高中数学等差数列前n项和经典教案

1、等差数列前 n 项和（高一年级第一册 第三章第三节）广西师院陈佳龙一、教材分析 教学内容等差数列前 n 项和 现行高中教材第三章第三节 “ 等差数列前 n 项和” 的第一课时,主要内容是等差数列前 n 项和的推导过程和简洁应用； 位置与作用 本节对“ 等差数列前 n 项和” 的推导,是在同学学习了等差数列通项公式的基础上进一步 争论等差数列,其学习平台是同学已把握等差数列的性质以及高斯求和法等相关学问；对 本节的争论,为以后学习数列求和供应了一种重要的思想方法倒序相加求和法,具有 承上启下的重要作用；二、学情分析 学问基础： 高一年级同学已把握了函数,数列等有关基础学问,并且在中学已明白 特殊

2、的数列求和； 认知水平与才能 ：高一同学已初步具有抽象规律思维才能,能在老师的引导下独立 地解决问题； 任教班级同学特点 ：我班同学基础学问较扎实、思维较活跃,能够很好的把握教材 上的内容,能较好地应用数形结合的方法解决问题,但处理抽象问题的才能仍有待进一步 提高；三、目标分析1、教学目标依据教学大纲的教学要求,渗透新课标理念,并结合以上学情分析,我制定了如下教 学目标： 学问技能 1把握等差数列前 n 项和公式 ; 2把握等差数列前 n 项和公式的推导过程 ; 3会简洁运用等差数列的前 n 项和公式； 数学摸索 1 通过对等差数列前 n 项和公式的推导过程 ,渗透倒序相加求和的数学方法；2

3、通过公式的运用体会方程的思想；3 通过运用公式的过程,提高同学类比化归、数形结合的才能； 解决问题 创 设 由 探 索 1+2+3+ +100 的 和 , 推 广 到 探 索 一 般 的 等 差 数 列 前 n 项 和s n a 1 a 2 a 3 . a n 的求和公式的情形 ,使同学进一步体会从特殊到一般的数学争论方法 ,并使同学在反馈练习的过程中,进一步提高问题解决的才能； 情感态度结合详细模型 ,将教材学问和实际生活联系起来,使同学感受数学的有用性,有效激发学习爱好 ,并通过对等差数列求和历史的明白 2、教学重点、难点,渗透数学史和数学文化； 重点 等差数列前 n 项和公式的推导和应用

4、； 难点 等差数列前 n 项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法； 重、难点解决的方法策略 本课在设计上采纳了由特殊到一般、从详细到抽象的教学策略利用数形结合、类比 归纳的思想,层层深化,通过同学自主探究,分析、整理出推导公式的不同思路,同时,借助多媒体的直观演示,帮忙同学懂得,并通过范例后的变式训练和老师的点拨引导,师 生互动、讲练结合,从而突出重点、突破教学难点；四、教学模式与教法、学法本课采纳“探究发觉 ” 教学模式；老师的教法 突出活动的组织设计与方法的引导；同学的学法 突出探究、发觉与沟通；五、过程设计结合教材学问内容和教学目标,本课的教学环节准时间安排如下：创设情形图片观赏探究

5、等差数列 数形结合 前 n 项和公式公式应用与 议练活动（ 1）（ 5 分钟）公式的熟悉 与懂得（4 分钟）提出问题（2 分钟）（18 分钟）新课引入类比化归前后呼应公式应用归纳总结公式应用与 议练活动（2）（2 分钟）前后呼应学问回忆（9 分钟）五、教学过程教学教 师 活 动学 生 活 动活动环节说明创设情境：第一让同学观赏一幅漂亮的图片新 课 引 入泰姬陵；泰姬陵是印度闻名的旅行景现实模型：模型点,传奇中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石, 共有 100 层,同时提出第直观一个问题：你能运算出这个图案一共花了多用 实 际少颗宝石吗？也即运算1+2+3+ .+100=？问题 2：何老

