六同第三讲直线型面积计算

1、,.第三讲直线型面积计算教课目的：1.掌握等量代换和割补法的性质与特色2.灵巧运用这两种方法决求直线型图形的面积。3.培育学生剖析问题解决问题的能力教课重难点：割补法在求图形面积中的应用。教课方法：讲练教课器具：讲义教课过程:一、故事导入一位农民请了工程师、物理学家和数学家来，想用最少的篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆围出一个圆，声称这是最优设计。物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线，以为围起半个地球总够大了。（讲到这里，老师们能够停下来问问同学们还有更好的方法吗？让学生们畅所欲言）揭晓答案，数学家好好嘲讽了他们一番。他用极少的篱笆把自己围起来，而后说：“我此刻是在外面。”师：这个故事告诉我们想

2、问题不可以故步自封，而要把思路发散开来。就像我们同学从3年级开始就已经学习了长方形、正方形、梯形、三角形等图形，关于他们的面积公式必定是熟记于心。（这里能够带着学生复习一下边积公式：长方形S=ab；正方形S=aa；梯形S=(a+b)h2；三角形S=ah2。另外老师能够准备一些规则以及不规则的图形卡片，指引学生发现生活中实质有好多平面图形其实不是规则的图形，那么我们该怎样来求它们的面积呢？这就需要必定的方法了）下边就随着老师走进今日的数学讲堂，学完今日的内容大家就会豁然爽朗了！那么我们一同来学习-直线型面积计算二、新课学习,.例1：（原例3）、已知长方形ABCD的面积是40平方厘米，AE=5cm

3、，求BD的长。DCE5cmAB分析：能够很简单发现BD是三角形ABD的一条边，又因为AE为BD的高，那么在已知高的状况下怎样求底边？利用公式三角形S=ah2变形得a=s2h。能够求得BD。三角形ABD的面积：402=20平方厘米BD的长：2025=8厘米小结：此题采纳公式变形的方法计算出结果，称之定义法。例2：（原例1）、三角形ABC的面积为36平方分米,DC=2BD,求暗影部分的面积。ABDC分析：由题意DC=2BD，能够理解成BD被分红3份，BD占1份，DC占2份，又因为三角形ADC和三角形ABD等高，因此三角形ADC是三角形ABD的2倍。36（1+2）2=24平方分米过渡：来看下一个例题

4、可不可以够用这个方法呢？例3、如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，AE=3ED，三角形ABC的面积为96平方厘米，求阴影部分。,.AEBDC分析：D为三角形ABC的底边BC的中点，BD=CD，并且三角形ABD和ADC等高，因此三角形ABD和ADC面积相等。也能够理解为AD把三角形ABC分红了面积相等的两部分，三角形ABD占一份。同样的，在三角形ABD中，底边AD上有这样的关系-AE=3ED，说明AD被分红了4平分，ED占一份，AE占3份，即三角形ABD被分红了面积相等的4部分，三角形ABE占3份。SABD=962=48平方厘米4843=36平方厘米小结：经过以上两个例题，我们知道了同高三角

5、形面积的份数关系等于底的分数关系（因为有些学生不知道比，因此老师们能够视班里学生状况总结）下边我们看下练习7练习：以下列图，已知在三角形ABC中，BE=3AE，CD=2AD。若三角形ADE的面积为1平方厘米。求三角形ABC的面积。AAEEDDBCBC分析：这一题和方才的两题就有点差别了，题目中给出了边的份数关系和小三角形ADE的面积。我们要求大三角形ABC的面积。连结BD，我们仍是从大三角形开始剖析：CD=2AD，说明AC被分红了3等份，CD占2份，即三角形ABC被分红了面积相等的3等份，三角形ABD占一份；BE=3AE,说明AB被分红,.了4等份，AE占一份，即三角形ABD的面积被分红了4等

6、份，三角形ADE占一份。这样我们就找到了SADE与SABC的关系。1（3+1）=4（平方厘米）4（2+1）=12（平方厘米）例4、下列图是由大、小两个正方形构成的，小正方形的边长是4厘米，大正方形边长为5厘米，求三角形AABC的面积。ABBFECDFECD分析：这个题目只有小正方形的边长是已知的，而三角形ABC中有一部分在小正方形中，还有一部分在大正方形中。假如我们能经过等量代换把三角形ABC所有都变换到小正方形中就好解决了。连结AD，明显ADBC,接下来怎么转变呢？我们把梯形ABCD独自取出来议论，ABFDC发现，三角形ABD和ACD有公共的底AD，且它们的高相等（因为ADBC）。因此，SA

