高中数竞赛专题之数列

1、- 高中数学竞赛专题之数列 一,数列的性质 等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列, 主要性质及内容对比争辩如下： 也是各年高考, 竞赛的重点, 现将它们的 性质 1：如 a1 , a2 , , a n , 是等差（等比）数列,那么 ai , ai j , , ai kj , 仍是等差（等 比）数列； k k j l,那么 k ailk ajl （脚标和相同就对应的 性质 2：如 an 为等差数列,且 i ll 1 l 1 l 1 l 1 k a jl （脚标和相同就对 k i lk j l,那么 k ail 项的和相同）；如 an 为等比数列,且 应的项的积相同） ； l 1 l 1 l

2、 1 l 1 性质 3：如 an 为等差数列,记 S1 k k k ai , S 2 ai k, , Sm ai m 1 k , ,那么 Sm 仍为等差数列, an 为等比数列, i 1 i 1 i 1 , Pm k ai m 1 k , 记 P1 k ai , P2 k ai k , l 1 l 1 l 1 那么 Pm 仍为等比数列； 性质 4：如 an 为等比数列,公比为 q,且 |q| 1,就 lim S n a1 ； 2n , n 1 q 例 1,如 an , b n 为等差数列,其前 n项和分别为 Sn ,Tn ,如 Sn Tn 3n 1 ） 就 lim an （ ） B. 6 C.

3、 2 D. 4 n bn 3 3 9 例 2,等差数列 an 的前 m 项和为 30 ,前 2m 项和为 100 ,就它的前 3m 项的和为（ B. 170 C. 210 例 3, an , bn 为等差数列,其前 n 项和分别为 Sn ,Tn ,如 Sn 3n 31 Tn 31n 3 b28 （1）求 的值, （ 2）求使 bn 为整数的全部正整数 n； a 28 a n 第 1 页,共 11 页- - 例 4,在等差数列 an 中,如 a10 0 ,就有等式 a1 a 2 an a1 a2 a19 n , n 19, n N 成立,类比上述性质,相应地： 在等比数列 b n 中,如 b9

4、1,就有等式 成立； 例 5,一个正数,其小数部分,整数部分和其本身成等比数列,就该数为 ； 只取 0 或 例 6,设 十进制） 位纯小数 0. | 1, 1,2, , 1 , M n n a1 a2 an ai i n an Tn 是 M n 的元素个数, Sn 是全部元素的和,就 lim Sn ； n Tn 例 7,设 A=1,2, . n, Sn 是 A 的全部非空真子集元素的和, Bn 表示 A 的子集个数,求 Sn lim 2 的值； n n B n 例 8 , 设 数 列 an 的 前 n项 和 为 Sn 2an 1, n 1,2, , 数 列 b n 满 足 b1 3, bk 1

5、 ak bk , k 1,2, ,求数列 bn 的前 n 项和； 方法：第一找出 a n 的通项式,在找出 b n 的通项式 2 2 2 例 9,设 an 为等差数列, bn 为等比数列,且 b1 a1 , b2 a2 , b3 a3 , a1 a2 , 又 lim b 1 b2 bn 2 1 ,试求 an 的通项公式； n 例 10 ,设 Sn 是等差数列 a n 的前 n 项和,且 Sn 3an 1, n N ,数列 bn 的通项 2 式为 bn 4n 3, （ 1）求数列 an 的通项公式, （ 2）如 d a1 , a2 , an , b 1 , b 2 , b n , ,就称 d 为

6、数列 an 与 b n 的公共项, 按它们在原数列中的先后次序排成一个新的数列 d ,证明： d 的通项公式为 d n 32n 1 , n N ； 第 2 页,共 11 页- - 例 11 , n 2n 4 个正数排成 n 行 n 列： a11 , a 12 , a 13 , a1n a 21 , a 22 , a 23 a2n a , a , a , a n1 n2 n3 nn 其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且全部的公比相等,已知 a24 1, a 42 1 , a 43 3 ,求 a11 + a22 + a 33 + ann 的值； 8 16 作业： 1,将正奇数集合

