高中数椭圆焦半径公式及应用3

1、智愛高中數學 椭圆焦半径公式及应用 在椭圆曲线中, 焦半径是一个特殊重要的几何量, 的热点,故值得我们深化争论； 思路 1： 由椭圆的定义有： r1 r2 2a 1与其有关的问题是各类考试 故只要设法用 x0 , a, c 等表示出 r1 r2 （或 r1 r2 ）,问题就可迎刃而解； 由题意知 r1 2x0 c 2y0 2, r2 2x0 c 2y0 2两式相减得 r1 r2 r1 r2 4cx0r1 r2 4cx0 4cx0 2ex0 2r1 r2 2a 联立 , 解得： r1 a ex0 , r2 a ex0 点评： 在 r1 a ex0 与 r2 a ex0 中, ex0 前的符号不表

2、示正,负,真正的 正,负由 x0 确定； 思路 2： 设焦点 F1 ae, 0 , F2 ae, 0 x0 ae 22 y0 2a 31就 r1 r2 2a ,即 x0 2 ae 2 y0 4 aex0 2ex0 2另有 x0 ae 22 y0 x0 ae 22 y0 得： x0 2 ae 2 y0 x0 ae 22 y0 ,联立解得： x0 ae 22 y0 r1 a ex0 x0 ae 22 y0 r2 a ex0 点评： 把 , 两式左边的两个根式看成两个未知数,构建方程组得解； 思路 3：推敲 r1 x0 c 22 y0 a ex0 的沟通渠道, 应从排除差异做起, 根 式中 y 理应

3、代换； 0第 1 页,共 19 页由点 M 在椭圆上,易2 y b 2 12 x0 aa2知 就 r x 0 22cx c2 b2 b22 x 01b22 x 0c 2a ax 0a2a2a2ex0 22aex0 a2由 0 e1, ax0 a ,知 ex0 a0故 r1 aex0 同理 r2 aex0 点评： 上述思路表达了先消元 2 y0 转换成关于 x0 的二次三项式,再化成完全 a x0 a ,简洁推出 r1max a c （ x0 平方式的思想；由 a, e 是常数与 时取得）, r1min ac （ x0 a 时取得）； 思路 4： 椭圆的其次定义为求焦半径 r1 铺设了沟通的桥梁

4、； 如图,作椭圆的左准线 l,作 MH l于 H 点 x0 a2 e aex0 就 MF1 e即 r1 MF 1 MH e MH c 同理可求得： r2 a ex0 点评：应用椭圆的其次定义求焦半径的优越性是将两点 M, F1 的距离等价转化 成平行于 x 轴的直线上点 M, H 的距离轻松得解,是上述四条思路中的正确途径； 2 2请你独立探求焦点在 y 轴上的椭圆 y x 1 a b 0 上任一点 M x , y 0的两条焦半径（ a ey0）； a 2 b 2 第 2 页,共 19 页一,椭圆焦半径公式 P 是椭圆 x 2 2 y 2 2 1 a b 0 上一点, E, F 是左,右焦点,

5、 e 是椭圆的离 a b心率,就（ 1） | PE | a exP ,（ 2） | PF | a exP ； 2 2P 是椭圆 y x 1 a b 0 上一点, E, F 是上,下焦点, e 是椭圆的离 a 2 b 2 心率,就（ 3） PE a eyP , 4| PF | a eyP ； 以上结论由椭圆的其次定义及第确定义和椭圆的方程易得； （一）用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式 例 1 已知点 P（x , y）是椭圆 x2 2 y2 2 1 上任意一点, F1（ -c,0 ）和 F2c,0 是 a b椭圆的两个焦点 . 求证： |PF 1|=a+ c x ； |PF 2|=a - c x .

