高中数学教案4

1、不等式 复习 教案一、 学问点1不等式性质实数的运算性质与大小次序之间的关系a b a b 0a b a b b b a传递性 : a b, b c a c可加性 : a b a + c b + c 可积性 : a b, c 0 ac bc ；a b, c 0 ac b, c d a + c b + d 乘法法就： a b 0, c d 0 ac bd乘方法就： a b 0, a n b n n N开方法就： a b 0, n a n b n N 2算术平均数与几何平均数定理：（1）假如 a、bR,那么 a 2 + b2 2ab（当且仅当 a=b 时等号）（2）假如 a、bR, 那么a2bab

2、（当且仅当 a=b时等号）推广：假如a b 为实数,就aba2b2a22b2重要结论1）假如积 xy 是定值 P,那么当 xy 时,和 xy 有最小值 2 P ；（2）假如和 x y 是定值 S,那么当 xy 时,和 xy 有最大值 S 2/4 ；. 条件为“一正二定三相等”. 一正 ：各项都是正数. 二定 ：求和积定,求积和定. 三相等：等号能成立a. 当等号不成立时,利用以下函数求最值；函数 fx x aa 0 在 0,x上递增,在a,上递减；3证明不等式的常用方法：比较法： 比较法是最基本、最重要的方法； 当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式,就挑选作差比较法；当不等式的两边

3、都是正数且它们的商能与 1 比较大小, 就挑选作商比较法；遇到肯定值或根式,我们仍可以考虑作平方差；综合法： 从已知或已证明过的不等式动身,依据不等式的性质推导出欲证的不等式；综合法的放缩常常用到均值不等式；分析法 ：不等式两边的联系不够清晰,通过查找不等式成立的充分条件,逐步将欲证的不等式转化,直到查找到易证或已知成立的结论；结论：已知a、b、m都是正数,且ab,就：amabmb4不等式的解法（1）不等式的有关概念同解不等式： 两个不等式假如解集相同,等式；那么这两个不等式叫做同解不同解变形： 一个不等式变形为另一个不等式时,假如这两个不等式是同 解不等式,那么这种变形叫做同解变形；提问：请

4、说出我们以前解不等式中常用到的同解变形 去分母、去括号、移项、合并同类项（2）不等式 ax b的解法x|xb/a；当 a0 时不等式的解集是当 a0 时不等式的解集是x|xb/a；当 a=0 时 ,b a fx a或 fx a； | fx | a afx aa0 f2x a2；| fx | 0 f2x |b| 且 abb,就 |a|b| B、如 ab,就 1/ab,就 a 3b D、如 ab,就 a/b1 32、已知 a0. 1babab 2 B、ab 2abaC、abaab 2 D、abab 2a3、当 0ab1 ab B、 1+aa1+bbbC、1 ab 1 ab/2 D、1 aa1b4、

5、如 loga3logb30,就 a、 b 的关系是（ B ）A、0aba1 2+1 ； 2 a2 b中成立C、0ba1 D、1bb0,就以下不等式1/ab 2； lga2+1lgb的是（A ）C、D、A、B、（二）比较大小1、如 0 lg2xlglgx ,Qa22b24、设 a0,a 1, 比较 logat/2与 logat+1/2的大小；5、比较b与a的大小；ab6、如a1,比较Ma1a 与Naa1 的大小；7、设a、b是不相等的正数,Aa2b,Gab,H1/a21/b试比较A、G、H、Q的大小；分析：要比较大小的式子较多,为防止盲目性,可先取特别值估测各式大小关系,然后 用比较法（作差）即

6、可；（三）利用不等式性质判定 P是 Q的充分条件和必要条件1、设 x、yR,判定以下各题中,命题甲与命题乙的充分必要关系命题甲： x0 且 y0,命题乙： x+y0 且 xy0 充要条件命题甲： x2 且 y2,命题乙： x+y4 且 xy4 充分不必要条件2、已知四个命题,其中 a、bRa 2b 2 的充要条件是 |a|b|；a 2b 2 的充要条件是 |a| 2|b| 2；a 2b 2 的充要条件是 a+b与a b 异号；a 22c” 的一个充分条件是（ C ）A、ac 或 bc B、ac 或 bc C、 ac 且 bc D、ac 且 bc（四）范畴问题1、设 60 a84, 28b33,

