相似三角形难题集锦含

1、=WORD完好版-可编写-专业资料分享=一、相像三角形中的动点问题1.如图，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1AC动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动过点D作DHAB于H，过点E作EFAC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG设点D运动的时间为t秒1）当t为什么值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；2）当DEG与ACB相像时，求t的值2.如图，在ABC中，ABC90，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C挪动同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿C

2、B向点B挪动当此中有一点抵达终点时，它们都停止挪动设挪动的时间为t秒（1）当t=2.5s时，求CPQ的面积；求CPQ的面积S（平方米）对于时间t（秒）的函数分析式；（2）在P，Q挪动的过程中，当CPQ为等腰三角形时，求出t的值3.如图1，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，点D在边AB上运动，DE均分CDB交边BC于点E，EMBD，垂足为M，ENCD，垂足为N（1）当ADCD时，求证：DEAC；（2）研究：AD为什么值时，BME与CNE相像？4.以下图，在ABC发，沿着AB以每秒4cmCA以每秒3cm的速度向运动设运动的时间为（1）当x为什么值时，PQBC？中，BABC20cm，AC3

3、0cm，点P从A点出的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿A点运动，当P点抵达B点时，Q点随之停止-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=（2）APQ与CQB可否相像？若能，求出AP的长；若不可以说明原因5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度挪动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度挪动假如P、Q同时出发，用t（s）表示挪动的时间（0t6）。1）当t为什么值时，QAP为等腰直角三角形？2）当t为什么值时，以点Q、A、P为极点的三角形与ABC相像？二、结构相像协助线双垂直模型6.在平面直角坐标系xO

4、y中，点A的坐标为(2，1)，正比率函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45，求这个正比率函数的表达式在ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作ABD，使ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=在ABC中，AC=BC，ACB=90，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰巧落在边AB上的P点求证：MC：NC=AP：PB如图，在直角坐标上，边OC在y轴上，沿对角线AC翻折B轴于点E那么D点系中，矩形ABCO的边OA在x轴点B的坐标为（1，3），将矩形点落在D点的地点，且AD交y的坐标为（

5、）A.B.C.D.10.已知，如图，直线y=2x2与坐标轴交于A、B两点以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为12。求C、D两点的坐标。三、结构相像协助线A、X字型如图：ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。求证：12.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比率中项，且AC均分DAB。-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=求证：在梯形ABCD中，ABCD，ABb，CDa，E为AD边上的随意一点，EFAB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现以下事实：(1)当时，EF=；(2)当时，EF=；(3)当时，EF=

6、当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明已知：如图，在ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BEEFFC。求BN：NQ：QM-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=证明：（1）重心定理：三角形极点到重心的距离等于该极点对边上中线长的（注：重心是三角形三条中线的交点）（2）角均分线定理：三角形一个角的均分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比率四、相像类定值问题如图，在等边ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上随意一点，BD、CD的延伸线分别交AC、AB于点E、F求证：17.已知：如图，梯形ABCD中，AB

7、/DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF/AB分别交AD、BC于E、F。求证：-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=如图，在ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个极点分别在ABC上。求证：19.已知，在ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a求证：五、相像之共线线段的比率问题（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD上，向来线过点P分别交BA，BC的延伸线于点Q，S，交于点求证：（2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延伸线上时，能否仍旧建立？若建立，试给出证明；若不建立，试说明原因（要求仅以图2为例进行证明或说明）；-完好版

8、学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=已知：如图，ABC中，ABAC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CFAB，延伸BP交AC于E，交CF于F求证：BP2PEPF-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=如图，已知ABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延伸线于H。求证：DE2=EG?EH已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延伸线、AB的延伸线分别订交于点E、F、G、H.求证：24.已知，如图，锐角ABC中，ADBC于D，H为垂心（三角形三条高线的交点）；在A

9、D上有一点P，且BPC为直角求证：PD2ADDH。-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=六、相像之等积式种类综合已知如图，CD是RtABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延伸线交CA于F。求证：26如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DHBM且与AC的延伸线交于点E.求证：（1）AEDCBM；（2）27.如图，ABC是直角三角形，ACB=90，CDAB于D，E是AC的中点，ED的延伸线与CB的延伸线交于点F.（1）求证：.（2）若G是BC的中点，连结GD，GD与EF垂直吗？并说明原因.-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分

