弹性力学逆解法和半逆解法多项式解法

1、第1页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三第三节 位移分量的求出第四节 简支梁受均布荷载第五节 楔形体受重力和液体压力例题第一节 逆解法与半逆解法 多项式解答第二节 矩形梁的纯弯曲第三章 平面问题的直角坐标解答第2页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三31 逆解法和半逆解法 多项式解法当体力为常量，按应力函数 求解平面应力问题时， 应满足 按 求解 多连体中的位移单值条件。 (c) S = 上应力边界条件, A内相容方程第3页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 对于单连体，(c)通常是自然满足的。只须满足(a),(b)。 由 求应力

2、的公式是(d)第4页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三2 .逆解法 先满足(a),再满足(b)。步骤:(e)逆解法 先找出满足 的解 在给定边界形状S下，由式(b)反推出 各边界上的面力， 代入(d), 求出第5页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 从而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述 和应力。 逆解法 逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。第6页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三例2 二次式 ，分别表示常量 的应力和边界面力。如图示。例1 一次式 对应于无体力， 无面力，无应力状态。故应力函数加减 一次式，不影响应力。

3、逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c第7页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 代入 ，解出 ；3.半逆解法 步骤：半逆解法 由应力(d)式，推测 的函数形式； 假设应力的函数形式 （根据受力情况，边界条件等）；第8页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 由式（d），求出应力；半逆解法 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）。 如能满足，则为正确解答；否则修改假设，重新求解。第9页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三思考题半逆解法1. 在单连体中，应力函数必须满足哪些条件？逆解法和半逆解法是如何满足这些

4、条件的？2. 试比较逆解法和半逆解法的区别。第10页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三3-2 矩形梁的纯弯曲 梁lh1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。 问题提出 h/2 h/2lyx ( l h)oMM第11页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 由逆解法得出，可取 ，且满足 求应力 (a) 求解步骤： 本题是平面应力问题,且为单连体，若按 求解， 应满足相容方程及 上的应力边界条件。第12页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 检验应力边界条件，原则是: 边界条件 b.后校核次要边界（小边界

5、），若不能精确满足应力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界条件代替。 a.先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。第13页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三主要边界 从式(a)可见，边界条件(b)均满足。满足。主要边界次要边界 x=0, l,(c) 的边界条件无法精确满足。第14页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三次要边界用两个积分的条件代替 第15页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 当 时，即使在 边界上面力不同于 的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。式(d)的第一式自然满足，由第二式得出最终得应力

6、解(e)第16页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 如果区域内的平衡微分方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足。则我们可以推论出，最后一个小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）必然是满足的，因此可以不必进行校核。试对此结论加以说明。思考题第17页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三3-3 位移分量的求出 在按应力求解中，若已得出应力，如何求出位移？以纯弯曲问题为例，已知试求解其位移。问题提出第18页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三1. 由物理方程求形变求形变第19页，共106页，2

7、022年，5月20日，9点40分，星期三2. 代入几何方程求位移求位移第20页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 对式(a)两边乘 积分, 对式(b)两边乘 积分 , 求位移第21页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 再代入(c) , 并分开变量， 上式对任意的 x , y 都必须成立，故两边都必须为同一常量 。求位移第22页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三由此解出求位移得出位移为3.待定的刚体位移分量 ，须由边界约束条件来确定。第23页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三2.代入几何方程，积分求 ； 归纳

8、：从应力求位移步骤：3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量由物理方程求出形变；第24页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三2. 铅直线的转角 故在任一截面x 处，平面截面假设成立。纯弯曲问题的讨论：1. 弯应力 与材料力学的解相同。3.纵向纤维的曲率 同材料力学的结 果。故在纯弯曲情况下，弹性力学解与材料力 学解相同。 第25页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三思考题2. 试证明刚体位移 实际上表示弹性体中 原点的平移和转动分量，并应用本节的解答加以 验证。 提示：微分体的转动分量为弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材料力学 的解答在应力、形变等方面完全

