牛顿迭代法在求解非线性方程重根问题中的研究

1、牛顿迭代法在求解非线性方程重根问题中的研究摘 要：牛顿迭代法是求解非线性方程的根的常用方法。在实际计算中往往会遇到重根情况，针对这种情况，我们在牛顿迭代法的理论基础上，探讨了三种不同的迭代格式。为了对比这三种方法，本文进行了两个实验，分别是含有重根的非线性方程求解问题实例和牛顿 迭代法在求解购房按揭利率的应用实例。在分析运算结果后，得出了三种算法优势和劣势。关键词：牛顿迭代法；MATLAB ;重根Abstract: Newton iteration method is a common method to solve the roots of nonlinear equations. In o

2、rder to solve this problem, we discuss three different iteration schemes based on Newton iteration method. In order to compare the three methods, two experiments are carried out in this paper, one is the solving of nonlinear equations with heavy roots, and the other is the application of Newton iter

3、ation method in solving house mortgage interest rate. The advantages and disadvantages of three algorithms are obtained after analyzing the results.Key words: Newton iterative method ; MATLAB ; Root weight摘 要Abstract TOC o 1-5 h z 目录H. HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 相关概念1.非线性方程 1.重根问题1.不动点

4、和不动点迭代法1.迭代法的收敛性 2. HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 牛顿迭代法2.牛顿迭代算法 2.重根情形3.牛顿迭代法的数值实验5.实验一5.实验二7.结论8.参考文献：9.附录1.0附录A算法1 10附录B算法2 10附录C算法3 1.1附录D实验一程序1.1附录E算法1 1.2附录F算法2 1.2附录G算法3 13附录H实验二程序 13II1相关概念非线性方程在科学和工程计算中存在大量的方程f (x) = 0求根的问题，比如代数方程a0 xn+aixn二十| 十an1x + an =0 ,其中a0,当n =1,2时其解是熟知的，当n

5、= 3,4时解的公式可以在数学手册上 查到，但是当n5时，方程的跟是不能用四则运算和根式运算的公式表示出来的。除了代数方程外，另一类方程称为超越方程，例如3x2-ex=0, x = 1+sinx 2等。将上述代数方程(n至2)和超越方程统称为非线性方程。重根问题定义11若函数fwca,b(闭区间上的连续函数)，如果x*a,b, *f(x ) =0 ,且有f (x) =(xx*)mg(x),其中m为正整数，函数g酒足g(x) #0，则称x是f的m重零点，或万程f (x) =0的m重根。如果g充分光滑，x是f的m重零点，则有f (x*) = f (x*) =| = f (x*) = 0, f (m

6、)(x*) # 0。不动点和不动点迭代法对于非线性方程根的问题，在实际工作中要用数值解法求解，主要是不动点 迭代法。定义21,2设方程f(x)=0在区间a,b内有一根x*,将方程化为等价方程x 4(x),其中中是连续函数，若x*满足x* =p(x*),则称x*为函数中的一个不动点。在a,b第1页(共15页)(1.1)内任取一点作为初始近似值，可以构造迭代格式(1.1)Xk .1 =；(Xk), k =0,1,2,III这称为一种不动点迭代法，邛称为迭代函数。由(1.1)式产生的序列xj,如果满足limXk=x*,则X*是邛的一个不动点， k =：即方程f(x)=0的一个根。迭代法的收敛性定义31设函数甲在区间|上有不动点x*,如果存在x*的一个邻域S匚I , 对任意的xwS,迭代法(1.1)产生的序列xJuS,且xj收敛到x* ,就称迭代 法(1.1)局部收敛。定义41设序列xj收敛到x*,记误差ek =xk -x* ,若存在实数p之1及非 零常数C ,使则称xk 为p阶收敛2牛顿迭代法牛顿(Newton)迭代法是非线性方程求根问题常用的一种迭代解法，已经 大量的应用于许多工程技术中。本节主要探讨牛顿迭代法的计算格式以及如何处 理重根的情形。2.1牛顿迭代算法现已知一个函数f (x )=0 ,要求它的根x ,也就是函数与x轴