10、享=如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连结AE、CG,AE与CG订交于点M，CG与AD订交于点N求证：29.如图，BD、CE分别是ABC的两边上的高，过CE及BA的延伸线于F、H。求证：（1）DG2BGCG；（2）BGCGGFGHD作DGBC于G，分别交七、相像基本模型应用ABC和DEF是两个等腰直角三角形，A=D=90，DEF的极点E位于边BC的中点上（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：BEMCNE；（2）如图2，将DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延伸线交于点M，EF与AC交于点N，于是，-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=除（1

11、）中的一对相像三角形外，可否再找出一对相像三角形并证明你的结论如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q（1）请写出图中各对相像三角形（相像比为1除外）；2）求BP：PQ：QR32.如图，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F。求证：-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=答案：1.答案：解：（1）ACB=90，AC=3，BC=4-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=AB=5又AD=AB，AD=5tt=1，此时CE=3，DE=3+3-5=12）如图当点D在点E左边，即：0t时，

12、DE=3t+3-5t=3-2t若DEG与ACB相像，有两种状况：DEGACB，此时，即：，求得：t=；DEGBCA，此时，即：，求得：t=；如图，当点D在点E右边，即：t时，DE=5t-(3t+3)=2t-3若DEG与ACB相像，有两种状况：DEGACB，此时，即：，求得：t=；DEGBCA，此时，-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=即：，求得：t=综上，t的值为或或或答案：解：（1）证明：AD=CDA=ACDDE均分CDB交边BC于点ECDE=BDECDB为CDB的一个外角CDB=A+ACD=2ACDCDB=CDE+BDE=2CDEACD=CDEDEAC2）NCE=

13、MBEEMBD，ENCD，BMECNE，如图NCE=MBEBD=CD又NCE+ACD=MBE+A=90ACD=AAD=CDAD=BD=AB在RtABC中，ACB90，AC6，BC8AB=10AD=5NCE=MEBEMBD，ENCD，BMEENC，如图-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=NCE=MEBEMCDCDAB在RtABC中，ACB90，AC6，BC8AB=10A=A，ADC=ACBACDABC综上：AD=5或时，BME与CNE相像4.答案：解（1）由题意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，当PQBC时，即：解得：（2）能，AP=cm或AP=20cmAPQ

14、CBQ，则解得：或此时：AP=cm（舍），即APQCQB，则，即解得：（切合题意）此时：AP=cm故AP=cm或20cm时，APQ与CQB能相像-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=答案：解：设运动时间为t，则DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t1）若QAP为等腰直角三角形，则AQ=AP，即：6-t=2t，t=2（切合题意）t=2时，QAP为等腰直角三角形2）B=QAP=90当QAPABC时，即：，解得：（切合题意）；当PAQABC时，即：，解得：（切合题意）当或时，以点Q、A、P为极点的三角形与ABC相像答案：解：分两种状况第一种状况，图象经过第一、三

15、象限过点A作ABOA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BDAC则由上可知：90由双垂直模型知：OCAADBA（2，1），45OC2，AC1，AOABADOC2，BDAC1D点坐标为（2，3）B点坐标为（1，3）此时正比率函数表达式为：y3x第二种状况，图象经过第二、四象限-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=过点A作ABOA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BDAC则由上可知：90由双垂直模型知：OCAADBA（2，1），45OC1，AC2，AOABADOC1，BDAC2D点坐标为（3，1）B点坐标为（3，

16、1）此时正比率函数表达式为：yx答案：解：情况一：-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=情况二：情况三：-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=答案：证明：方法一：连结PC，过点P作PDAC于D，则PD/BC依据折叠可知MNCP2+PCN=90，PCN+CNM=902=CNMCDP=NCM=90PDCMCNMC：CN=PD：DCPD=DAMC：CN=DA：DCPD/BCDA：DC=PA：PBMC：CN=PA：PB方法二：如图，过M作MDAB于D，过N作NEAB于E由双垂直模型，能够推知PMDNPE，则，-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写

17、-专业资料分享=依据等比性质可知，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN，MC：CN=PA：PB答案：A解题思路：如图过点D作AB的平行线交BC的延伸线于点M，交x轴于点N，则M=DNA=90，因为折叠，能够获得ABCADC，又由B（1，3）BC=DC=1，AB=AD=MN=3，CDA=B=901+2=90DNA=903+2=901=3DMCAND，设CM=x，则DN=3x，AN=1x，DM3x3x，则。答案为A答案：解：过点C作x轴的平行线交y轴于G，过点D作y轴的平行线交x轴于F，交GC的延伸线于E。-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=直线y=2x2与坐

