福建省龙岩第二中学2022年高二数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题

2、卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1下列四个命题中，其中错误的个数是（）经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个大圆；经过球直径的三等分点，作垂直于该直径的两个平面，则这两个平面把球面分成三部分的面积相等；球的面积是它大圆面积的四倍；球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上，以这两点为端点的劣弧的长A0B1C2D32已知方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）ABCD3若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为( )ABCD4已知函数，若，则的大小为（ ）ABCD5已知集合，则为（ ）ABCD6已知有相同两

3、焦点F1、F2的椭圆+ y2=1和双曲线- y2=1，P是它们的一个交点，则F1PF2的形状是（ ）A锐角三角形B直角三角形C钝有三角形D等腰三角形7在三棱锥中，点为 所在平面内的动点，若与所成角为定值，则动点的轨迹是A圆B椭圆C双曲线D抛物线8已知，则下列不等式一定成立的是（ ）ABCD9若x（0，1），alnx，b，celnx，则a，b，c的大小关系为（）AbcaBcbaCabcDbac10已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率是（ ）ABCD11已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为ABCD12已知，则展开式中，项的系数为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题

4、，每小题5分，共20分。13有一个容器，下部分是高为的圆柱体，上部分是与圆柱共底面且母线长为的圆锥，现不考虑该容器内壁的厚度，则该容器的最大容积为_14如图1，在棱长为的正方体中，P、Q是对角线上的点，若，则三棱锥的体积为 _15已知函数f(x)满足：f(1)2，f(x1)，则f(2018)= _.16已知向量，若与垂直，则实数_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数.（1）讨论在上的单调性；（2）若，求正数的取值范围.18（12分）已知.（1）当时，求的展开式中含项的系数；（2）证明：的展开式中含项的系数为.19（12分）已知复数，且为纯虚数，求

5、.（其中为虚数单位）20（12分）动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设.（）求点的轨迹的方程；（）设点，过点的直线交轨迹于两点，直线的斜率分别为，求的最小值21（12分）已知函数.（1）若函数的图象在处的切线过点，求的值；（2）当时，函数在上没有零点，求实数的取值范围；（3）当时，存在实数使得，求证：.22（10分）在中，分别为内角的对边，已知 () 求；（）若，求的面积参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】结合球的有关概念:如球的大圆、球面积公式、球面距离等即可解决问题,对于球的大圆、球面积公式、球面

6、距离等的含义的理解,是解决此题的关键.【详解】对于,若两点是球的一条直径的端点,则可以作无数个球的大圆,故错;对于三部分的面积都是，故正确对于,球面积=,是它大圆面积的四倍, 故正确;对于,球面上两点的球面距离,是这两点所在大圆上以这两点为端点的劣弧的长,故错.所以错误.所以C选项是正确的.【点睛】本题考查球的性质,特别是求两点的球面距离,这两个点肯定在球面上,做一个圆使它经过这两个点,且这个圆的圆心在球心上,两点的球面距离对应的是这个圆两点之间的对应的较短的那个弧的距离.2、A【解析】分析：由于是偶函数，因此只要在时，方程有2个根即可用分离参数法转化为求函数的极值详解：由于是偶函数，所以方程

7、有两个根，即有两个根设，则，时，递增，时，递减，时，取得极大值也是最大值，又时，时，所以要使有两个根，则故选A点睛：本题考查方程根的分布与函数的零点问题，方程根的个数问题常常转化为函数图象交点个数，如能采用分离参数法，则问题转化为求函数的单调性与极值或值域3、B【解析】若原命题为假，则否命题为真，根据否命题求的范围【详解】由题得，原命题的否命题是“，使”，即，解得选B.【点睛】本题考查原命题和否命题的真假关系，属于基础题4、C【解析】对函数求导，确定函数的单调性，然后确定这三个数之间的大小关系，最后利用函数的单调性判断出的大小关系.【详解】，所以是上的增函数.，所以，故本题选C.【点睛】本题考

8、查了利用导数判断出函数的单调性，然后判断函数值大小关系.解决本题的重点是对指数式、对数式的比较，关键是对指数函数、对数函数的单调性的理解.5、C【解析】分别求出集合M，N，和，然后计算.【详解】解：由，得，故集合由，得，故集合，所以故选：C.【点睛】本题考查了指数函数的值域，对数函数的定义域，集合的交集和补集运算，属于基础题.6、B【解析】根据椭圆和双曲线定义：又；故选B7、B【解析】建立空间直角坐标系，根据题意，求出轨迹方程，可得其轨迹.【详解】由题，三棱锥为正三棱锥，顶点在底面的射影是底面三角形的中心，则以为坐标原点，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得，设为平面内任

9、 一点，则 ，由题与所成角为定值，则 则 ，化简得 ， 故动点的轨迹是椭圆.选B【点睛】本题考查利用空间向量研究两条直线所成的角，轨迹方程等，属中档题.8、C【解析】构造函数，原不等式等价于两次求导可证明在上递减，从而可得结论.【详解】由题意，设，设，在单调递减，且，,所以在递减，故选C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于难题.利用导数判断函数单调性的步骤：（1）求出；（2）令 求出的范围，可得增区间；（3）令求出的范围， 可得减区间.9、A【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【详解】x（0，1），alnx0，b（）lnx（）01，0celnxe01，a，b，c的大小

10、关系为bca故选：A【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10、C【解析】分析：由题意，双曲线的焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，求得，利用离心率的公式，即可求解双曲线的离心率详解：由题意，双曲线的焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，即，所以双曲线的离心率为，故选C点睛：本题主要考查了双曲线的离心率的求解问题，其中熟记双曲线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力11、A【解析】根据三视图可知几何体为三棱锥，根据棱锥体积公式求得结果.【详解】由三视图可知，几何体为三棱锥三棱锥体积为：本题正确选项：【点睛】本题考查

