教学部通信原理随机过程

1、教学部通信原理随机过程第1页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三随机过程的基本概念确定性过程其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述随机过程其变化过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。通信过程是信号和噪声通过通信系统的过程。而通信系统中遇到的信号和噪声总带有随机性，从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程第2页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三随机过程的基本概念随机过程的定义：设 是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作 ，所有可能出现的结果的总体 就构成一随机过程，记作 。简言之，无穷多个样本函数的总体叫

2、做随机过程第3页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三随机过程的基本概念一个样本一个随机变量第4页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三随机过程的基本概念随机过程(t)具有两个基本特征： (t)是时间t的函数；在某一观察时刻t1，样本的取值(t1)是一个随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族随机变量。可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。第5页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三一维分布函数：一维概率密度函数：二维分布函数：二维概率密度函数：随机过程的统计特性用分布函数、概率密度函数或数字特征来描述。统计特性第6页，共

3、57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三数字特征分布函数或概率密度函数能够较全面地描述随机过程的统计特性在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。第7页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三数学期望（均值）方差数字特征方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。均值和方差是对随机变量求积分或求和均值和方差是时间的函数第8页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三数字特征相关函数衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差

4、函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。协方差函数同一随机过程,不同时间间关系自协方差函数不同随机过程,不同时间间关系互协方差函数第9页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三相关函数同一随机过程,不同时间间关系自相关函数不同随机过程,不同时间间关系互相关函数数字特征第10页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三 过程是慢变化， 过程是快变化，它们大致有相同的均值、方差，但是在不同时刻的取值，对于 来说，相关性强；对于 来说，相关性强弱 数字特征相关函数第11页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三数字特征【例】 已知X和Y是相互

5、独立的两个随机变量，它们均值和方差分别为2和6，试求 的均值、方差和自相关函数。独立概念相关概念X和Y不相关X和Y线性相关第12页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三数字特征【例】 已知X和Y是相互独立的两个随机变量，它们均值和方差分别为2和6，试求 的均值、方差和自相关函数。第13页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三平稳随机过程 是指它的统计特性不随时间的推移而变化。则称 是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。平稳随机过程如果任意非零值一维概率密度函数二维概率密度函数第14页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三均值自相关函数平稳随机过程第

6、15页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三设有一个二阶矩随机过程 ，它的均值为常数，自相关函数仅是的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。平稳随机过程平稳随机过程均值为常数自相关函数只与时间间隔有关与时间起点无关如何判别随机过程是平稳的？第16页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三x(t)是平稳随机过程 的任意一个实现，它的 时间均值 和时间相关函数 分别为如果平稳随机过程依概率1使下式成立： 则称该平稳随机过程具有各态历经性各态历经性第17页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，

7、星期三各态历经性已知均匀分布x(t)是否为宽平稳随机过程，是否服从各态历经性？宽平稳随机过程第18页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三各态历经性各态历经性第19页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三 “各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系

8、统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。各态历经性判断各态历经性首先判断是否满足宽平稳条件第20页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三设 为实平稳随机过程，则它的自相关函数具有下列主要性质：（1）（2）（3） 的偶函数（4） 的上界（5）平稳随机过程自相关函数的性质方差， 的交流功率 的平均功率 的直流功率第21页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为我们可以把f(t)看成是平稳随机过程(t)中的任一实现，因而每一实现的功率谱密度也可用上式来表示。由于(

9、t)是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均，即 平稳随机过程的功率谱密度第22页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三功率信号f(t)及其截短函数平稳随机过程的功率谱密度第23页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三的平均功率S则可表示成平稳随机过程的功率谱密度功率谱的统计平均第24页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三平稳随机过程的功率谱密度第25页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三确知的非周期功率信号的自相关

10、函数与其谱密度是一对 傅氏变换关系。 对于平稳随机过程，也有类似的关系，即平稳随机过程的功率谱密度第26页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三R(0)表示随机过程的平均功率非负性偶函数平稳随机过程的功率谱密度第27页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三例 某随机相位余弦波 ，其中A和 均为常数，是在(0, )内均匀分布的随机变量。 求 的自相关函数与功率谱密度.平稳随机过程的功率谱密度第28页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三解： 先考察(t)是否广义平稳 的数学期望为的自相关函数为根据以及是广义平稳。则功率谱密度为平均功率为平稳随机过程

