高中数学必修基本初等函数常考题型对数函数及其性质的应用复习课

1、对 数 函 数 及 其 性 质 的 应 用 复 习 课 【常考题型】 题型一,对数值的大小 【例 1】 1 以下大小关系正确选项 A 3 log 4 B log 4 3C log 4 33D log 4 3 32 比较以下各组值的大小 log 5 与 log 5 344； 3 log 1 2 与 log 1 2 ； 3 5 log 2 3 与 log 5 4 . 1 解析 0 31 , 3 1 , 4 0 ,应选 C. 答案 C2 解 法一：对数函数 y log 5 x 在 0, 上是增函数, 而 34 4 , log 3 5 34 log 5 4 . 3法二： log 5 30 , log

2、5 4 0 , 4 3 log 5 3log 5 4 . 4 3由于 log 1 2 3 log 12 1, log 1 5 2log 11 . 3 5又因对数函数 y log 2 x 在 0, 上是增函数,且 1 1, 3 5第 1 页,共 8 页 0 log 2 1 3log 2 1, 1111. 5log 2log 2 log 1 2 log 1 2 . 3535取中间值 1, log 2 3 log 2 2 1log 5 5 log 5 4 , log 2 3 log5 4 . 【类题通法】 比较对数值大小的方法 比较对数式的大小,主要依据对数函数的单调性 1 如底数为同一常数,就可由

3、对数函数的单调性直接进行比较 2 如底数为同一字母,就依据底数对对数函数单调性的影响,对 底数进行分类争辩 3 如底数不同,真数相同,就可以先用换底公式化为同底后,再 进行比较,也可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象,再进行比 较 4 如底数与真数都不同,就常借助 【对点训练】 比较以下各组中两个值的大小： 1 ln , ln 2 ； 1, 0 等中间量进行比较 2 log a , log a a 0,且 a 1 ； 3 log 3 , log 4 ； 4 log 3 , log 3 . 解： 1 由于函数 y ln x 是增函数,且 2 , 所以 ln ln 2 . 第 2 页,共 8

4、页log a 2 当 a 1 时,函数 y log a x 在 0, 上是增函数,又 ,所以 log a ； 当 0 a 1 时,函y log a x 在 0, 上是减函数, 数 又 ,所以 log a log a . 3 由于 0log 3 log 0.2 4 ,所以 11,即 log 3 log 4 . log 3 log 4 4 由于函数 y log 3 x 是增函数,且 3,所以 log 3 log3 3 1 . 同理, 1log log 3 ,所以 log 3 log 3 . 题型二,求解对数不等式 【例 2】 1 已知 a51 ,如 log amlog a5 ,就 m 的取值范畴是

5、 2 2 已知 log a11 ,就 a 的取值范畴为 23 已知 log 2x log x 1 ,就 x 的取值范畴为 解析 1 0 a1, f x loga x 在 0, 上是减函数, 0 m5 . 2 由 log a11 得 log a1log a . 22当 a 1 时,有 a 1 ,此时无解 2当 0 a1 时,1a , 2有 从而 12a1. 第 3 页,共 8 页 a 的取值范畴是 1,1 . 23 函数 y log x 在 0, 上为减函数, 2 x 0由 log 0.7 2 x log x 1 得 x 10,解得 x 1 , 2 x x 1即 x 的取值范畴是 1, 1 答案

6、 1 0m5 2 ,1 3 1, 2【类题通法】 常见对数不等式的解法 常见的对数不等式有三种类型： 1 形如 log a x log a b 的不等式, 借助 y log a x 的单调性求解, 假如 a 的取值不确定,需分 a 1 与 0 a 1 两种情形争论 2 形如 log a x b 的不等式, 应将 b 化为以 a 为底数的对数式的形式, 再借助 y log a x 的单调性求解 3 形如 log a x log b x 的不等式,可利用图象求解 【对点训练】 如 a 0 且 a 1,且 loga 2a 1 log a 3a 0 ,求 a 的取值范畴 解：不等式可化为 loga 2