6、 a a【分析】 可用距离公式先将 |PF 1| 和 |PF 2| 分别表示出来 . 然后利用椭圆的方程 “消 y”即可 . 【解答】 由两点间距离公式,可知 |PF 1|= x c 2 y 2 1 2 2 2从椭圆方程 a x 2b y 2 1 解出 y2 ba 2 a 2 x2 2 代（ 2）于（ 1）并化简,得 |PF 1|= a c x -a x a a同理有 |PF 2|= a c x -a x a a【说明】 通过例 1,得出了椭圆的焦半径公式 r 1=a+ex r 2=a-ex e= c a从公式看到,椭圆的焦半径的长度是点 P（x,y ）横坐标的一次函数 . r 1 是 x 的

7、 增函数, r 2 是 x 的减函数,它们都有最大值 a+c, 最小值 a-c. 从焦半径公式,仍可 得椭圆的对称性质（关于 x,y 轴,关于原点） . （二）,用椭圆的定义求椭圆的焦点半径 用椭圆方程推导焦半径公式,虽然过程简便,但简洁使人误会,以为焦半径公 式的成立是以椭圆方程为其依靠的 圆定义直接导出公式来 . . 为了看清焦半径公式的基础性,我们考虑从椭 椭圆的焦半径公式,是椭圆“坐标化”后的产物 , 按椭圆定义,对焦半径直接 第 3 页,共 19 页用距离公式即可 . 例 2 P x,y 是平面上的一点, P 到两定点 F1（-c , 0）,F2（ c, 0）的距离的和 为 2a（

8、ac0） . 试用 x, y 的解析式来表示 r 1=|PF 1| 和 r 2=|PF 2|. 【分析】 问题是求 r 1=f （ x）和 r 2=g（ x） . 先可视 x 为参数列出关于 r 1 和 r 2 的方程组,然后从中得出 r 1 和 r 2. 【解答】 依题意,有方程组 r1 r2 2a r 1 2 x c 2y 2 r 2 2x c 2y 2 - 得 r1 2r 2 4cx 2c 代于并整理得 r 1-r 2= x a联立,得 r1 a c a x c r2 aa x 【说明】 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出, 对椭圆的方程有自 己的独立性 . 由于公式中含 c 而无

9、b,其基础性明显 . 二, 焦半径公式与准线的关系 用椭圆的其次定义,也很简洁推出椭圆的焦半径公式 . 如图右,点 P（ x, y）是以 F1（ -c,0 ）为焦点, 2以 l 1 ： x=- a 为准线的椭圆上任意一点 .PD l 1 于 D.按 c 椭圆的其次定义, 就有 | PF | e | PF | e| PD | e x a 2 a ex | PD | c 即 r 1=a+ex, 同理有 r 2=a-ex. 椭圆的这个其次定义有很大的 “人为性” . 准线 x a 2缺乏定义的 “客 c 观性” . 因此,把椭圆的其次定义视作椭圆的一条性质定理更符合规律性 . 例 3 P（ x, y

10、）是以 F1（ -c , 0）,F2（ c, 0）为焦点,以距离之和为 2a 的椭 2圆上任意一点 . 直线 l 为 x=- a,PD1 l交 l于 D1. 求证： | PF | e . c | PD1 | 【解答】 由椭圆的焦半径公式 |PF 1|=a+ex. 第 4 页,共 19 页2 2对 |PD1| 用距离公式 |PD 1|=x- a =x+ a . c c 2 a故有 | PF1 | a ex ex c e . | PD1 | a 2 a2 x x c c 【说明】 此性质即是：该椭圆上任意一点,到定点 F1（-c,0 ）（ F2（ c,0 ） 与定直线 l 1:x=- a2 l 2

11、：x= a 2 的距离之比为定值 e（ 0e1） . c c 三,用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程 在椭圆部分,只完成了“从曲线到方程”的单向推导,实际上这只完成了任务 的一半 . 而另一半,从“方程到曲线” ,却留给了同学（关于这一点,被许多同学所 忽视了可逆推导过程并不简洁 , 特殊是逆过程中的两次求平方根） . 其实,有了焦半径公式, “证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明 . 2 2例 4 设点 P（ x ,y）适合方程 x y 1 . 求证： 点 P（ x,y ）到两定点 F1（ -c,0 ） a 2 2 2 b2 2和 F2（ c, 0）的距离之和为 2a（c =a -b ） .