11、的功率谱密度第29页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三高斯随机过程 若随机过程(t)的任意n维（n=1, 2, ）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。 第30页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三高斯随机过程 如果各随机变量两两之间互不相关，则上式中，对所有统计独立第31页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三由式可以看出, 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值、方差与时间无关，协方差函数只

12、与时间间隔有关，而与时间起点无关，由性质1知，它的n维分布与时间起点无关。所以，广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。高斯过程经过线性变换（或线性系统）后仍是高斯过程。高斯随机过程重要性质 第32页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三f(x)具有如下特性 (1) f(x)对称于x=a这条直线。 (2)正态分布的概率密度一维高斯随机过程 第33页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三误差函数和互补误差函数互补误差函数误差函数第34页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。式中n0为一常数，单位是瓦/赫。

13、显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即这说明，白噪声只有在=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。高斯白噪声第35页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三白噪声的功率谱和自相关函数高斯白噪声第36页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三 如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪声。 高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。 应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀

14、分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。高斯白噪声功率谱角度概率分布角度第37页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三随机过程通过线性系统只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即若则有第38页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三若线性系统是物理可实现的，则或 如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，则vo(t)可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入

15、过程i(t)的每个样本与输出过程o(t)的相应样本之间都满足上式的关系。 这样，就整个过程而言，便有随机过程通过线性系统第39页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三假定输入i(t)是平稳随机过程， 则可以分析系统的输出过程o(t)的统计特性。随机过程通过线性系统1. 输出过程o(t)的数学期望由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数H(0)的乘积，且与t无关。 第40页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三可见, o(t)的自相关函数只依赖时间间隔而与时间起点t1无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，若线性系统的输入过程是平

16、稳的，那么输出过程也是平稳的。2. 输出过程o(t)的自相关函数 随机过程通过线性系统第41页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三3. 输出过程o(t)的功率谱密度可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度Pi()与系统功率传输函数|H()|2的乘积。随机过程通过线性系统第42页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三例 带限白噪声。试求功率谱密度为n0/2的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为可见，输出噪声的功率谱密度在|H内是均匀的， 在此范围外则为零，通常把这样的噪声称为带限白噪声。带限白噪声第43页，

17、共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三带限白噪声的功率谱和自相关函数带限白噪声第44页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三带限白噪声其自相关函数为由此可见，带限白噪声只有在=k/2fH(k=1, 2, 3, )上得到的随机变量才不相关。即，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。带限白噪声的平均功率：第45页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三从原理上看，在已知输入过程分布的情况总可以确定输出过程的分布。其中一个十分有用的情形是：如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。因为从积分原理来看，上式

18、可表示为一个和式的极限，即4. 输出过程o(t)的概率分布带限白噪声第46页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三 由于i(t)已假设是高斯型的，所以，在任一时刻的每项 都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻得到的每一随机变量，都是无限多个高斯随机变量之和。 由概率论得知，这个“和”的随机变量也是高斯随机变量。这就证明，高斯过程经过线性系统后其输出过程仍为高斯过程。 更一般地说，高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程。但要注意，由于线性系统的介入，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。 带限白噪声第47页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三

19、窄带随机过程随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带随机过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度ffc，且fc远离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。可表示为：第48页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三窄带过程的频谱和波形示意窄带随机过程第49页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三 a(t)及(t)分别是(t)的随机包络和随机相位，c(t)及s(t)分别称为(t)的同相分量和正交分量，它们也是随机过程，显然它们的变化相对于载波cosct的变化要

20、缓慢得多。 (t)的统计特性可由a(t)，(t)或c(t),s(t)的统计特性确定。反之，如果已知(t)的统计特性则可确定a(t),(t)以及c(t)，s(t)的统计特性。 窄带随机过程第50页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三1 同相和正交分量的统计特性 设窄带过程(t)是平稳高斯窄带过程，且 均值为零，方差为 。 可以证明它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是零均值的平稳高斯过程，而且与(t)具有相同的方差。 此外，在同一时刻上得到的c和s是互不相关的或统计独立的。 窄带随机过程第51页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三2 包络和相位的统计特性一个均值为零，方差为 的窄带平稳高斯过程(t)，其包络a(t)的一维分布是瑞利分布，相位(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，a(t)与(t)是统计独立的，即有下式成立：窄带随机过程瑞利分布第52页，共57页，2022年，5月20日，16点0分，星期三正弦波加窄带高斯噪声信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号