7、a 1 log a 3a log a 1 , a10 a 1等价于 2a 1 0 或 2a 1 3a , 2a 1 3a3a 10 3a 1 解得 1 a 1 ,即 a 的取值范畴为 1,1 . 3 3第 4 页,共 8 页题型三,对数函数性质的综合应用 【例 3】 1 以下函数在其定义域内为偶函数的是 D. 上为 A y 2x B y 2x C y log 2 x D y 2 x 2 已知 f x log aax a a 1 求 f x 的定义域和值域； 判定并证明 f x 的单调性 1 解析 指数,对数函数在其定义域内不具备奇偶性,应选 答案 D2 解 由 a 1 , a ax 0 ,即

8、aa,得 x 1. 故 f x 的定义域为 ,1 由 0 aax a ,可知 log aax log aa 1 . 故函数 f x 的值域为 ,1 f x 在 ,1 上为减函数,证明如下： 任取 1 x1 x2 ,又 a 1 , ax1 ax2 , aax1 aax2 , log a ax log aax ,即 f x f x ,故 f x 在 ,1 a 1 a 2 减函数 【类题通法】 解决对数函数综合问题的方法 对数函数常与函数的奇偶性, 单调性,最值以及不等式等问题综合, 求解中通常会涉及对数运算解决此类综合问题,第一要将所给的条件 进行转化,然后结合涉及的学问点,明确各学问点的应用思路

9、,化简方 向,与所求目标建立联系,从而找到解决问题的思路 第 5 页,共 8 页【对点训练】 已知函数 f x loga 3 ax , 1 当 x 0,2 时,函数 f x 恒有意义,求实数 a 的取值范畴； 2 是否存在实数 a ,使得函数 f x 在区间 1,2 上为减函数, 并且最 大值为 1？假如存在,试求出 a 的值；假如不存在,请说明理由 解： 1 由题设, 3 ax 0 对 x 0,2 恒成立,且 a 0 , a 1 . 设 g x 3 ax, 就 g x 在 0,2 上为减函数, g x min g 2 3 2a 0 , a 3 . 2 a 的取值范畴是 0,1 U 1, 3.

10、 22 假设存在这样的实数 a ,就由题设知 f 1 1 , 即 loga 3 a 1 , a 3 . 2此时 f x log 3 3 3 x . 2 2但 x 2 时, f x log 3 0 无意义故这样的实数 a 不存在 2【练习反馈】 1设 alog 5 4 , b log 5 3 , c log 4 5 ,就 c ,故 b a c . A a c bB b c aC a b c D b a c 解析：选 D由于 b log 5 3 alog5 4 1log4 5 第 6 页,共 8 页2函数 f x lg 2 x 11x 的奇偶性是 A奇函数 B偶函数 C既奇又偶函数 D非奇非偶函数

11、 解析：选 A f x 定义域为 R , lg 2 x 12 x lg1 0 , 1 f x 为奇函数,应选 A. 3不等式 log 1 2x 1log 1 3 x 的解集为上的最大值与最小值之差 222 x 10 x 12解析：由题意 3x 0, x 32 x 13x x 231x 2 3. 2答案： x 1x 2234设 a 1 ,函数 f x loga x 在区a,2 a 为 1 ,就 a 2. 间 解析： a1, f x loga x 在 a,2 a 上递增, loga 2a log a a 1, 2即 log 21 , 21 a 22 , a 4 . 第 7 页,共 8 页答案： 4 设 h 5已知函数 f x loga 1 x , g x loga 1 x ,其中 a 0 且 a 1 , x f x g x 1 求函数 h x 的定义域,判定 h x 的奇偶性,并说明理由； 2 如 f 3 2 ,求使 h x 0 成立x 的集合 的 解： 1 f x loga 1x 的定义域为 x x 1, g x loga 1 x 的定义域为 x x 1, h x f x g x 的定义域为 x x 1 I x x 1x 1 x 1 h x f x g x loga 1x loga 1 x , h x loga 1 x loga