7、 求： a+b,a b,a/b 的范畴；2、如二次函数 y=fx 的图象过原点,且 1f 1 2,3 f1 3,求 f 2 的范畴；（五）均值不等式变形问题1、当 a、bR时, 以下不等式不正确选项（ D ）. |b|2y/2A、a2+b 22|a| . |b| B、a/2+b/22ab C、a/2+b/22a2/2+b2/2 D、log1/2a2+b 2 log 1/22|a|2、x、y0,+ ,就以下不等式中等号不成立的是（ A ）A、x1x112B、x1y14xxyxC、x+y1/x+1/y4 D、 lgx/2+lgy/22 lg2x/2+lg3、已知 a0,b0,a+b=1 ,就 1/

8、a211/b21 的最小值为（ D ）A、6 B、7 C、8 D、94、已知 a0,b0,c0 ,a+b+c=1,求证： 1/a+1/b+1/c91 的代换5、已知 a0,b0,c0,d0,求证：adbdbcbcad4ac（六）求函数最值1、如 x4, 函数yx41x,当x_时,函数有最值是_；5、大、 62、设 x、yR, x+y=5 ,就 3x+3 y的最小值是（） DD、183A、10 B、63C、463、以下各式中最小值等于2 的是（）D D、2x+2xA、x/y+y/x B、x25 C、tan +cot x244、已知实数a、b、c、d 满意 a+b=7,c+d=5, 求a+c2+b

9、+d2的最小值；5、已知 x0,y0,2x+y=1,求 1/x+1/y的最小值；（七）实际问题1、98（高考）如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为 2cm 的无盖长方体沉淀箱,污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长度为 am,高度为 bm,已知流出的水中该杂质的质量分数与 a、b 的乘积 ab 成反比,现有制箱材料 60m 2,问当a、b 各为多少米时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B 孔的面积忽视不计）；解一：设流出的水中杂质的质量分数为y,Aa b 由题意 y=k/ab ,其中 k 为比例系数 k0据题设 2 2b+2ab+2a=60a0,b0B b

10、30a2a由 a0,b0 可得 0a0要求 y 的最小值,即要求 ab 的最大值；据题设 2 2b+2ab+2a=60a0,b0 ,即 a+2b+ab=30a 2 b 2 2 ab 当且仅当 a 2b 时等号成立）ab 2 2ab 30,解得5 2 ab 3 2即 0 ab 18, 由 a 2b 及 ab a 2b 30 解得 a 6, b 3即 a=6,b=3 时, ab 有最大值,从而 y 取最小值；综上所述,当 a=6m,b=3m时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小；2、某工厂有旧墙一面长 14 米, 现预备利用这面旧墙建造平面图形为矩形,面积为 126 米 2的厂房,工程条件是：

11、建 1 米新墙的费用为 a 元；修 1 米旧墙的费用为 a/4 元；拆去 1 米旧墙用所得材料建 1 米新墙的费用为 a/2 元. 经过争论有两种方案：利用旧墙的一段 xx14 米为矩形厂房的一面边长；矩形厂房的一面长为 xx 14. 问如何利用旧墙,即 x 为多少米时,建墙费用最省两种方案哪种方案最好解：设总费用为 y 元,利用旧墙的一面矩形边长为 x 米,就另一边长为 126/x 米；如利用旧墙的一段 x 米xx114,就 fx 2 fx 1= x 2+126/x 2x 1+126/x 1=x2x11 126/x1x20 fx=x+126/x 在 14, 上递增, fxf14x=14 时

12、ymin=7a/2+2a14+126/147=综上所述,采纳方案,即利用旧墙（八）比较法证明不等式12 米为矩形的一面边长,建墙费用最省；1、已知 a、b、m、 nR +, 证明： am+n+b m+namb n+a nbmp、q 恒有 a. fp+b . fq 变：已知 a、bR +, 证明： a3/b+b3/a a2+b 22、已知 a、bR +,fx=2x2+1,a+b=1, 证明：对任意实数fap+bq（九）综合法证明不等式1、已知 a、b、c 为不全相等的正数,求证：bcaacbabc3a2bc2、已知 a、b、c R,且 a+b+c=1,求证： a2+b 2+c21/33、已知 a