6、师按揭买房 , 向银行贷款 25 万生 活 引元,实行等额本金的仍款方式, 即每月仍款入新额比上月削减肯定的数额；20XX年 1 月, 图片观赏课；我第一次向银行仍款2348 元,以后每月比生活实例上月的仍款额削减5 元,如以 20XX年 1 月银行贷款利率为基准利率, 那么到 2026 年12 月最终一次仍款为止,何老师连本带利 一共仍款多少万元？探第一熟悉一位宏大的数学家高斯,学 生 ： 1+100=101 ,高斯求然后提出问题： 高斯是如何快速运算1+2+32+99=101, .50+51=101,和众所+4+ .+100？所以原式 =50（ 1+101）=5050 周知,设等差数列 a

7、 前 n 项和为S ,就同学 ：将首末两项配对, 第同学能S na 1a2an1an问题 1二项与倒数其次项配对, 以快速解老师 ：利用高斯算法如何求等差数列的前n此类推,每一对的和都相答；项和公式？等,并且都等于a1an；这里老师 ：但是否刚好配对胜利呢？用到了索（1） n 为偶数时：S n a 1 a nan1an同学 ：不肯定,需要对 n 取等差数列脚标值的奇偶进行争论；22和性质公nS n a 12（2） n 为奇数时：an当 n 为偶数时刚好配从 高斯算法对胜利；动身,对 n 进式当 n 为奇数时,中间的行争论查找求S na 1an211an1an11a n和公式22思路自一项an1

8、落单了；然,学2生简洁 想到；对 中 间 项（可能部分同学在此会遇老师： 那么该如何解决落单的 a n 1 呢？n 1 2S n a 1 a n a n 12 2a n 1 a n 1n 1 a 1 a n 2 22 2n a 1 a n 2同过对 n 取值的争论,得到了前项和求和公式：S n n a 1 a n 2n到困难,老师做适当的引an1导；）2的同学： 观看an1的脚标与解决办a1an2脚标的关系,即：法的过an1an12an1a 12a n程中,进一步22让同学2体会研究数列就是对但是对 n 争论麻烦了,能否有更好的同学观看动画演示,不脚标数方法求前n 项和公式呢？接下来给出实际难

9、发觉用倒置的思想来解学的研问题：伐木工人是如何快速运算堆放在木场决此问题；究；的木头根数呢？问题 2：如何用倒置的思想求等差数列前 n项和呢？探方法一：（由上一问题的解决, 同学倒序相S na 1a 2a n1a n容 易 想 到 倒 序 相 加 求 和加求和法；）法是重S nana n1a2a 1同学： 利用倒序相加求和要的数法；学思想,为以后数两式相加得：2S nn na 1an列求和的学习索方法二将S 中的每一项用等S na 1an做好了2铺垫；公同样利用倒序相加求和法, 教材做了如在等差下处理：Sna 1a 1d.a 1n1d数列前n 项和式S nana nd.an n1 d差数列的通

10、项公式进行巧公式的妙的改写,在倒序相加求和推导过时,每一组中的 d 都被正负程中,两式相加得：2S nna 1an抵消了；通过问同学类比方法一与方法题获得公式1：S nna 1an学问,2让同学掉a引导同学带入等差数列的通项公式, 换二的联系与区分；经历n整理得到公式 2；nn1 d“ 发觉问题公式2：Snna 1提出2问题解决 例 1：运算 问题”议（1）1+2+3+ +n 同学自己阅读教材,体的过程（2）1+3+5+ +2n-1 会教材的解法是如何运用练（3）2+4+6+ +2n 求和公式；通过对（4）1-2+3-4+5-6+ +2n-1-2n 观看多媒体课件演示；老师通过动画演示给 1,

11、2问一个直观的活说明；同学 ：要求总仍款额实际就实际问题的解变式练习： 课前提出的房贷问题；决让学解: 由已知每月仍款数成等差数列, 设为生熟悉an：a 12348 ,na 1 nd n,5 1 dn240动是对一个等差数列求和；到数学来源于Sn2生活,同时又240234824022395 服务于生活420220 元问题 3：能否给求和公式一个几何说明呢？老师提示将求和公式与梯形建立联系；认公式1:S nna 12an同学：将求和公式与梯形面利用数a 1a n积公式建立联系, 而梯形面积公式的推导也正是利用了倒置的思想；识公1aa na 1Snna 1n n1 d同学：同样将公式 2 与梯形结