7、BD=SACD，而这两个三角形有一个公共的部分-三角形ADF，依据我们前面讲的，等式两边都减去SADF后所得结果仍旧相等，联系图形，即SABF=SCDF。这是有名的蝶形定理中的一个性质。而后，我们就能够把三角形ABC所有转变到小正方形中了，SABC=SBCD。SABC=SBCD=442=8（平方厘米）答：三角形ABC的面积为8平方厘米。,.小结：这一题我们连结AD，利用两个正方形的对角线，找出一个梯形，而后再进行等量代换。把三角形ABC中的ABF割下来补到三角形CDF中，这样就用到了我们今日要学习的第二种方法-割补法，把不能直接求的面积转变为能够求的面积。这一题还要注意蝶形定理的运用。例5：两

8、个相同的直角三角形以下列图所示（单位：厘米）重叠在一同，求暗影部分的面积.ADB3OC2EF10分析：先看一个简单的加减法算式13=5+8，假如等式的两边都减去3，结果还会不会相等呢？（发问）其实这里面隐含着一个很重要的性质-两个相等的量同时减去一个相同的量，所得结果仍旧相等，简称同减。此刻我们来看这一题，暗影部分的面积不可以直接求出，能够转变为ABC与DOC的面积差。ABC和DEF是相同的三角形，因此SABC=SDEF；从图中看出，DOC是ABC和DEF的公共部分。依据我们前面的剖析，能够得出SABC-SDOC=SDEF-SDOC，因此S阴=SOEFC。SOEFC=（10+7）22=17（平

9、方厘米）答：暗影部分的面积为17平方厘米。例6、以下列图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下地长9厘米的等腰梯形（暗影部分）。求这个梯形的面积。,.分析：已知条件只给出了大、小两个直角三角形的斜边长，但是求三角形的面积需要知道直角边长，怎么办呢？能不可以想方法把直角边转变为直角边呢？题目所给的三角形特别特别，等腰直角三角形，其底角为45度。我们将这个三角形沿着此中一条直角边旋转180度，以后获得下列图：ADBEFC我们发现，三角形ABC和DEF仍旧是等腰直角三角形，且这两个三角形的面积能够直接得出。然后依据我们方才学习的等量代换的思想，能够计算出暗影部分的面

10、积，而后再得出题目所求。SABC=992=40.5（平方厘米）SDEF=552=12.5（平方厘米）S阴=40.5-12.5=28（平方厘米）S梯=282=14（平方厘米）这类方法我们利用了这里特别的45度角，除了利用补图形的方法外，还有没有其余方法呢？求三角形的面积需要知道底边长和对应边上的高，我们给这个等腰三角形作高，大家有没有什么发现呢？（引导学生，让他们学会利用等腰直角三角形特别的45度角）以下列图MN垂直于AC，三角形CNM和FHM也都是等腰直角三角形，MN=CN=AC2=4.5（厘米）MH=FH=CD2=2.5（厘米）HN=4.5-2.5=2（厘米）S梯=（5+9）22=14（平方

11、厘米）,.ADNHMFC小结：这一题我们有两种方法，都是利用了等腰直角三角形中特别的45度角，或许是旋转补图形，或许是作高。下边大家看练习题8练习：在下列图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（暗影部分）。已知梯形的面积为36平方厘米，上底为3厘米，求下底和高。分析：这一题和例题的条件很相像，不过例题中平行于底边剪掉一个三角形，而此题中则平行于一条直角边剪掉一个三角形。依据方才的学习，大家应当平等腰直角三角形中特别的45度角很有好感了！因为它对我们解题很有帮助。与例题近似，我们先补图形，以下列图：AEOFBDC我们发现，三角形AOF，AEF，ABC都是等腰直角三角

12、形。因为题目中告诉了直角梯形的上底，即OF=OE=3，AO=3，因此三角形AEF的面积可求。等腰梯形EFCB的面积也可求，这样就能求出三角形ABC的面积。依据三角形的面积计算公式，能够求出BC，AD，而后再求CD，OD，即下底和高。（3+3）32=9（平方厘米）362+9=81（平方厘米）,.BCAD2=CDAD=CDCD=81（平方厘米）CD=AD=9（厘米）OD=9-3=6（厘米）答：下底为9厘米，高为6厘米。例7、在下列图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。46分析：求矩形的面积我们一定知道其长和宽，而题目给出的条件与所求没有任何关系，因此我们要想方法把已知条件转变为我们能够用的量。