9、 一致。由此 是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截 面假设成立？第26页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三3-4 简支梁受均布荷载简支梁 ，受均布荷载 及两端支撑反力 。问题yxoll h/2 h/2第27页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三现采用此假设。半逆解法按半逆解法求解。 假设应力分量。由材料力学因为因为所以，可假设所以，可假设因为所以，可假设第28页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 由应力分量推出应力函数的形式。由对 x 积分，对x再积分，(a)半逆解法第29页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星

10、期三 将 代入相容方程，求解 :相容方程对于任何 均应满足,故的系数均应等于0，由此得三个常微分方程。半逆解法第30页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三式(b)中已略去对于 的一次式。将式(b)代入式(a)，即得 。(b)半逆解法解出:第31页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 对称性条件由于结构和荷载对称于 轴，故 应为 的偶函数， 为 x的奇函数，故 。 由 求应力。半逆解法 在无体力下，应力公式如书中式( f ), (g),(h)所示。第32页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 考察边界条件。由此解出系数A , B , C

11、 , D 。 主要边界主要边界第33页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三次要边界次要边界由此解出H，K.另一次要边界(x= -l )的条件，自然满足。应用圣维南原理，列出三个积分条件，第34页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三最后应力解答：应力第35页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三应力的量级当 时, x l 同阶， y h 同阶. 第一项 同阶,（与材料力学解同）;第二项 同阶, （弹性力学的修正项）同阶, （与材料力学解同）应力的量级同阶, （材料力学中不计）第36页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三

12、当 时, 量级的值很小,可以不计。应力与材料力学解比较:最主要量级 , 和次要量级 ,在材料力学中均已反映，且与弹性力学相同。最小量级 , 在材料力学中没有。 当 时, 仅占主项 的1/15 ( 6 %) ,应力比较中的弹性力学修正项：第37页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三弹性力学与材料力学的解法比较:应力比较 弹性力学严格考虑并满足了A内的平衡微分方程 ,几何方程和物理方程,以及S上的所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南原理,但只影响小边界附近的局部区域)。 材料力学在许多方面都作了近似处理,所以得出的是近似解答。第38页，共106页，2022年，5月20日，9

13、点40分，星期三几何条件中引用平截面假定 沿 为直线分布；例如：边界条件也没有严格考虑；平衡条件中没有考虑微分体的平衡，只 考虑 的内力平衡；材料力学解往往不满足相容条件。第39页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 对于杆件，材料力学解法及解答具有足够的精度； 对于非杆件，不能用材料力学解法求解，应采用弹性力学解法求解。第40页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三当问题中的y轴为对称轴时，试说明 和 应为x的偶函数，而 应为x的奇函数。思考题对于梁的弯曲问题，试回忆在材料力学 中是如何考虑平衡条件的？第41页，共106页，2022年，5月20日，9点4

14、0分，星期三 3. 试说明从弹性力学得出的解答（3-6）不 符合平面截面假设。 4. 材料力学的解答往往不满足相容条件， 为什么？第42页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三3-5 楔形体受重力及液体压力 设有楔形体，左面垂直，顶角为，下端无限长，受重力及齐顶液体压力。oyxn第43页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三用半逆解法求解。因为应力 , 而应力的量纲只比高一次（L），所以应力 (x , y 一次式）,= 即可假设应力为x , y 的一次式。（1）用量纲分析法假设应力:第44页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三（2）由应力

15、 关系式， 应为x,y的三次式，（3） 满足相容方程（4）由 求应力，第45页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三（5）考察边界条件-本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件。 x=0 铅直面，解出解出第46页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三斜边界上，须按一般的应力边界条件来表示，有第47页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三其中由式（b)解出a、b,最后的应力解答,应力第48页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三水平截面上的应力分布如图所示。第49页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期