7、1 ,3, 5, . 由小到大按 n 组有 2n-1 个奇数进行分组： 1 ,3 , 5, 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 . .,就 1991 位于 组中； 2 , 在 等 差 数 列 an 中 , 公 差 d 0 , a2 是 a1 与 a4 的 等 比 中 项 , 已 知 数 列 a1 , a 3 , ak1 , ak 2 , , a kn , 成等比数列,求数列 kn 的通项公式； 2 3,设正数数列 an 中意 2 S n an 1,bn an 2an 3 ,（ 1）求数列 an 的通项公式, （ 2）设 M am 2 bn 2 m2 n2 2am bn mn ,

8、试求 M 的最小值； 二,数学归纳法 数学归纳法在确定程度上考察了以下才能： （ 1）从整体上直接领悟数学对象本质的才能； （ 2）从数学问题,数式结构,数式关系中洞悉对象本质的才能； （ 3 ）从解题思路和问题结果中 领悟数学本质的才能； 第一数学归纳法： 设 Tn 是一个关于自然数 n 的命题, 中意以下条件：（ 1 ） T 1 是成立的, （ 2）假设 T k 成立能推出 T k 1 成立,就命题对一切自然数 n 都成立； 其次数学归纳法： 设 Tn 是一个关于自然数 n 的命题, 中意以下条件：（ 1 ） T 1 是成立的, （ 2）假设 T 1 ,T 2 ,. T k 成立能推出 T

9、 k 1 成立,就命题对一切自然数 n 都成立； 解题思维过程：尝试观看归纳,猜想证明,即从特殊关系中概括一般规律, 建立猜想,给出严格证明； 第 3 页,共 11 页- - 解题策略：从数学问题,数式结构,数式关系,解题思路和问题结果等特点去摸索问题； 例 1,已知对任意自然数 n n ,求证 an n （ 1989 年高中） n,有 an 0 且 a3j a 2例 2,用 Sn 表示 1,2,3, j 1 j 1 1 4 n2 2n 的各数的最大奇数因子之和,求证：Sn3 例 3,设 an 是正数数列且中意 Sn 1 an1 ,求数列 an 的通项公式； 2 an 方法：尝试观看归纳,猜想

10、证明 例 4,已知数列 xn 中意： x1 1,当 n 1 时, 有 4 x1 xn 2x2 xn 13x 3 xn 2 nxn x 1） n 1 x 1 x 2 x 2 x3 xn xn 1 ,试求 数列 xn 的通项公式；方法：尝试观看归纳,猜想证明 例 5 ,一个数列 V n 定义如下： V0 2, V 1 5,Vn 1 2 Vn Vn12 V 1 , n 1 ,证明： 2 1 2 n 1 n 对于自然数 n,有 Vn 2方法：变化形式 3；这里 V n 表示不超过 V n 的最大整数；（ IMO18-6 ） 例 6,设数列 an 中意： a1 1 a, a n 1 1 a ,这里 0

11、a 1 ,求证：对全部的自然 an 数 n,有 an 1 ；（ 1977 年加拿大数学奥林匹克） an 1 , 例 7,已知 a1 , a2 , an 是 n 个正数且中意 a1 a2 求证： （ 2 a 1）（ 2 a2）（ 2 a n） 3 n ,试证：对每一个自然数 n,有 例 8,已知 a, b 是正实数,且中意 111 a b a b na nbn 2 2 n 2n 1第 4 页,共 11 页- - 三,递推数列,热点问题是求递推数列的通项公式 1,转化：最常见的转化为等差（等比）数列的通式和求和 类型： ,化归成 （ 1） an aa n 1 b an a an 1 型； （ 2