13、因为题目给出的是一个直角三角形，我们给它补一个相同的直角三角形，让它变为一个矩形，以下图：GADEFOBCH我们发现，在矩形ABCD中，三角形ABC和ACD相等；在矩形AEOG中，三角形AOG和AOE相等；在矩形CFOH中，三角形COF和COH相等。依据等量代换的思想，SABC-SCOH-SAOE=SACD-SCOF-SAOG，即SBEOH=SDFOG。矩形DOFG的面积能够有已知条件求出，因此得解。SBEOH=SDFOG=46=24,.小结：在这一例中，我们利用对称的思想补图形，而后再进行等量代换，得出题目所求。下边大家看练习题9，用近似的方法试一试看。练习：在下列图中，长方形AEFD的面积

14、是18平方厘米，BE长3厘米，求CD的长。CFDAEB分析：这一题和例题特别的近似，不过把已知和求解调动了。相同的，我们先要补图形，如图CHGDFMAEB和例题近似，在矩形ABGC中，三角形ABC和BGC相等；在矩形BEFM中，三角形BEF和BMF相等；在矩形CDFH中，三角形CDF和FHC相等。因此，SABC-SBEF-SCDF=SBGC-SBMF-SFHC，即SAEFD=SGMFHSGMFH=FMHF=BECDCD=183=6(厘米)过渡：是否是所有的图形问题都能够用这类对称的思想解决呢？（发问）接下来我们看例8。例8、在下列图中，平行四边形ABCD的边长长10厘米，直角三角形ECB的直角

15、边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。,.EFGADBC分析：相同的，我们先来看一个加法算式10=8+2，此刻我在等号的两边同时加上4，所获得的新式子仍然相等吗？在这个变化过程中相同的包括一个重要的性质-两个相等的量同时加上一个相同的量，所得结果仍旧相等，简称同加。此刻我们看这一题，平行四边形的面积没方法直接求出，能够转变为暗影部分与梯形FGCB的和。由已知条件，有这样的等量关系：S阴=SEFG+10。由前面剖析的性质，假如在等式的两边同时加上梯形FGCB的面积，等式仍旧建立，即SFGCB+S阴=SFGCB+SEFG+10。联系图形

16、，我们发现，等式的左侧是平行四边形ABCD的面积，右边的（SFGCB+SEFG）是三角形BEC的面积，即SABCD=SBEC+10。SABCD=1082+10=50（平方厘米）答：平行四边形的ABCD的面积为50平方厘米。小结：例8中的图形面积都不可以直接求出，我们经过转变为其余可求的图形才得以解决，这叫做等量代换，即一个量能够用它相等的量来取代。此外，在这两个例题中我们用到了两条重要的性质：两个相等的量同时减去一个相同的量，所得结果仍旧相等；两个相等的量同时加上一个相同的量，所得结果仍旧相等。这在此后的学习中也常常会用到，大家要掌握。下边我们看下练习10。练习：在下列图中，AB=8厘米，CD

17、=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米。求ED的长。,.DCEFAB分析：由已知得出等量关系，SAFB=SEFD+18，因此SAFB+SBCDF=SBCDF+SEFD+18，联系图形，发现等式左侧就是直角梯形ABCD的面积，右侧的（SBCDF+SEFD）就是直角三角形BEC的面积，即SABCD=SBEC+18。而直角梯形ABCD的面积我们能够直接求出，从而计算出三角形BEC的面积，而后依据三角形的面积计算公式求出CE的长，最后计算ED的长。SABCD=（4+8）62=36（平方厘米）SBEC=36-18=18（平方厘米）SBEC=BCCE2CE=1826=6(厘

18、米)ED=6-4=2(厘米)答：ED的长为2厘米。总结：今日这节课但是大丰产，学习了好多解决直线型面积计算的方法，比方利用公式的变换、割、补、对称、等量代换等思想，课后要好好复习，并把方法运用到实质计算中去。好吗？家庭作业练习题1，2，3，4，5、6板书设计直线型面积计算长方形S=ab正方形S=aa梯形S=(a+b)h2,.三角形S=ah2等量代换：同减；同加割补法：蝶形定理；等腰直角三角形45度角；一半模型；份数课后反省：练习稳固：1、（1）一块长方形草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草（暗影部分）的面积。15-1）（10-1）=126平方米（2）已知：ABCD是长方形，AB4，BC6，AE3，CF1。（单位：厘米）求暗影部分的面积。ABEDFC342+362=15连BD平方厘米（3）、已知：在四边形AECF中，AE和EC垂直，CF和AF垂直。AE8，AB7，CD4，CF10。（单位：厘米）求：暗影部分的面积。,.BFAEDC连AC842+7102=51平方厘米2、在直角三角形ABC中，AB=4cm,BC=3m,AC=5cm。求AC边上的高BE的长。CE35B4A厘米435=2.43、以下列图，已知在ABC中，BE3