高中数学圆的方程典型题型归纳总结

1、高中数学圆的方程典型题型归纳总结如果充分挖掘此题的几何关系,不难得出在以为直径的圆上； 而刚类型一：巧用圆系求圆的过程好为直线与圆的交点,选取过直线与圆交点的圆系方程,可极大地简化运算过程；在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的解：过直线与圆的交点的圆系方程为：方程称为圆系方程；常用的圆系方程有如下几种：,即以 为圆心的同心圆系方程 . 过直线与圆和圆的交点的圆系方程的交依题意,在以为直径的圆上,就圆心（）明显在直线过两圆上,就,解之可得点的圆系方程,直接应用该圆系方程, 必需检验圆是否满意题意,又满意方程,就和故的交点且面积最小的圆的方此圆系方程中不包含圆

2、例 2：求过两圆谨防漏解；程；当时,得到两圆公共弦所在直线方程解：圆和的公共弦方程为,即例 1：已知圆,求实数的值；与直线相交于两点,为过直线与圆的交点的圆系方程为坐标原点,如,即分析：此题最易想到设出,由 得到,利用设而不求的思想,联立方程,由根与系数关系得出关于 的方程,最终验证得解；1 依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,就两圆的公共弦必为所求圆类型二：直线与圆的位置关系的直径,圆心必在公共弦所在直线上；即,就例 5、如直线yxm与曲线y42 x有且只有一个公共点,求实数m 的取值范畴 . 代回圆系方程得所求圆方程 例 3:求证： m 为任意实数时,直线 m1x2m1ym5 恒过

3、肯定点 P,并 求 P 点坐标；分析：不论 m 为何实数时,直线恒过定点,因此,这个定点就肯定是直线系中任意 两直线的交点；解：由原方程得 mx2y1xy50,解：曲线y4x2表示半圆x2y24 y0 ,利用数形结合法,可得实数m的取值范围是2m2或m22. 变式练习： 1.如直线 y=x+k 与曲线 x=1y2恰有一个公共点,就k 的取值范畴是 _. 解析：利用数形结合. 答案： 1 k1 或 k=2例 6 圆x3 2y3 29上到直线3 x4y110的距离为 1 的点有几个？即x2y10解得x94,xy50y分析： 借助图形直观求解或先求出直线1l 、2l的方程,从代数运算中查找解答直线过

4、定点 P（9, 4）注：方程可看作经过两直线交点的直线系；例 4 已知圆 C：（x1）2（ y2）225,直线 l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）. 解法一： 圆x32y3 29的圆心为O 13,3,半径r3设圆心O 到直线3x4y110的距离为 d ,就d333431123242（1）证明：不论 m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点；如图,在圆心O 同侧,与直线3x4y110平行且距离为1 的直线1l 与圆有两个交点,这（2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时l 的方程 . 剖析：直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得. 两个交点符合题意（1）证明： l 的方程（ x+y4

5、）+m（2x+y7）=0. mR,2x+y7=0,得x=3,x+y4=0,y=1,即 l 恒过定点 A（3,1）. 圆心 C（ 1,2）, AC5 5（半径）,又rd321设点 A 在圆 C 内,从而直线l 恒与圆 C 相交于两点 . （2）解：弦长最小时,lAC,由 kAC1 ,2与直线3x4y110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意l 的方程为 2xy 5=0. 评述：如定点A 在圆外,要使直线与圆相交就需要什么条件呢？符合题意的点共有3 个摸索争论解法二： 符合题意的点是平行于直线3x4y110,且与之距离为1 的直线和圆的交点2 所求直线为3 x4ym0,就dm111,的最

6、大、最小值分析： 1、2两小题都涉及到圆上点的坐标,可考虑用圆的参数方程或数形结合解决2 32 4解： 1法 1由圆的标准方程x3 2y421m115,即m6,或m16,也即l ：x4y60,或l ：x4y160可设圆的参数方程为x3cos,（是参数）y4sin,设圆O ：x32y329的圆心到直线1l 、2l 的距离为d 、d ,就d 1334363,d23343161就dx2y296coscos2168sinsin2266cos8sin2610cos（其中tan4）2 32 42 32 431l 与O 相切,与圆O 有一个公共点；2l与圆O 相交,与圆O 有两个公共点 即符合题意的所以dm

7、ax261036,dmin261016点共 3 个说明： 对于此题,如不留心,就易发生以下误会：法 2圆上点到原点距离的最大值d 等于圆心到原点的距离d1加上半径 1,圆上点到原点距离设圆心O 到直线3 x4y110的距离为 d ,就d333431123的最小值d 等于圆心到原点的距离d 1减去半径 1242所以d 12 34216圆O 到3x4y110距离为 1 的点有两个明显, 上述误会中的 d 是圆心到直线3x4y110的距离,dr,只能说明此直线与圆有d2324214两个交点,而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1所以dmax36dmin16类型三：圆中的最值问题2 法 1由x22y2

8、1得圆的参数方程：x2cos,是参数ysin,例 7：圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是就y2sin2令sin2t,解： 圆x22y2 218的圆心为（ 2 , 2 ）,半 径r32,圆心到直线的距离x1cos3cos3d1052r, 直 线 与 圆 相 离, 圆 上 的 点 到 直 线 的最 大距 离 与 最 小 距 离 的差 是得sintcos23 t,1t2sin23 t223 tsin1343t343drdr2 r62. 12t例 81已知圆O ：x3 2y421,Px,y为圆 O上的动点,求dx2y2的最大、最所以tmax343,tmin343小

9、值即y2的最大值为343,最小值为3432已知圆O ：x2 2y21,Px,y为圆上任一点求y2的最大、最小值,求x2yx1x13 此时x2y2cos22sin25cos5即m 1cossin恒成立所以x2y的最大值为5,最小值为2只须 m 不小于1cossin的最大值2k,就,y是圆上点,当直线与圆有交点时,如设usincos12sin41ykxyk20由于Px法 2设x1图所示,u max21即m21说明： 在这种解法中,运用了圆上的点的参数设法一般地,把圆xa2yb2r2上的点设为arcos,brsin0,2采纳这种设法一方面可削减参数的个数,另一方面可以敏捷地运用三角公式从代数观点来看,这种做法的实质就是三角代换两条切线的斜率分别是最大、最小值由d2 kk221,得k343m0恒成立,求实数m 的1k所以y2的最大值为343,最小值为343x1