垂直问题；利用性质aaa2,可以解决线段的长或两点间的距离问题二、例题讲解1. 出示例 1：已知空间四边形OABC中, OABC , OBAC 求证： O

23、CAB 证明：OC AB OCOBOAOC OB OC OA OABC , OBAC , OA BC0,OB AC0,OA OCOB0,OBOCOA0OA OCOA OB ,OB OCOB OA OC OB OC OA ,OC AB 0 OCAB练习：教材 P105 例 1 及 P106摸索题分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？2. 出示例 2：如图,已知线段 AB在平面 内,线段AC,线段 BDAB,线段 DD ,DBD 30,假如 ABa,ACBDb,求 C、D间的距离解：由AC,可知AC AB 由 DBD 30 可知,CA BD 120 ,| CD | 2 CA AB BD 2

24、| CA | 2| AB | 2| BD | 22 CA AB CA BD AB BD 2 2 2 2 2b a b 2 b cos120a b CD a 2b 练习：教材 P106 例 2 及其 107 摸索题分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？说明: 此方法也是用向量法求二面角的一种有效方法,应引起留意；精品教学教案3. 出示例 3：如图, M、N分别是棱长为 1 的正方体 ABCD A B C D 的棱 BB 、B C 的中点求异面直线 MN与 CD 所成的角解： MN 1 CC BC ,CD CC CD ,2MN CD 1 CC BC CC CD 1 | CC | 2CC C

25、D BC CC BC CD 2 2CC CD ,CC BC , BC CD ,CC CD 0,BC CC 0,BC CD 0,MN CD 1 | CC | 21 求得 cos MN CD 1,MN CD 60 . 2 2 24. 小结：（1）向量法解题“ 三步曲”：化为向量问题进行向量运算回到图形问题 . （2）利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算去运算或证明三、巩固练习 作业：课本 P107 练习 1 、2 题. 3.2 立体几何中的向量方法（二）教学要求 ：向量运算在几何证明与运算中的应用把握利用向量运算解几何题的方法,并能

26、解简洁的立体几何问题教学重点： 向量运算在几何证明与运算中的应用精品教学教案教学难点： 向量运算在几何证明与运算中的应用教学过程：一、复习引入 争论：将立体几何问题转化为向量问题的途径？（1）通过一组基向量争论的向量法,它利用向量的概念及其运算解决问题；（2）通过空间直角坐标系争论的坐标法,它通过坐标把向量转化为数及其运算来解 决问题 . 二、例题讲解1. 出示例 1： 如图,在正方体ABCDA B C D 中, E、F 分别是BB 、CD的中点,求证：D F平面 ADE证明：不妨设已知正方体的棱长为个单位长度,且设 DA i ,DCj ,DD k以 i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标

27、系Dxyz,就1 2,-1 0, AD -1,0,0,D F 0,1 2,-1 , AD D F -1,0,0 0,D FADD F AE又AE 0,1,1 , AE D F 0,1,1 0,1,-1 0,222又ADAEA ,D F平面 ADE说明：“ 不妨设” 是我们在解题中常用的小技巧,通常可用于设定某些与题目要求 无关的一些数据,以使问题的解决简洁化如在立体几何中求角的大小、判定直线与直 线或直线与平面的位置关系时,可以商定一些基本的长度空间直角坐标些建立,可 以选取任意一点和一个单位正交基底,但详细设置时仍应留意几何体中的点、线、面的 特点,把它们放在恰当的位置,才能便利运算和证明2

28、. 出示例 2：课本 P107 例 3 分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？3. 出示例 3：课本 P109 例 4 分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？4. 出示例 4：证：假如两条直线同垂直于一个平面,就这两条直线平行改写为：已知：直线 OA平面 ,直线 BD平面 ,O、B为垂足求证： OA/ BD证明：以点 O为原点,以射线 OA为非负 z 轴,建立空间直 角坐标系 O- xyz,i , j , k 为沿 x 轴, y 轴, z 轴的坐标向量,精品教学教案且设 BD , , x y z j , , x y z 0,1,0y0, BD , BD i , BD j , B

29、D i , , x y z 1,0,0 x0, BD BD 0,0, z BD zk即 BD / k由已知 O、B为两个不同的点, OA/ BD5. 法向量定义：假如表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面 ,就称这个 向量垂直于平面 ,记作 a 假如 a ,那么向量 a 叫做 平面 的法向量 6. 小结：向量法解题“ 三步曲”：（1）化为向量问题（ 2）进行向量运算（ 3）回到图形问题. 三、巩固练习 作业：课本 P111、 习题 A 组 1 、2 题. 3.2 立体几何中的向量方法（三）教学要求 ：向量运算在几何证明与运算中的应用把握利用向量运算解几何题的方法,并能解简洁的立体几何问题教学

