高中数学导数知识点归纳总结32

1、14. 导 数 学问要点导数的概念 导数的几何意义、 物理意义导导数的运算常见函数的导数数导数的运算法就函数的单调性导数的应用 函数的极值函数的最值1. 导数（导函数的简称） 的定义： 设x 是函数yfx定义域的一点, 假如自变量x 在x 处x0fx 0.有 增 量x , 就 函 数 值y 也 引 起 相 应 的 增 量yfx0 xfx0； 比 值yfx0 xfx0称为函数yfx在点x 到x0 x之间的平均变化率；假如极限xxlim x0ylim x0fx 0 x fx 0存在, 就称函数yfx在点x 处可导, 并把这个极限叫做xxyfx在x 处的导数, 记作 0f x 0或y|xx 0,即f

2、 x 0=lim x0ylim x 0fx0 x fx0. xx注：x 是增量,我们也称为“转变量 ”,由于x 可正,可负,但不为零. 以知函数yfx定义域为 A ,yf x的定义域为B ,就 A 与 B 关系为AB. 2. 函数yfx在点x 处连续与点 0 x 处可导的关系：0函数yfx 在点x 处连续是yfx在点x 处可导的必要不充分条件. 可以证明,假如yfx在点x 处可导,那么 0yfx点x 处连续 . 0事实上,令xx0 x,就xx0相当于x0. 于是lim x x 0fxlim x0fx 0 xlim x 0fxx0fx0fx 0lim x 0fx0 xfx 0 xfx0lim x

3、 0fx0 x fx0lim x0lim x0fx0fx00fxx假如yfx 点x 处连续,那么yf x 在点x 处可导,是不成立的. 例：fx|x|在点x00处连续,但在点x00处不行导,由于y|x|,当x 0 时,xxy1；当x 0 时,y1,故lim x0y不存在 . xxx注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数. 可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：fx处的切线的斜率,函数yfx 在点x 处的导数的几何意义就是曲线 0yfx 在点x 0,也 就 是 说 , 曲 线yfx 在 点 Px 0,fx 处 的 切 线 的 斜 率 是f x0, 切 线 方 程 为yy0fxx

4、x0.4. 求导数的四就运算法就： u v u v y f 1 x f 2 x . f n x y f 1 x f 2 x . f n x uv vu v u cv c v cv cv（ c 为常数） u vu v uv v 2 v 0 注： u, v 必需是可导函数 . 如两个函数可导,就它们和、 差、积、商必可导； 如两个函数均不行导,就它们的和、 差、积、商不愿定不行导 . 例如：设 f x 2 sin x 2,g x cos x 2,就 f x , g x 在 x 0 处均不行导,但它们和x xf x g x sin x cos x 在 x 0 处均可导 . 5. 复合函数的求导法就：

5、f x x f u x 或 y x y u u x复合函数的求导法就可推广到多个中间变量的情形 . 6. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数yfx在某个区间内可导, 假如f x0,就yfx为增函数；假如f x0,就yfx为减函数 . 常数的判定方法；假如函数y0fx在区间 I 内恒有f x =0,就yfx 为常数 . y2x3在,上并不是注：fx0是 f（x）递增的充分条件,但不是必要条件,如都有fx ,有一个点例外即x=0 时 f（x） = 0,同样fx0是 f（x）递减的充分非必要条件 . 一般地, 假如 f（x）在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正（或负）,那么 f（ x）在

6、该区间上仍旧是单调增加（或单调削减）的 . 7. 极值的判别方法： （极值是在 x 邻近全部的点, 都有 f x f x 0 ,就 f x 0 是函数 f x 的极大值,微小值同理）当函数fx在点x 处连续时,f x 0,那么fx0是极大值；假如在x 邻近的左侧f x 0,右侧假如在x 邻近的左侧f x 0,右侧f x 0,那么fx0是微小值 . 也就是说x 是极值点的充分条件是x 点两侧导数异号,而不是f x =0. 此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点 .当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比微小值小（函数在某一点邻近的点不同）. 注：如点 x 是可导函

7、数 0 f x 的极值点,就 f x =0. 但反过来不愿定成立 . 对于可导函数,其一点 x 是极值点的必要条件是如函数在该点可导,就导数值为零 . 例如：函数 y f x x 3,x 0 使 f x =0,但 x 0 不是极值点 . 例如：函数 y f x | x |,在点 x 0 处不行导,但点 x 0 是函数的微小值点 . 8. 极值与最值的区分：极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较 . 注：函数的极值点确定有意义 . 9. 几种常见的函数导数：I.C0（ C 为常数）R）sinx cosxxarcsinxx 1x2x21cosx sinarccosxnnx

8、n1（n11II. lnx 1logax1logaearctanxx 111x2xx axaarccotexexxlna1x2III. 求导的常见方法：常用结论：ln|x|a21 x. xan或yxa1xa 2.xa n两边同取自然对数,可转化形如yxa 1x.xb 1xb 2.xb n求代数和形式 . 无理函数或形如xyxx这类函数,如yxx取自然对数之后可变形为lnyxlnx,对两边求导可得ylnx1yylnxyyxxlnxxx. yx导数学问点总结复习经典例题剖析考点一：求导公式；例 1. f x是f x 1x32 x1的导函数,就f 1的值是；3考点二：导数的几何意义；例2. 已 知

9、函 数yx2f x 的 图 象 在 点M1,f1处 的 切 线 方 程 是y1x2, 就2f1f124x；例 3.曲线yx32在点 1,3处的切线方程是；点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查；考点三：导数的几何意义的应用；例 4.已知曲线C：yx33 x22x,直线l :ykx,且直线l 与曲线C 相切于点x0, y00 x0,求直线 l 的方程及切点坐标；“切点既在曲线上又在切点评：本小题考查导数几何意义的应用；解决此类问题时应留意线上 ”这个条件的应用；函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件；考点四：函数的单调性；例 5.已知 f x ax 3 3 x 2

10、x 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范点评： 此题考查导数在函数单调性中的应用；对于高次函数单调性问题,要有求导意识；考点五：函数的极值；例 6. 设函数f x 2x33 ax23 bx8 c 在x1及x2时取得极值；（1）求 a、b 的值；（2）如对于任意的x0 3, ,都有f x 2 c 成立,求 c 的取值范畴；f x在各点评：此题考查利用导数求函数的极值；求可导函数fx的极值步骤：求导数f x；求f x0的根； 将f x0的根在数轴上标出,得出单调区间,由区间上取值的正负可确定并求出函数fx的极值；考点六：函数的最值；例 7. 已知 a 为实数,f x x 24 x a；求导数 f x；（2）如 f 1 0,求 f x在区间 2 , 2 上的最大值和最小值；点评： 此题考查可导函数最值的求法；求可导函数 f x 在区间 a, b 上的最值, 要先求出函数 f x 在区间 a, b 上的极值,然后与 f a 和 f b 进行比较,从而得出函数的最大最小值；考点七：导数的综合性问题；例 8. 设函数f