16、三楔形体解答的应用: 作为重力坝的参考解答； 分逢重力坝接近平面应力问题； 在坝体中部的应力，接近楔形体的解答。 重力坝规范规定的解法 材料力学解法（重力法）. 重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。第50页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三思考题 重力法是按应力求解的，试回忆应力分量 必须满足哪些条件？在重力法中考虑了哪些条件？第51页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三第三章例题例题1例题2例题3例题4例题8例题7例题6例题5第52页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三例题1 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力

17、可以不计， 图3-5，试用应力函数 求解应力分量。第53页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三图3-5ydyyxl h/2 h/2o第54页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三解： 本题是较典型的例题，已经给出了应力函数 ，可按下列步骤求解。1. 将 代入相容方程，显然是满足的。2. 将 代入式(2-24)，求出应力分量。第55页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三考察边界条件： 主要边界 上应精确满足式(2-15),第56页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用

18、圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上的 的正方向，由此得：第57页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三第58页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三由(a),(b) 解出 最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。第59页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三代入应力公式，得第60页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三例题2 挡水墙的密度为 ，厚度为b,图示,水的密度为 ，试求应力分量。yox第61页，共10

19、6页，2022年，5月20日，9点40分，星期三解：用半逆解法求解。假设应力分量的函数形式。 因为在 y=-b/2边界上， y=b/2 边界上， ，所以可假设在区域内 沿x 向 也是一次式变化，即 第62页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三2. 按应力函数的形式，由 推测 的形式，所以第63页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三3. 由相容方程求应力函数。代入 得要使上式在任意的x处都成立，必须 第64页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 代入 ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。第65页，共106页，2022年

20、，5月20日，9点40分，星期三 4. 由应力函数求解应力分量。将 代入式(2-24) ,注意 ， 体力求得应力分量为第66页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三考察边界条件：主要边界 上,有得得得第67页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三由上式得到第68页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三求解各系数，由得得得得第69页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三由此得又有代入A,得第70页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件：由式(g),(h)

21、解出第71页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三代入应力分量的表达式得最后的应力解答：第72页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三例题3已知试问它们能否作为平面问题的应力函数？第73页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三解： 作为应力函数，必须首先满足相容方程，将 代入，(a) 其中A= 0，才可能成为应力函数；(b)必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应力函数。第74页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三例题4图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩 的作用，试用应力函数求解图示问题的应力及位移，设

22、在A点的位移和转角均为零。第75页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三bbAyxhOFFb/2第76页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三解：应用应力函数求解：(1) 校核 相容方程 ，满足.(2) 求应力分量 ，在无体力时，得(3) 考察主要边界条件，均已满足第77页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三考察次要边界条件，在y=0上，满足。得得第78页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 上述应力已满足了 和全部边界条件，因而是上述问题的解。代入，得应力的解答，第79页，共106页，2022年，5月20日，9点40

23、分，星期三(4) 求应变分量，第80页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三(5) 求位移分量，第81页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三将u,v代入几何方程的第三式，两边分离变量，并全都等于 常数，即第82页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三从上式分别积分，求出代入u,v, 得第83页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三再由刚体约束条件，得得得第84页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三代入u,v,得到位移分量的解答在顶点x=y=0，第85页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，

24、星期三例题5 图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载。试用下列应力函数求解应力分量。第86页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三yxo h/2 h/2l第87页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 解：应用上述应力函数求解：(1) 将 代入相容方程，由此，第88页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三(2) 代入应力公式，在无体力下，得(3) 考察主要边界条件第89页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三对于任意的x值，上式均满足，由此得(a)(b)(c)(d)第90页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三由(3)+(4)得由(3)-(4)得由(5)-(1)得(e)第91页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三(4) 考察小边界上的边界条件(x=0),由得由式(2)和(6)解出（f）第92页，共106页，2022年，5月20日，9点40分，星期三另两个积分的边界条件，显然是满足的。第93页