30、重点： 向量运算在几何证明与运算中的应用精品教学教案教学难点： 向量运算在几何证明与运算中的应用教学过程：一、复习引入1. 法向量定义： 假如直线 l 平面 , 取直线 l 的方向向量为 a ,就向量 a 叫作平面 的法向量（ normal vectors）. 利用法向量,可以奇妙的解决空间角度和距离 . 2. 争论：如何利用法向量求线面角？ 面面角？直线 AB与平面 所成的角,可看成是向量 AB所在直线与平面 的法向量 n 所在直线夹角的余角, 从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角,依据两个向量所成角的余弦公式cosa ba b,我们可以得到如下向量法的 公式 ：a

31、 bsincosAB nAB n. ABn3. 争论：如何利用向量求空间距离？两异面直线的距离,转化为与两异面直线都相交的线段在公垂向量上的投影长. . 点到平面的距离,转化为过这点的平面的斜线在平面的法向量上的投影长二、例题讲解：1. 出示例 1：长方体 ABCD A B C D 中,AD= AA =2,AB=4,E、F 分别是 A D 、AB的中点, O 是 BC 1 与 B C 的交点 . 求直线OF与平面DEF所成角的正弦 . 解：以点 D为空间直角坐标系的原点,DA、DC、DD 为坐n 2,2,1. 标轴,建立如下列图的空间直角坐标系. 就D2,2,0,E1,0,2,F2,2,0,O

32、1,4,1,C0,4,0. 设平面 DEF的法向量为n , , x y z ,就nDE,而DE1,0,2,DF2,2,0. nDFn DE0,即x2zy00, 解得x y z2: 2:1, n DF02x2nOF|n OF| cos,而OF1, 2, 1. cos|nOF| 22 122 21 17 6n|OF2212 1 222 118精品教学教案所以,直线 OF与平面 DEF所成角的正弦为 7 6 18. 2. 变式： 用向量法求：二面角 A 1 DE O余弦； OF与 DE的距离； O点到平面 DEF的距离. 三、巩固练习 作业：课本 P112、 习题 A 组 5 、6 题. 法向量在立

33、体几何中的应用 向量在数学和物理学中的应用很广泛,在解析几何与立体几何里的应用更为直接,用向 量的方法特殊便于争论空间里涉及直线和平面的各种问题；将向量引入中学数学后,既 丰富了中学数学内容,拓宽了中同学的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的 思想方法向量法； 下面就向量中的一种特殊向量法向量,结合近几年的高考题,谈谈其在立体几何有关问题中的应用；精品教学教案一、平面的法向量的定义假如表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面,就称这个向量 a 垂直于平面,记作 a ,假如 a ,那么向量 a 叫做平面的法向量二、平面的法向量的求法1、在几何体中找平面的垂线对应的有向线段作为平面的法向量

34、；2、在空间直角坐标系中利用向量的坐标运算来求法向量；问题 : 已知不共线的三点坐标 , 如何求经过这三点的平面的一个法向量 . 在空间直角坐标系中 , 已知 A 3,0,0, B 0,4,0 , C 0,0,2 , 试求平面 ABC的一个法向量 . 解 : 设平面 ABC 的一个法向量为 n , x y z , 就 n AB,n AC . AB 3,4,0 , AC 3,0,2 , x y z , 3,4,0 0 即 3 x 4 y 0 , x y z , 3,0,2 0 3 x 2 z 0取 x 4 , 就 n 4,3,6n 4,3,6 是平面 ABC 的一个法向量 . 问题 :如何求平面

35、的法向量 . 设平面的法向量为 n x y z , 找出 求出 平面内的两个不共线的向量的z P 坐标 a a b c 1 , b a b c 2 依据法向量的定义建立关于 x y z 的方程组n a0n b0解方程组 , 取其中的一个解 , 即得法向量 .练习：在三棱锥 PABC中, PA平面 ABC,BAC=90 ,AB=2,AC=PA=1,xB 2A C y 求平面 PBC的一个法向量；写出平面 ABC的一个法向量；图P 三、利用平面的法向量求空间角nA H 1、求直线和平面所成的角；如图（图 2）所示,设 PA与平面的法向量 n所在直线所成的角为 ,就 PA与所成的角为图 2 ,精品教

36、学教案（其中cos|cosPA ,n|）a b ,平面,的法向量分别为所以：设直线,l m 的方向向量分别为u v ,就2, sina u a u；直线 l 与平面所成的角为 0例 2如图（图 3）所示,在四棱锥PABCD中,底面 ABCD是正方形,PA底面 ABCD,AEPD,EF/CD,PA=3AB,P z求直线 AC与平面 AEFB所成角的正弦值；E 2.直线与直线所成的角：2, cosa bA F D y B C x图 3 两直线 l , m 所成的角为0；,向量a b3.求二面角的大小；设 n 1,n 2 分别为平面 ,的大小为的法向量,二面角l（图 4）或（图 5）图 5 n 1, n 2的夹角为n,就有nn图 4 lln二面角 l 的大小为 0, cosu v u v.z 例 3如图（图 6）所示,在棱长为1 的正方体D1 CABABCDA1B1C1D1 中,AC与 BD 交于点 E,C1B 与F CB1 交于点 F；（1）求证： A1C平面 DBC1 （2）求二面角 BEFC的大小；B x