12、） an 1 can d b n,化归成 an b n can 1 b n 1 型； （ 3） an ca n 1 d b n r ,化归成 an bn u ca n 1 bn 1 u 型； （ 4） an pan 1 cn d ,化归成 a n n u pa n 1 n 1 u 型； （ 5） an ca n 1 ,化归成 1 1 d 型； da n 1 c an an 1 c （ 6） an pa n 1 qa n 2 型 例 1,已知数列 xn 中意： x1 1, xn xn 1 ,且 4x n xn 1 xn x n 1 1 ,试求数列 xn 2的通项公式；方法：开方转化成等差数列的形

13、式 例 2,设数列 an 中意： a1 1, an 1 3an 4 ,求 a n 的通项公式； 例 3,设数列 an 中意： a1 a2 1, a n 21 an , n 1,2, ,求 a2022 ；an 1 例 4,设数列 an 中意： a1 1, n 1 an 1 a nn ,求 a2022 ； 2,变换（代换） ：三角代换,代数代换 例 1,已知 a0 a1 2 , a n 1 a n 1 ,求 an ；方法：观看特点,联想到正切公式 例 2,数列 an 中意： 1 a n 1 1, a n 1 11 4a n 1 24a n ,求 an 16 方法：含根式,通过代换转化为不含根式的递

14、推式 例 3,设 a1 , a2 , an 中意关系式 （3 a n 1 6 an 18, 且 a0 3 ,就 n 1 i 0 ai 第 5 页,共 11 页- - 方法：倒数关系不易求解,通过代换转化为熟识的形式 例 4,给定正整数 n 和正数 M ,对于中意条件： a12an2 1 M 的全部等差数列 a1 , a 2 , an , 试求 S an 1 an 2 a2 n 1 的最大值；方法：依据特点,三角代换 3,特点方程及特点根求解递推式 对于二阶线性递推数列数列 xn 中意： xn 2 ax n 1 bxn 0 .（ 1）其中 a,b 为常数,如 有等比数列 x n 中意等式（ 1）

15、,就 x 必中意相应的方程： f x x 2 ax b 0 . （. 2）, 称此方程（ 2 ）为（ 1）的特点方程； 数列 xn 的通项公式与特点方程的根有如下关系： a 2 b 2 q1 , q2 q n 2 n 1当 4 0 时,方程（ ）有两个不相同的实数根 ,就数列 , q 均是（ ） 的解,并且对任意常数 c1 , c2 有 c1 q1 n c2 q2 n 也是（ 1）的解（通解）, c1 , c 2 由初值确定； 当 a2 4 0 b 时,方程（ 2）有两个相同的实数根 q 1 q 2 ,就数列 q 1 n , nq1 n 均是（ 1） 的解,并且对任意常数 c 1 , c2 有

16、 c 1q1 n c2 nq 1 也是（ 1）的解（通解）, c1 , c 2 由初值确定； na 2 b 2 q1 , q2 q1 n 2 n 1当 4 0 时,方程（ ）有两个共轭复根 ,就数列 , q 均是（ ）的解, 并且对任意常数 c1 , c 2 有 c 1q1n c2 q2 也是（ 1）的解（通解） , c1 , c2 由初值确定； n例 1, 求斐波那锲数列 xn 的通项公式： x0 x1 1, x n 2xn 1xn ； 方法：利用特点方程求解 注：设数列 x n 是 k 阶线性递推数列, 其特点方程为 f x 0 ,设其前 n 项的和 Sn ,就 Sn 是 k+1 阶线性递

17、推数列,其特点方程为 x 1 f x 10 3xn 2 , n 3 ,求此数列的前 n 项 例 2,已知数列 xn 中意： x1 1, x 2 7, xn 2x n 和； 第 6 页,共 11 页- - 例 3,设数列 an , bn 中意： a0 1, b 0 0 且 an 1 7an 6b n 3 （ n 0 , bn 1 8an 7bn 4 求证： an 是完全平方数（ n=0,1,2, .）方法：将其转化为只与 an 有关的递推式 4,利用函数不动点原理求解数列通项公式 定理 1：设 f x ax b, a 0,1 ,数列 an 由初始值 a0 f x 0 及 an f an 1 确定