11、棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图确定几何体为三棱锥，且通过三视图确定三棱锥的底面和高.12、B【解析】=1，则二项式的展开式的通项公式为Tr+1=，令92r=3，求得r=3，展开式中x3项的系数为=，故选B【点睛】本题考查集合的混合运算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设圆柱底面圆的半径为，分别表示出圆柱和圆锥的体积，利用导数求得极值点，并判断在极值点左右两侧的单调性，即可求得函数的最大值，即为容器的最大容积.【详解】设圆柱底面圆的半径为，圆柱体的高为，则圆柱的体积为；圆锥的高为，则圆锥的体积，所以该容器的容积为则，令，即，化简可得，解得，当时，函数单调递增，

12、当时，函数单调递减，所以当时，取得最大值；代入可得，故答案为：.【点睛】本题考查了导数在体积最值问题中的综合应用，圆柱与圆锥的体积公式应用，属于中档题.14、【解析】棱锥的体积转化为的体积，求出底面积与高，从而可得结果.【详解】到平面的距离是面对角线的一半，即，到直线的距离即到直线的距离，棱锥的体积等于的体积，【点睛】本题主要考查锥体体积公式的应用，解题的关键是利用等积变换，将棱锥的底面积与高确定，属于基础题.15、-1【解析】由已知分析出函数f（x）的值以4为周期，呈周期性变化，可得答案【详解】函数f（x）满足：f（1）=2，f（x+1）=，f（2）=1，f（1）=，f（4）=，f（5）=2

13、，即函数f（x）的值以4为周期，呈周期性变化，2018=5044+2，故f（2018）=f（2）=1，故答案为：1【点睛】本题考查的知识点是函数求值，函数的周期性，难度不大，属于中档题16、-1【解析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k的方程，解方程即可求得实数k的值.【详解】由平面向量的坐标运算可得：，与垂直，则，即：，解得：.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调

14、区间即可；（2）求出f（x）的最大值，得到关于a的函数，结合函数的单调性求出a的范围即可详解：（1），当时，在上单调递减；当时，若，；若，在上单调递减，在上单调递增当时，在上单调递减；当时，若，；若，在上单调递减，在上单调递增综上可知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增（2），当时，；当时，即，设，当时，；当时，点睛：这个题目考查的是利用导数研究函数的单调性，用导数解决恒成立求参的问题；对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得

15、一个函数恒大于或小于另一个函数.18、（1）84；（2）证明见解析【解析】（1）当时，根据二项展开式分别求出每个二项式中的项的系数相加即可；（2）根据二项展开式，含项的系数为，又，再结合即可得到结论【详解】（1）当时，的展开式中含项的系数为（2），故的展开式中含项的系数为因为，所以项的系数为：.【点睛】本题考查二项式定理、二项展开式中项的系数的求法、组合数的计算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力19、【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义出复数，再代入目标式子利用复数的运算法则、模的计算公式即可得到答案【详解】复数，且为纯虚数即为纯虚数，解得，【点睛】本题考查了复数的运算法

16、则、纯虚数的定义、模的计算公式，考查对概念的理解、考查基本运算求解能力，属于基础题20、（）（）1【解析】（1）设Q（x，y），则P（x，2y），代入x2=2y得出轨迹方程；（2）联立直线AB方程与Q的轨迹方程，得出A，B的坐标关系，代入斜率公式化简|k1k2|，利用二次函数的性质求出最小值【详解】（）设点，则由得，因为点在抛物线上， （）方法一：由已知，直线的斜率一定存在，设点，联立得由韦达定理得 （1）当直线经过点即或时，当时，直线的斜率看作抛物线在点处的切线斜率，则，此时；当时，同理可得（2）当直线不经过点即且时， 所以的最小值为. 方法二：同上 故，所以的最小值为 方法三：设点，由直线

17、过点交轨迹于两点得： 化简整理得： ，令，则 【点睛】本题考查了轨迹方程的求解，直线与抛物线的位置关系，直线的斜率公式，属于中档题21、（1）；（2）或；（3）证明见解析.【解析】分析：（1）先根据导数几何意义得切线斜率，再根据两点间斜率公式列等式，解得的值；（2）先求导数，根据a讨论导数零点情况，再根据对应单调性确定函数值域，最后根据无零点确定最小值大于零或最大值小于零，解得结果，（3）先根据，解得，代入得，再转化为一元函数：最后利用导数证明h(t) 0成立.详解：（1）因为f (x)a，所以kf (1)1a， 又因为f(1)ab，所以切线方程为yab(1a)(x1)，因为过点(2，0)，所

18、以ab=1a，即2ab1. （2）当b0时，f(x)lnxax，所以f (x)a.10若a0，则f (x)0，所以f(x)在(，)上递增，所以f(x)f()1，因为函数yf(x)在(，)上没有零点，所以10，即ae；20若a0，由f (x)0，得x.当时，即ae时，f (x)0，f(x)在(，)上递减，所以f(x)f()10，符合题意，所以ae； 当时，即0ae时，若x，f (x)0，f(x)在(，)上递增；若x，f (x)0，f(x)在(，)上递减，所以f(x)在x处取得极大值，即为最大值，要使函数yf(x)在(，)上没有零点，必须满足f()ln1lna10，得a，所以ae.综上所述，实数a的取值范围是ae或a. （3）不妨设0 x1x2，由f(x1)f(x2)，得lnx1ax1blnx2ax2b，因为a0，所以. 又因为，f (x)在(0，)上递减，且f ()0，故要证，只要证，只要证，只要证，只要证 （*）， 令，记，则，所以h(t)在(1,+)上递减，所以h(t) h(1)=0，所以（*）成立，所以原命题成立. 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化