18、标轴交于A、B两点A（1,0），B（0,2）OA=1，OB=2，AB=AB：BC=1:2BC=AD=ABO+CBG=90，ABO+BAO=90CBG=BAO又CGB=BOA=90OABGBCGB=2，GC=4GO=4C（4,4）同理可得ADFBAO，得DF=2，AF=4OF=5D（5,2）答案：证明：（方法一）如图延伸AE到M使得EM=AE，连结CMBE=CE，AEB=MECBEACEMCM=AB，1=BABCMM=MAD，MCF=ADFMCFADFCM=AB，AD=AC-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=（方法二）过D作DGBC交AE于G则ABEADG，CEFDGF

19、，AD=AC，BE=CE答案：证明：过点D作DFAB交AC的延伸线于点F，则2=3AC均分DAB1=21=3AD=DFDEF=BEA，2=3BEADEFAD=DFAC为AB、AD的比率中项即又1=2-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=ACDABC答案：解：证明：过点E作PQBC分别交BA延伸线和DC于点P和点QABCD，PQBC四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形PBEFCQ，又ABb，CDaAPPB-ABEF-b，DQDC-QCa-EF答案：解：连结MFM是AC的中点，EFFCMFAE且MFAEBENBFMBN：BMBE：BFNE：MFBEEFBN：BMNE：

20、-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=MF1:2BN：NM1:1设NEx，则MF2x，AE4xAN3xMFAENAQMFQNQ：QMAN：MF3:2BN：NM1:1，NQ：QM3:2BN：NQ：QM5:3:2答案：证明：（1）如图1，AD、BE为ABC的中线，且AD、BE交于点O过点C作CFBE，交AD的延伸线于点FCFBE且E为AC中点AEOACF，OBDFCD，AC2AEEAOCAFAEOACFD为BC的中点，ODBFDCBODCFDBOCF同理，可证此外两条中线三角形极点到重心的距离等于该极点对边上中线长的2）如图2，AD为ABC的角均分线过点C作AB的平行线CE

21、交AD的延伸线于E则BAD=E-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=AD为ABC的角均分线BAD=CADE=CADACCECEABBADCED答案：证明：如图，作DPAB，DQAC则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且DPQ是等边三角形BP+CQMN，DPDQPQM、N分别是边AB，AC的中点MNBCPQDPAB，DQACCDPCFB，BDQBEC，DPDQPQBCABAB（）-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=17.答案：证明：EF/AB，AB/DCEF/DCAOEACD，DOEDBA，答案：证明：EFCD，EHAB，AFEADC，

22、CEHCAB，EFEH答案：证明：EFAC，DEBC，BFEBCA，AEDABC，EFDEa答案：（1）证明：在平行四边形ABCD中，ADBC，DRP=S，RDB=DBS-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=DRPBSP同原因ABCD可证PTDPQB2）证明：建立，原因以下：在平行四边形ABCD中，ADBC，PRD=S，RDP=DBSDRPBSP同原因ABCD可证PTDPQB答案：证明:ABAC，AD是中线，ADBC,BP=CP1=2又ABC=ACB3=4CFAB3=F,4=F-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=又EPC=CPFEPCCPFBP

23、2PEPF即证所求答案：证明：DEAB9090ADEDBEDE2=BFAC9090且BEGHEADE2=EGEH答案：证明：四边形ABCD为平行四边形ABCD，ADBC-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=1=2，G=H，5=6PAHPCG又3=4APECPF24.答案：证明：如图，连结BH交AC于点E，H为垂心BEACEBC+BCA=90ADBC于DDAC+BCA=90EBC=DAC又BDH=ADC=90BDHADC，即BPC为直角，ADBCPD2BDDCPD2ADDH答案：证明：CD是RtABC斜边AB上的高，E为BC的中点CE=EB=DEB=BDE=FDAB+CA

24、B=90，ACD+CAB=90B=ACDFDA=ACDF=FFDAFCD-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=ADC=CDB=90，B=ACDACDCBD即答案：证明：（1）ACBADC90AACD90BCMACD90ABCM同理可得：MDHMBDCMBCDBMBD90MBDADEADCMDH90MDHADECMBAEDCBM（2）由上问可知：，即故只要证明即可AA，ACDABCACDABC，即27.答案：（1）将结论写成比率的形式，能够考虑证明FDBFCD（已经有一个公共角F）RtACD中，E是AC的中点DE=AEA=ADEADE=FDBA=FDB而A+ACD=90F