12、【分析】 这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程 . 利用例 2 导出的 焦点半径公式,很快可推出结果 . 【解答】 P （ x, y）到 F1（ -c,0 ）的距离设作 r 1=|PF1|. 由椭圆的焦点半径公式可知 rr1=a+ex 即 |PF 同理仍有 2=a-ex + 得 r1+r 2=2a 1|+|PF 2|=2a. 即 P（ x, y）到两定点 F1（ -c , 0）和 F2（ c,0 ）的距离之和为 2a. 【说明】 椭圆方程是二元二次方程,而椭圆的焦半径公式是一元一次函数 . . 因此,环围着椭圆焦半径的问题,运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便 四,椭圆焦半径公式的

13、变式 2 P 是椭圆 x 2 a 的角为 , PF2 y 2 1a bbx 轴所成的角为 0 上一点, E,F 是左,右焦点, PEx 轴所成 与 , c 是椭圆半焦距, 与 第 5 页,共 19 页2 2就（ 1） | PE | b； （ 2） | PF | b； a c cos a c cos 2 2P 是椭圆 y 2 x 2 1a b 0 上一点, E,F 是上,下焦点, PE 与 x 轴所a b 成 的角为 , PF x 轴所成的角为 , c 是椭圆半焦距, 与 2 2就（ 3） | PE | b；（ 4） | PF | b； a csin a c sin 证明：（ 1）设 P 在 x

14、 轴上的射影为 Q,当 不大于 90时,在三角形 PEQ 中,有 cos | PQ| x P c | PE | | PE | 由椭圆焦半径公式（ 1）得 | PE | a ex P ； 2消去 x P 后,化简即得（ 1） | PE | a ccos b； 而当 大于 90时,在三角形 PEQ中, 有 cos | PQ| c x P cos x P c , | PE | | PE | | PE | 以下与上述相同； （ 2）,（ 3）,（4）的证明与（ 1）相仿,从略； 五,变式的应用 对于椭圆的一些问题,应用这几个推论便可简洁求解； 例 5. P 是椭圆 2 x 2y 1a b 0 上一点,

15、 E, F 是左右焦点,过 P 作 x b 2 F,如三角形 PEF 是等腰直角三角形,就椭圆的离心率是 轴的垂线恰好通过焦点 a 2 ； 解：由于 PFEF,所以由（ 2）式得 | PF | a b2b2； ccos90 a第 6 页,共 19 页再由题意得 | EF | | PF| 2c b 2 aa22 c 2ac 2 c 2ac a20e2 2e 10 ； 留意到 0 e e 1 解得 21 ； 例 6. P 是椭圆 x 2 100 y 2 64 1 上且位于 x 轴上方的一点, E, F 是左右焦点,直线 PF 的斜率为 4 3 ,求三角形 PEF 的面积； 解：设 PF 的倾斜角,

16、就： tan 4 3, cos 1 , sin 7743； 7为 由于 a 10, b 8, c6,由变式（ 2）得 | PF | 826 1 710 所以三角形 PEF 的面积 S 1| PF |EF |sin 2143 7 2 6 7224 3例 7经过椭圆 x 2 2 y 2 2 1a b 0 的左焦点 F1 作倾斜角为 60的直线和椭圆 a b相交于 A,B 两点,如 | AF1 | 2| BF1 |,求椭圆的离心率； 解：由题意及变式（ 2）得 a ccos60 b 2 2 a cos60b 2 180 化简得 2a c a 1c 3c 2a e c 2； 2 a 32例 8设 F

17、是椭圆 x 2 y 2 1 的上焦点, PF 与 FQ 共线,MF 与 FN 共线,且 第 7 页,共 19 页PF MF 0；求四边形 PMQN面积的最大值和最小值； a解：设 PF 倾斜角,就由题意知 PF MF,所以 MF 倾斜角90,而 为 2 , b 1, c 为 1 ,由题意及（ 3）式得 | PQ| | PF | |FQ | 1 12 sin 2 sin 1802 222 sin 同理得 | MN | 222；由题意知四边形 PMQN面2 cos 积 1S | PQ|MN | 21 2 2 2 2222 2 sin 2 cos 4 16 2 2 2 22 sin cos 8 4

18、sin cos 16 32 28 sin 2 17 cos4 所以当 cos4 1 Smax 32 2 ； 时, 17 1当 cos4 1 时, Smin 32 16 ； 17 1 9四,利用焦半径公式解椭圆题 椭圆的焦半径公式：设 Px 0 ,y 0 是椭圆上的任意一点, F1 , F 2 分别是椭圆 的左,右焦点,对于椭圆 x 2 2a+ y 2 2 b= 1 a b 0 而言,有 | PF1 | = a ex0 , | PF2 |= a ex0 在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题,用焦半径公式解题可以简化运算 过程下面介绍其应用 第 8 页,共 19 页例 9,在椭圆 2 x + 2 y

