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文档简介
1、第二章 一阶微分方程初等解法 第1页第1页2.1 变量分离方程与变量变换先看例子：第2页第2页一、变量分离方程求解这样变量就“分离”开了.第3页第3页定义1形如方程,称为变量分离方程.第4页第4页例：分离变量:两边积分:第5页第5页注:例1求微分方程所有解.解:积分得:第6页第6页故方程所有解为:第7页第7页解:分离变量后得两边积分得:整理后得通解为:例2求微分方程通解.第8页第8页例3求微分方程解:将变量分离后得两边积分得:由对数定义有第9页第9页即故方程通解为第10页第10页例4解:两边积分得:因而通解为:再求初值问题通解,因此所求特解为:第11页第11页第12页第12页二、可化为变量分离
2、方程类型（I）齐次方程 第13页第13页(I) 形如方程称为齐次方程,求解办法:第14页第14页例4求解方程解:方程变形为这是齐次方程,即将变量分离后得第15页第15页两边积分得:即代入本来变量,得原方程通解为第16页第16页例5求下面初值问题解解:不妨设x0,方程变形为这是齐次方程,将变量分离后得第17页第17页两边积分得:整理后得变量还原得故初值问题解为第18页第18页(II) 形如方程可通过变量变换化为变量分离方程.分三种情况讨论为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.第19页第19页这就是变量分离方程第20页第20页作变量代换(坐标变换)则方程化为为 (1)情形,可化为变量分离方程求解
3、.第21页第21页解环节:第22页第22页例6求微分方程通解.解:解方程组第23页第23页将变量分离后得两边积分得:变量还原并整理后得原方程通解为第24页第24页注:上述解题办法和环节适合用于更普通方程类型.另外,诸如第25页第25页以及例7求微分方程通解.第26页第26页解:代入方程并整理得即分离变量后得两边积分得变量还原得通解为第27页第27页三、应用举例例8、雪球融化 设雪球在融化时体积改变率与表面积成百分比，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时半径为6cm，通过2小时后，其半径缩小为3cm，求雪球体积随时间改变关系。解:依据球体体积和表面积关系得第28页第28页分离变量并积分得方程通解为由初始条件得代入得雪球体积随时间改变关系为第29页第2
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