25、CD+ACD=90A=FCD-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=FCD=FDB而F=FFBDFDC（2）判断：GD与EF垂直RtCDB中，G是BC的中点，GDGBGDB=GBD而GBD+FCD=90又FCD=FDB（1的结论）GDB+FDB=90GDEF答案：证明：由四边形ABCD、DEFG都是正方形可知，ADC=GDE=90，则CDG=ADE=ADG+90在和中则DAM=DCN又ANM=CNDANMCND则答案：证明：找模型。（1）BCD、BDG，CDG组成母子型相像。BDGDCGDG2BGCG（2）剖析：将等积式转变为比率式。BGCGGFGHGFC=EFH，而EF

26、H+H=90，GFC+FCG=90H=FCG而HGB=CGF=90HBGCFGBGCGGFGH30.答案：（1）证明：MEBNEC18045135MEBEMBNECEMB又B=CBEMCNE（2）COEEON证明：OEN=C45，COEEON-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=COEEON31.答案：解：（1）BCPBER，CQPDQR，ABPCQP，DQRABP2）ACDEBCPBER四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形AD=BC，AD=CEBC=CE，即点C为BE的中点又ACDECQPDQR点R为DE的中点DR=RE综上：BP：PQ：QR3：1：2答案：证

27、明：ADBC，DEABADBAEDAD2AEAB同理可证：AD2AFACAEABAFAC-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=反比率函数典型例题21、（2011?宁波）正方形的A1B1P1P2极点P1、P2在反比率函数y=x（x0）的图象上，极点A1、2B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右边作正方形P2P3A2B2，极点P3在反比率函数y=x（x0）的图象上，极点A2在x轴的正半轴上，则P2点的坐标为_，则点P3的坐标为_。答案：P2（2，1）P2（3+1，3-1）-完好版学习资料分享-=WORD完好版-

28、可编写-专业资料分享=2、已知对于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，且对于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0k1有实根，且k为正整数，正方形ABP1P2的极点P1、P2在反比率函数y=x（x0）图象上，极点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，求点P2的坐标6答案：（2，1）或（6，2）3、如图，正方形OABC和正方形AEDF各有一个极点在一反比率函数图象上，且正方形长为2（1）求反比率函数的分析式；（2）求点D的坐标OABC的边4答案：（1）y=x(2)(51,5-1)-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=364、两个反比率函数y=x，y=x在第一

29、象限内的图象以下图，点P1、P2在反比率函数图象上，3过点P1作x轴的平行线与过点P2作y轴的平行线订交于点N，若点N（m，n）恰幸亏y=x的图象上，则NP1与NP2的乘积是_。答案：3答案：3k（2007?泰安）已知三点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（1，-2）都在反比率函数y=x的图象上，若x10，x20，则以下式子正确的选项是（）答案：DAy1y20By10y2Cy1y20Dy10y21如图，已知反比率函数y=x的图象上有点P，过P点分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、B，使四边形OAPB为正方形，又在反比率函数图象上有点P1，过点P1分别作BP和y轴的垂线，垂足分别为A

30、1、B1，使四边形BA1P1B1为正方形，则点P1的坐标是_。51，5-1答案：221在反比率函数y=x（x0）的图象上，有一系列点P1、P2、P3、Pn，若P1的横坐标为2，且此后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2现分别过点P1、P2、P3、Pn作x轴与y轴的垂线段，组成若干个长方形以下图，将图中暗影部分的面积从左到右挨次记为S1、S2、S3、Sn，则S1+S2+S3+S2010=_。-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=答案：1k如图，四边形ABCD为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且OA=2，OB=4，反比率函数y=x(k0)在第一象限的图象经过正方形

31、的极点D求反比率函数的关系式；将正方形ABCD沿x轴向左平移_个单位长度时，点C恰巧落在反比率函数的图象上12y答案：（1）x（2）2如图，已知OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、均为等腰直角三角形，直角极点P1、P2、P3、4在函数y=x（x0）图象上，点A1、A2、A3、在x轴的正半轴上，则点P2010的横坐标为_。答案：2201022011-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=484两个反比率函数y=x，y=-x的图象在第一象限，第二象限如图，点P1、P2、P3P2010在y=x的图象上，它们的横坐标分别是有这样规律的一行数列1，3，5，7，9，11，过点P1、P2、8P3、P2010分别作x轴的平行线，与Q2010的横坐标是_。y=-x的图