19、=1 上求一点,使它与两个焦点的连线相互垂直； 5, 45 20 解：由椭圆方程可知 a = 3 5 ,b =2 5 ,并求得 c = 5 ,离心率 e= 3设 P x0 , y0 ,依焦半径公式, 得： | PF 1 | = 3 5 + 5x 0 , 3| PF 2| =3 5 5x 0（ 33解得： x 0 =3 或 x 0 = 3,故知 3 , 4 5 + 5 x +（ 3 5 2 5 x 0 =100； 23 3, 3, 4 , 3, 4 , 3 , 4 为所求； 评析：一般地, 涉及到椭圆上的点与焦点的连结线段时, 均可以用焦半径公式来解； 例 10,在椭圆 x 2 y 2 =1 上

20、求一点 P, 使它到一个焦点的距离为它到另一焦点距 4 8离的 3 倍； 解：由椭圆方程可知 a = 2 2,b =2 , c =2 ,焦点在 y 轴上, e= 2,设 2P x0 , y0 ,依焦半径公式,得： | PF1 |= 2 2 + 2y 0 ,| PF2 | =2 2 2y 0 , 2 2依题意有： |PF 1 |=3| PF 2 | 或 | PF 2 |=3|PF 1 | ； 即： 2 2 + 2y 0 =32 2 2 y 或 0 2 2 2y =32 0 2 + 2y 02 2 2 2解得： y 0 =2 或 y 0 = 2； 由此可知所求点 P 为 2 , 2 或 2 , 2

21、 或 2 , 2 或 2 , 2 评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离,假如直接用两点间距离公式,运 算将特殊复杂,而选用焦半径公式使得运算走向合理化 例 11, 设 F1 ,F 2 为椭圆 x 2 9 y 2 4= 1 的两个焦点, P 为椭圆上的一点已 知 P, F1 , F2 是一个直角三角形的三个顶点,且 | PF1 | | PF2 | ,求 | PF2 | | PF1 | 的值 解：由椭圆方程可知 a =3 , b = 2 ,并求得 c = 5 ,离心率 e = 5, 3由椭圆的对称性,不妨设 Px 0 , y 0 x 0 0, y 0 0 是椭圆上的一点,就由 第 9 页,共 1

22、9 页题意知 | PF 1 | 应为左焦半径, | PF 2| 应为右焦半径 5 3x 0 由焦半径公式,得 | PF 1 | = 3 5x 0 , | PF 2 | = 3 3如 P F 2 F 1 为直角,就 2 2 | PF 1 | = | PF 2 | | F 1 F 2 | 2, x = 05 , 即 3 + 5x 02= 3 5x 0 2 25 2,解得 33故 | PF1 | = 3| PF2 | 35= 7； 3 523如 F1 P F 为直角,就 | PF1 | 2| PF 2 | 2= | F1 F 2 | 2,即 3 5 2 5 + 3 x 0 3 3| PF1 | 3

23、1故 = =2 | PF2 | 312 x 0 = 2 2 5 , 5 解得 3x 0= 1 , 评析： 当题目中显现椭圆上的点与焦点的距离时, 化,此例就利用焦半径公式成功地求出 x 0 值 常利用焦半径公式把问题转 2 2例 12, 已知椭圆 C： x + y = 1 , F , F 为其两个焦点,问能否在椭圆 1 2 C 上找 4 3一点 M,使点 M 到左准线的距 | MN | 是| M F 1 | 与 | M F 2 | 的等比中项？如存在, 离 求出点 M 的坐标；如不存在,说明理由 解：设存在点 Mx 0 ,y 0 ,使 | MN | 2= | M F 1 | | M F 2 |