13、、b、c 为不全相等的正数,且abc=1, 求证：abc111abc4、已知 a、bR +,a+b=1, 求证：a1/2b1/2（十）分析法证明不等式1、已知 a、b、c 为不全相等的正数,求证：bc/a+ac/b+ab/ca+b+c2、已知函数fx=lg1/x1,x1、x 20,1/2,且 x1 x2,求证：fx 1fx2fx 12x 22 3、设实数 x,y 满意 y+x2=0,0abc, 求证：a1bb1ca4c4、已知 a、b、c R,且 a+bc 求证：1aa1bb5、已知 a、b、c R,证明： a 2+ac+c2+3ba+b+c 0,并指出等号何时成立；分析：整理成关于a 的二次

14、函数fa=a2+c+3ba+3b2+3bc+c2 =c+3b243b2+3bc+c2= 3b2+2bc+c2 0fa 06、已知： x22xy + y2 + x + y + 10,求证： 1/3 y/x 37、在直角三角形2ABC中,角 C为直角, n2 且 nN,求证： cnan + bn8、设an12334nn1nN求证：nn21ann12对全部正整数n 都成立；2（十二）解不等式1、解不等式：x11x23xx320 x2ax22、解关于 x 的不等式：（十三）不等式应用 不等式的应用主要有三个方面：一是能转化为求解不等式（组）的有关问题（如求函数 的定义域、 争论一元二次方程的根的分布等

15、）；二是能转化为不等式证明的有关问题（如 证明函数的单调性） ；三是能转化为重要不等式的极端情形解决的最值问题；21、已知 fx 的定义域是（ 0,1 ,就函数 y f lg x x 的定义域是 _；2 5, 2 1,42、已知不等式 ax 2+bx+c0 的解集是 x| x 0 , 求不等式 cx 2+bx+a0 的解 集；3、设fx12xxx 0. 求证： fx 是减函数；求fx 的值域；,44、由于对某种商品实行征税,其售价比原价上涨x%,涨价后商品卖出量削减36x%100已知税率为销售金额的20%.为实现销售金额和扣除税款的余额y 不比原销售金额少,求上涨率x%的取值范畴；x 为何值时

16、, y 最大（保留一位小数）解：设原价为a,销售量为b,就ya 1x%b 136x%120%ab1x%136x%80%100100yab,1x %136x%80%1x %1631x%100250,0整理得：36x %264x%182yab1x%25x%36 12580ab1x%259936ab1x%25x%291252当且仅当 1x%25/9 x%,即 x% 8/9. x时 y 最大；（十四）恒成立问题1、如不等式 afn,即 fn 在 N上是增函数,fn 的最小值是f1又 f1=1/2+1/3+1/4=13/12故对一切正整数 n 使得 fn2a 5 的充要条件是 13/122a 5, a7

17、3/24故所求自然数 a 的最大值是 3；2、已知抛物线 y=fx=ax 2+bx+c 过点（ 1,0 ）,问是否存在常数 a、b、c,使得不等式xfx 1+x 2/2 对于一切实数 x 都成立解：假设存在常数 a、b、c,使得 xfx 1+x 2/2 对一切实数 x 恒成立,令 x 1 有 1 f1 1, f1 1,即 abc1 抛物线过点（1,0 ） abc0 解得： b=1/2,c=1/2a, fx=ax 2+x/2+1/2 a由 x fx 1+x 2/2 得 2x2ax 2+x+12a1+x 2 a=1/4,三、数学思想与方法（一）分类争论的思想：1、设 fx = 1+logx3,gx

18、=2logx2,其中 x0 且 x 1,试比较 fx与 gx 的大小；2、解关于 x 的不等式xxa101 x分析：当a 1 时,原不等式的解集为x|x a 或 1x1当 1a时,原不等式的解集为x|x 1 或 a x1当 a1 时,原不等式的解集为x|x 1 或 1xa当 a1 时,原不等式的解集为x|x 1 当 a 1 时,原不等式的解集为（二）数形结合的思想x|x 1 且 x 11、关于 x 的方程 x 2x m1 0 只在 1,1 上有解, 就实数 a 的取值范畴是 （）A、 5/4,+ B、 5/4, 1 C、 5/4 ,1D、 , 12、设 k、a 都是实数,关于 x 的方程 |2