18、, 那么当且仅当 x0 是 f x 的不动点时,数列 a n x0 是公比为 a 的等比数列； 定理 2：设 f x ax bc 0, ad bc 0 数列 an 由递推关系 an f an 1 确定, cx d 设函数 f x 有两个不动点 x 1 , x 2 ,就： an x1 a cx 1 （ 1）当 x1 x2 时,就数列 是等比数列,公比为 ； an x2 a cx2 （ 2）当 x1 x2 时,就数列 1 是等差数列,公差为 2c ； an x1 a d 例 1,设数列 an 中意： 2 an a n1 1, n N ,求证： lim a n 1 ； n 例 2 ,设数列 an 中

19、意： 3a n 1a n 4, n 1, a 19 ,前 n项和为 S n ,就中意不等式 | Sn n 6 | 1 的最小整数 n= ； 125 例 3,设正数列 a1 , a2 , a n 中意 a a a an n 2 n 1 n 2 2 an 1 , 2 ,且 a0 a 1 1 , n 求数列 a n 的通项公式；方法：变形,转化形成熟识结构 例 4,运动会连续开了 n 天,一共发了 m 枚奖牌,第一天发 1 枚加上剩下的 1,其次天发 2枚加上剩下的 1,以后每天均按此规律发放奖牌,在最终一天,即第 7 n 天发 n 枚而无剩余, 7第 7 页,共 11 页- - 问运动会开了几天？

20、共发多少枚奖牌？ 5,利用高阶差分数列求数列通式 定义 1：（差分数列）对于数列 an ,称 a n a n 1 a n n 1,2,3 为 an 的一阶差分, a n 为 数 列 a n 的 的 一 阶 差 分 数 列 ； 数 列 a n 的一阶差分： 2anan 1 an n 1,2,3 ,称 2 an 为数列 an 的的二阶差分数列； 一般地,称 k an k 1 an 1 k 1 an n 1,2,3 为 a n 的 k 阶差分,称 k an 为数列 an 的的 k 阶差分数列； 例 1,求数列 0 , 1 ,4, 11 , 26 , 57 , . 的通项公式； 例 2,求数列 -2

21、, 1 , 7, 16, 28 ,. 的通项公式； 定义 2（高阶等差数列）如数列 an 的的 k 阶差分数列 ka n 是一个非零常数列,而 k+1 阶差分数列 k 1 an 是一个零常数列,就称 an 的的 k 阶等差数列； m 定理 1：设 an 是 m阶等差数列,就 an Cn i1 ia1 ,商定 C nm0, m n ； i 0 定理 2：数列 an 是 m 阶等差数列的充要条件是 na n是一个关于 n 的 m 次多项式； 定理 3,数列 an 是 m 阶等差数列,它的前 项之和为 Sn ,就 Sn 是 m+1 阶等差数列, m 1 且 Sn C ni i a1 i 1 n 例

22、3,求 k 4的求和公式,并给出证明； 1, 其中 an 0, f n 为关于 n 的函数, 就此一 k 1 定理 4 ：给定 a1 ,且 an 1an f n, n 阶非线性齐次递推数列所确定的数列的通项公式为： n 1 a1 n n 1 f k k 1 k 1 例 4,已知数列 an 中意： a1 1, a n 2a n 1 n 2, n 2 ,求数列 an 的通项公式； 第 8 页,共 11 页- - 例 5,已知数列 an 中意： a1 1, a n 1 2an n2 ,求数列 a n 的通项公式； 四,数列的性质（反证法,周期性,有界性,整数性） 1,数列中的反证法问题 例 1,设等差数列 a n 包含 1 和 2 ,证明：数列 a n 中任意三项均不构成等比数列； 例 2,设 f n 是定义在自然数集且取自然数值的严格递增函数, f 2 2 ,当 m, n 互质时, 有 f mn f m f n ,求证：对任意自然数 1n,都有 f n n ； ,求证：对一切自然数 例 3,数列 an 为正数数列,中意条件 （ ak k a k 1, k 1,2, k, ak