24、 , 由已知得 a = 2 , b = 3 , c = 1 ,左准线为 x = 4, 就 | x0 4| 2 = a ex0 a ex0 = a 2 e 2 x 02= 4 1x0 , 242 12 即 5x0 32 x0 48 = 0 ,解得 x0 = 4 2, 2 ,或 x0 = 2,2 , 5因此,点 M 不存在 评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离,发觉用焦半径求解优越于其它解法； 三. 求变量范畴 例 13,. 椭圆 的焦点为 ,点 P 为其上动点,当 为钝角 第 10 页,共 19 页时,点 P 横坐标的取值范畴是 ； 解：设 ,就 为钝角 代入解得 四. 求最值 是椭圆 的两个

25、焦点, P 是椭圆上的动点, 求 例 14,. 的最大值和最小值； 解：设 ,就 在椭圆上 的最大值为 4,最小值为 1 五. 求弦长 例 15. 求过椭圆 的左焦点 ,倾斜角为 的弦 AB 的长度 ； 解：由已知可得 ,所以直线 AB 的方程为 ,代入椭圆方 程得 设 ,就 ,从而 六 . 用于证明 例 16. 设 Q 是椭上任意一点, 求证： 以 为直 圆 径的圆 C 与以长轴为直径的圆相内切； 第 11 页,共 19 页证明：设 ,圆 C 的半径r为 即 也就是说：两圆圆心距等于两圆半径之差； 故两圆相内切 同理可证以 为直径的圆与以长轴为直径的圆相内切； 以上只是简洁介绍了椭圆的一种形

26、式的焦半径公式的应用, 期望同学们能触类 旁通,灵敏运用焦半径公式解决其他有关问题,提高解题效率； 例 17,点 P 是椭圆 16x 225 y 2 1600 上一点, F 1, F 是椭圆的两个焦点, 又点 P 在 x 轴上方, F2 为椭圆的右焦点, 直线 PF2 的斜率为 4 3 ,求 PF1 F2 的面积； 解析： 设点 P 的横坐标为 x, F1 F2 P 由条件 a 10, b 8 , c 6 ,得： PF1 10 5 3x, PF2 10 35 x 依题意得： tan 43所以 cos 1 , sin 437 7第 12 页,共 19 页2 2 2由 cos F1 F2 PF2

27、PF1 得： 2 F1 F2 PF2 x 5, PF1 13, PF2 7故 S PF F 1 2 1F1 F2 PF2 sin 112 7 4324 32 2 7点评： 也可先求直线 PF2 方程 y 43 x 6 ,与已知椭圆方程联立,解二 元二次方程组求出点 P 的纵坐 标 y,就 S F F P 1 2 2 1F1 F2 y y 0 ； 圆锥曲线的焦半径巧用 圆锥曲线的焦半径概念,是圆锥曲线中的一个重要的概念许多圆锥曲线的 求解问题,往往都牵涉到它,且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生 机因此,把握它是特殊重要的 椭圆焦半径： R 左 = a + x e , R右 = a- x

28、 e , x 0 , = - x e + a , R 右 = - - x e - a 左支双曲线焦半径： R 左 抛物线焦半径： R 抛 = x + P 2对于这些结论我们无须花气力去记, 种定义,可直接推得如对双曲线而言：当 只要把握相应的准线方程及标准方程的两 P x0 , y0 是双曲线 b x - a y = a b a 0, b 0 右支上的一点, F1, F 2 是其左右焦点 就有 左准线方程为 x a2 | PF | e x 1 0a2ex 0a; c 由双曲线的其次定义得,左焦半径为 c 由 |PF 1|- |PF 2| =2 a,得 |PF 2| = |PF 2| - 2a

29、= ex 0 - a |PF 2| 亦可由第 二定义求得 例 1 已知 F1,F2 是椭圆 E 的左,右焦点,抛物线 C 以 F1 为顶点, F2 为焦点,设 P 为椭圆与抛物线的一个交点,假如椭圆 E 的离心率 e 中意 |PF 1| = e| PF 2| ,就 e 的值为 3D 2 2 A 2 B 2 3C 23第 13 页,共 19 页解法 1 设 F1 - c, 0 ,F2c , 0 ,P x0 , y0 , l ： x = - 3 c, 于是,抛物线的方程为 2 y = 2 4 c x + c , 抛物线的准线 椭圆的准线 m： x a2, d1 = | PF2 | , c 设点 P