19、x 1|=kx a+a 对于一切实数 k 都有解,求实数 a 的取值范畴；3、已知 0a1,0b1. 求证：+分析 观看待证式左端,它的每个根式都使我们想到 Rt ABC中的等式 a 2+b 2=c 2,激起我们构造平面图形利用几何方法证明这个不等式的大胆想法 .如图 27-3 ,作边长为 1 的正方形 ABCD,分别在 AB、 AD上取 AE=a,AG=b,过 E、 G分别作 AD、AB的平行线,交CD、BC于 F、H,EF、GH交于 O点. 由题设条件及作图可知, AOG、 BOE、 COF、 DOG 皆为直角三角形 .OC=再连结对角形AC,BD,易知 AC=BD=,OA+OCAC,OB

20、+ODBD,（三）函数与方程的思想1、函数 fx=lgxlg2+ax+1 的值域为 R,求实数 a 的取值范畴；a 的取值2、已知fx 12x3x4xa,如 fx在（, 1有意义,求实数4范畴；3、设不等式 mx 22xm1 对于满意 |m| 2 的一切实数 m都成立,求 x 的取值范畴；分析：设 fm=x 2 1m2x1,就对于满意 |m| 2 的一切实数 m都有 fm 0f 2 0 且 f204、已知 x、y、z（ 0,1 ）,求证： x1 y + y1z + z1x 1证明：构造函数 fx= x1y + y1 z + z1x 1即 fx = 1yzx + y1z + z 1当 1yz =

21、 0, 即 y + z = 1 时,fx = y1z + z1 = y + z 1yz = yz 0当 1yz 0 时, fx 为一次函数,又 x（ 0,1 ）,由一次函数的单调性,只需证明 f0 0, f1 0y、z（ 0,1 ） f0 = y1 z + z1 = y1z 1 0 f1 = 1yz + y1z + z1 = yz 0对任意的 x（ 0,1 ）都有 fx 0即 x1 y + y1z + z1x 1（四）转化与化归思想1、关于 x 的方程 4x+m3 . 2x+m=0有两个不等的实数根,求实数m的取值范畴；（五）换元的思想1、解不等式：2x5x1xb的解集为 5/2,2 ）,求实

22、数 a、b 的值；变：关于 x 的不等式ax52、（六） 1 的代换1、已知 a、bR +,a+b=1,x 、yR,求证： ax2+by2ax+by2,求证：92、已知 x、y 都是正数, a、 b 都是正常数,且a/x + b/y = 1xyab23、已知 x、y 都是正数,且x + y = 1,求证： 1 + 1/x1 + 1/y4、已知 x、yR +, 且 1/x + 9/y = 1,求 x + y的最小值；5、如 0 x1,a 0,b0,求 a/x + b/1x 的最小值是；6、已知 a,b 是正数,且a + b = 1,求证： ax + byay + bxxy分析： a,b 是正数,

23、且a + b = 1ax + byay + bx = a2xy + abx2 + aby2 + b2xy2= a2 + b2xy+ abx2 + y2 = 12abxy+ abx2 + y= xy+ abx2 + y22xy = xy + abxy2 xy（七）特别与一般的思想1、已知 a、b、c R,函数 f x = ax2 + bx + c, gx = cx2+bx + a, 当|x| 1 时,有|fx2；（1）求证： |g1| 2 ；（ 2）求证：当 |x| 1 时, |gx| 4.证：（1）当 |x| 1 时, |fx|2, |f1|2又|f1| |g1| |g1|2（2） fx= a

24、x2+bx+c f1= a+b+c,f 1= a b+c, f0= c a= f1+f-1 -2f0/2,b= f1-f-1/2|x| 1 时|fx|2 |f1|2,|f-1|2,|f0|2|gx|=|cx2+bx+a|x2|f0|=|x2f0+f1-f-1x/2+f1+f-1-2f0/2|=|x21f0+x+1f1/2+x-1f-1/2|x21f0|+|x+1f1/2|+|x-1f-1/2|x+1/2|f1| +|x-1/2|f-1|+|1x+1+1-x+2 = 4小结：对于二次函数fx=ax2+bx+c c=f0 2a=f1+f 1 2f0 2b=f1f 12、已知 a、b、c R,函数 f x = ax 2 + bx + c, gx = ax + b, 当 1x1 时,有|fx1；（1）证明： |c| 1；（2）证明：当 1x 1 时, |gx|2；（3）设a0, 1 x1 时, gx 的最大值为2,求 fx 的解析式；证明： 1x1 时,有|fx|1