12、合的思公式2：想,使形面积公式建立联系；用2同学对“ 割” 的思想将梯形分做一式n 两个公个平行四边形和一个三角式有直形,而梯形面积就是这两部观的认分面积之和；识,体会数学的图形语言；a 1a 1nn1 d同学争论：公式中一共含有an1 d剖析公式：认公式1S nn a 12a n五个量,依据三个公式之间例 2 在识的联系,由方程的思想, 知公公式2S nna1n n1d三可求二；式2通项公式：ana 1n1d老师提示,从方程中量的关系入手；议例 2 等差数列 -10 ,-6 ,-2 ,2, , 前多同学争论分析题目所含的解决了例 1 的少项的和为 54？已知量,选取了公式 2 进行基础运算,

13、利用了方程的思想；解：设题中的等差数列是a n,前 n 项和为上,由需要留意的是同学可能会浅入S n：把公差认为是 -4,以及解得深,深n 的值后未把 n=-3 舍去；化了对练就a 10,d 6（ 10） 4 学 生 进 行 了 分 组 讨公式的懂得,令S n54,由等差数列前 n 项和公式,得：表达了解得n 9,10 nn n n 3（舍去）2 1 4 54.方程的活思想；因此, 等差数列的前 9 项和是 54 例 3：在等差数列an 中紧扣动 1 已知:a2a5a 12a 1536 , 求S 162 已知：a620 , 求S 11教材,论,然后每组派同学代表进解：（1）a2a 15a5a

14、12a 1a 16让同学行分析；不少小组第一对已体会整知条件作转化, 期望能通过a 1a 16a2a 1518体应用解方程求出首项和公差, 但公式,发觉条件不够, 不能解出这S 1616a 12a 16144类比化些基本量,老师做适当的引归的思导；想方（2）S 11a1a 1111法,同2时,为2a611220以后综2合问题本小题主要考察了对公式一的整体应的解答设下伏用；依据课堂剩余时间, 此题作为机动练习,笔；（2）小问留给同学课后完成；1、老师引导同学归纳总结本节课所学 习的主要内容本 环 节 由 学 生 自 主 归纳、总结本节课所学习的主课2、课后作业：要内容,老师加以补充说通过对教材

15、118 页：1、2、3、5、6、7 明堂课后摸索：（1）回忆从特殊到一等差数列的前n 项和的求和方法除了倒序般,一般到特殊的争论相加法仍有没有其它方法呢. 方法 . 总3、对求和史的明白（2）体会等差数列的基等差数本元表示方法, 倒序相加的我国数列求和的概念起源很早,在北列求和算法,及数形结合的数学思朝时,张丘建始创等差数列求和解法；他在历史的想. 结张丘建算经中给出等差数列求和问题：（3）把握等差数列的两明白,个求和公式及简洁应用；例如：今有女子不善织布, 每天所织的布以渗透数同数递减, 初日织五尺, 末一日织一尺, 共明白我国古代争论等差学史和数学文织三十日,问共织几何？原书的解法是：“

16、并初、末日织布数,半之再乘以织日数,化；数列求和的情形；即得；”板书设计： 3.3 等差数列前 n 项和一、 等差数列前 n 项和 四、例题及解答 议练活动 二、公式的推导 方法 1：方法 2：方法 3：三、剖析公式：公式 1：公式 2：主板书 副板书 帮助性板书 六、教学反思依据教学经受和同学的反馈信息,笔者对本课有如下五点反思：（ 1）依据实际教学情形,同学比较简洁把握本课学问；在教学过程中,我重点突出 了同学活动, 设计了四个活动环节： 1 公式的探究活动； 2 公式的熟悉 3 公式的应用 4 同学课后的拓展学习；（ 2）本课特殊强调了几何直观,我不仅对求和公式给出了几何说明,也对部分习题 给出了几何说明,表