30、 到两条准线的距离分别为 d1 , d2于是,由抛物线定义,得 又由椭圆的定义得 |PF 1| = ed2,而 |PF 1| = e | PF2 | , 由得 d2 = | PF 2 |, 故 d1 = d2,从而两条准线重合 e | PF 2 | , 3c, 3c a2e21e3应选 C c 33解法 2 由椭圆定义得 |PF 1| + | PF 2| = 2 a,又 |PF 1| = | PF 2| 1+ e = 2 a, 又由抛物线定义得 | PF2 | = x0 + 3c, 即 x0 = | PF2 | - 由椭圆定义得 | PF 2| = a- ex0 , | PF2 | 1+ 由

31、得 | PF2 | = a- e | PF2 | + 3ec,即 e = a + 3ec, 由得 2 a = a + 3ec,解得 e3,应选 C 3点评 结合椭圆,抛物线的定义,并充分运用焦半径是解答此题的基本思想 2 2 2 2 2 2 例 2 设椭圆 E： b x + a y = a b a b 0 ,的左,右焦点分别为 F 1, F 2,右顶 3 2 点为 A, 假如点 M 为椭圆 E 上的任意一点,|MF 1| |MF2| 的最小值为 a 且 41 求椭圆的离心率 e； 2 设双曲线 Q：是以椭圆 E 的焦点为顶点,顶点为焦点,且在第一象限内任 取 Q 上一点 P,试问是否存在常数

32、0 ,使得 PAF1= PF1A 成立？试证明 你的结论 分析 对于 1 可利用焦半径公式直接求解而 2 是一探究型的命题,解题 应留意探究由于在解析几何中对角的问题的求解,往往要主动联想到斜率而 o o PF1A 明显是一锐角, 又易知 PAF1是0, 120 内的角,且 90 是斜率不存在的角 于 o 是,抓住 90 这一特殊角摸索,可得解法 1,如留意斜率的争论,考查所两角差的 正切,可得解法 2；如转变角的角度来观看,将 PF1A 变为 PNF1,使 PAF1变成 PNA 的外角, 可得解法 3；如考查角平分线的性质可得解法 4；如从图像与所求式 第 14 页,共 19 页的特点分析得

33、知,所求的 必需是大 1 的正数, 从常规看来可以猜想到它可能是 于 二倍角或三倍角的关系由此先探究一下二倍角的情形,考查角平分线定理,可得 解法 5；如是考查 PF1A 与 PAF1的图形位置,直接解三角形 PAF1,可得到解法 6 1 解 设 Mx0, y0, 由椭圆的焦半径定义得 2|MF1| = a + ex0, |MF2| = a- ex0, |MF1| |MF2| = a + ex0 a- ex0 = a - 2 2e x0 , 3 2 |MF 1| |MF2| 的最小值为 a , 且 | x0| a, 4 a - 2e x0 2 2 a - 2e a = 2 2 3 a ,解得

34、2e 1 4 22 解法 1 由题意得 双曲线的离心率 e = 2, 且双曲线的实半轴长为 c , 半 2 2焦距为 2c, 故 设双曲线 Q 的方程 x 2 y 2 1 , 为 c 3c 假设存在适合题意的常数 0 , 考虑特殊情形的 PA x 轴时,点 P 的横坐标为 2c, 值当 从而点 P 的纵坐标为 y = 3 c,而 |AF 1| = 3 c, PAF1是等腰直角三角形,即 PAF1= , PF1A = , 2 4从而可得 = 2 PA 不与 x 轴垂直时,就要证 PAF1 = 2 PF1A 成马上可 由于点 P x1, y1 在第一象限内,故 PF1 , PA 的斜率均存在,从而

35、,有 k PF 1 y1 tan PF1 A , k PA y1 tan PAF1 , x1 c x1 2c 且有 y1 2 3 x1 c x1 c , 又 tan2 PF A 1 2kPF 2 1 2 x1 2 c y1 2, 1 k PF1 x1 c y1 将代入得 tan 2 PF1 A 2 x 12 c y 12 y 1 k PA , x c y 1 x1 2c 由此可得 tan2 PF1A = tan PA F 1, P 在第一象限, A2 c, 0, PAF 0, 2 2 , 2, 3 又 PF1A 为锐角,于是,由正切函数的单调性得 2 PF1A = PA F1 综合上述得,当=

36、 2 时,双曲线在第一象限内全部点均有 PAF1 = 2 PF1A 第 15 页,共 19 页成立 解法 2 由题意得 双曲线的离心率 e = 2, 且双曲线的实半轴长为 c , 半焦距为 2c, 2 2故 设双曲线 Q 的方程 x 2 y 2 1 , 为 c 3c 由于点 P x1, y1 在第一象限内,故 PF1 , PA 的斜率均存在且 PF1A 为锐角 又 y1 23 x1 c x1 c , 设 PF1A = ,就 tan k PF 1 y1 , x1 c 设 PAF1=, 90 时, 就 otan k PA y1 , x1 2c y1 y1 而 tan - 1 tan tan tan

37、 tan 1 x1 y1 2c x1 y1 c x 2cx y1 2x1 1 2c 2 c y 1 2x1 2c x1 c y1 2x1 c y1 2 x1 c y1 x1 2c x1 c 3 x1 c x1 c x1 c c 2 x1 x1 c tan - = tan PF1A =为锐角,P A F1 = 0, 2 , tan - = tan 又 30, 故 - 是锐角, 由正切函数的单调性得 = 2 o明显,当 = 90 时亦成立 故存在 = 2 ,使得双曲线在第一象限内全部点均 2 PF1A = PA F 1 成立 有 解法 3 由上述,得 = 2,设 P 是射线 PA 上的一点 , 其

38、横坐标为 x0 x0 c , 在 x 轴上取一点 N 2 x0 +c , 0,使 PF1N为等腰三角形, P F1N = P NF1故当 P AF1= 2 PF1A 时,有 P AF1= 2 P NA, 从而 APN = P NA, 就 |AN| = |AP | , F1 y HP Nx 又 A2 c ,0 ,于是 |AN| = |AP | = 2x0- c 过 P 作 P H 垂直于准l于 H,如图 9-5 D线 O F2 A 就 |P H| = x0-1 c 2故 | P A| 2x 0c = 2 = e | P H | x0 c 2图 9-5 故 点 P 是双曲线上的点,且与 P 重合

39、第 16 页,共 19 页由 x0 c 的任意性得,当 = 2 时,双曲线在第一象限内全部点均有 2 PF1A = PAF1成立 解法 4 由题意得,设点 Px1 , y1 , 点 P 是双曲线在第一象限内的点,又 A2c, 0 是一焦点, |AP| = 2 x1- c,|AF 1| = 3 c,设 AD 为 F1AP 的平分 线, c 3c x1 由角平分线性质及定比分点公式,得 x D 2 x1 c c 2x1 c 3x1 c , 1 3c 2x1 2c 22 x1 c 由此可得,点 D 在双曲线的右准线上,从而可得准线 AF1 的中垂线, 是 故 AF1D 为等腰三角形,且 PF1A =

40、 DAF1, 又由得 PAF1= 2 PAD =2 DAF1, PA F1 = 2 PF1A,故 解法 5 由题意得,设点 Px1 , 2 y1 ,由于点 P 是双曲线在第一象限内的点, 又 A2c, 0 是一焦点,于是,有 |AP| = 2 x1- c,|AF 1| = 3 c, 2| PF 1| 2= 2 2 2 2x1 + c + y1 = x1 + 2 x 1c+ c + 3 2 x1 - 2 23 c = 4 x 1 + 2 x 1c- 2c , 在 APF1中 2 2 2 2有 cos F1 9c 4x 1 2 x c 1 2c 2 x 1 c 6c x1 c x1 c , 2 3

41、c 4x1 22 x1c 2c 2 6c 2 2x1 c x1 c 2 2x1 c 2 2 2 2cos A 9c 2 x1 c 4x1 2x1c 2c 6c x1 2c 2c x1 , 2 3c 2x1 c 2 3c 2x1 c 2x1 c 于是,有 2 x1 c - 21 = 2c x1 , 22x1 c 2x1 c 2即 2cos F1 - 1 = cos 2 F1 = cos A, A, F1 是 APF1 中的内角,且 F1 是锐角,故有 2 F1 = A, 即 PA F1= 2PNF1, 所以 = 2 时,能使得双曲线在第一象限内全部点均有 PA F 1 = 2 PF1A 设点 P x1 , y