最优控制精品课件

1、关于最优控制第一张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月6.1 引言问题1：电动机的运动方程为其中， 为转矩系数； 为转动惯量； 为恒定的负载转矩；要求：在时间区间0，tf 内，电动机从静止起动，转过一定角度后停止，使电枢电阻 上的损耗 最小，求第二张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月采用状态方程表示，令于是初始状态末值状态控制 不受限制性能指标因为 是时间的函数，E 又是 的函数，E 是函数的函数，称为泛函。第三张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月问题2：如果电动机从初始时刻 的静止状态转过 角度又停下，求控制 （ 是受到限制的），使得所需时 间最短。末值状态这也是

2、一个最优控制问题：系统方程为初始状态性能指标最优控制问题为：在状态方程的约束下，寻求最优控制，将 转移到 ，使J 为极小。第四张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月一、性能指标及分类 性能指标函数(又称目标函数、性能泛函)，最优控制问题可归结为求性能指标的极值问题。按照实际控制性能常见： 最短时间问题：拦截导弹最短时间控制第五张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月 最小消耗问题：控制量u(t)与燃料消耗量成正比导弹最小燃料控制第六张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月有时有以下的加权指标形式：(3) 线性调节器问题：考虑在平衡位置x=0附近的状态调节 导弹滚动通道调节问

3、题第七张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月(3)、(4)两类是工程实践中典型的性能指标，体现了对精度和能耗的双重要求，且精度的要求贯穿于全过程。(4) 状态跟踪器问题：如果在过程中要求状态x(t)跟踪目标轨线 弹道导弹的弹道跟踪控制第八张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月 积分型性能指标： 在变分法中这类问题称为拉格朗日问题。它要求状态向量及控制向量在整个动态过程中都满足性能要求。性能指标还可以按其数学形式大致分为下列三类： 导弹稳定控制第九张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月 在变分法中称为迈耶尔问题。只要求状态在过程终端时满足一定要求，而对状态及控制量在整个动

4、态过程中的演变不作要求。 终值型性能指标: 卫星的指向控制第十张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月 在变分法中称为波尔札问题。它要求状态在过程终端时满足一定要求，而且状态向量及控制向量在整个动态过程中都应满足一定要求。 复合型性能指标：卫星的指向和稳定控制第十一张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月系统状态方程为初始状态为其中：x 为n 维状态向量； u 为r 维控制向量； f 为n 维向量函数，它是 x 、u 和t 的连续函数，并且对x 、t 连续可微。二、最优控制问题的一般性提法为第十二张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月 最优控制问题就是求解一类带有约束条件的

5、条件泛函极值问题。最优。其中 是 x 、u 和t 的连续函数 寻求在 上的最优控制 或 ，以将系统状态从 转移到 或 的一个集合，并使性能指标)(ftx)(ftx第十三张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月泛函与变分法一、泛函与变分1、泛函的基本定义： 对于某个函数集合 中的每一个函数 ，变量J 都有一个值与之对应，则称变量J 为依赖于函数 的泛函，记作泛函可以理解为“函数的函数”例如：（其中， 为在 上连续可积函数）当 时，有 ；当 时，有 第十四张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月泛函 如果满足以下条件时，称为线性泛函：1） ，其中c 为任意常数；2）对于一个任意小正数

6、，总是可以找到 ，当 时，有 就称泛函 在 处是连续的。所谓泛函 的宗量（自变量） 的变分是指两个函数间的差2、泛函的变分问题：何为两个函数的差？两个函数距离接近？第十五张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月K阶近似度第十六张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月其中， 是关于 的线性连续泛函， 是关于 的高阶无穷小。则 称为泛函 的变分。定义：设 是线性赋范空间 上的连续泛函，其增量可表示为泛函的变分等于第十七张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月第十八张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月3、泛函变分的规则1）2）3）4）变分的导数等于导数的变分第十九张，PP

7、T共一百一十八页，创作于2022年6月定理：设 是在线性赋范空间 上某个开子集D 中定义的可微泛函，且在 处达到极值，则泛函 在 处必有4、泛函的极值设 是在线性赋范空间 上某个子集D 中的线性连续泛函， ，若存在 的某领域 均有：00或则称 在 处达到极大值或极小值。第二十张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月泛函极值的必要条件欧拉方程固定端点问题第二十一张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月泛函极值的必要条件欧拉方程任意函数任意小数第二十二张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月求极值问题可以表达为第二十三张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月泛函极值的必要条

8、件欧拉方程第二十四张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月泛函极值的必要条件欧拉方程从变分的角度看第二十五张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月端部条件第二十六张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月第二十七张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月第二十八张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月推广到多变量，即向量情况泛函必要条件：两端固定两端自由第二十九张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月第三十张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月第三十一张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月第三十二张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月泛函

9、极值可变端点问题第三十三张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月确定最优轨线和最优时刻第三十四张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月终端时间改变造成的部分，包括函数变分的影响为简单计，在第二项中，只考虑终端时间变分影响的部分，不考虑函数变分的影响由于公用用同一 ，显然函数的变分同时包含了函数及其作用时间。第三十五张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月等号右边第一项自变量以单状态的系统为例图示以这点的性能指标乘以时间长度来计算整个区域的性能指标第三十六张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月对上式被积函数的第二项分步积分第三十七张，PPT共一百一十八页，创作于2022

10、年6月第三十八张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月第三十九张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月终端约束：第四十张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月连续系统最优控制问题第四十一张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月连续系统最优控制问题分部积分第四十二张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月连续系统最优控制问题Or运用多变量情况下欧拉方程直接推导目标函数相对于最优控制 和最优轨线 的变分系统的约束方程第四十三张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月连续系统最优控制问题第四十四张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月连续系统最优控制问题第四十五

11、张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月连续系统最优控制问题第四十六张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月连续系统最优控制问题第四十七张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月连续系统最优控制问题第四十八张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月连续系统最优控制问题二. 波尔扎问题系统状态方程初始状态 ，最终状态 满足分部积分终端约束 系统约束 第四十九张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月有哪些结构允许的变化？第五十张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月考虑相对于最优控制 最优轨线 和 的变分由泛函方程得到边界条件终端时刻由下式计算状态方程控制方程伴随方

12、程第五十一张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月例第五十二张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月哈密尔顿函数边界条件第五十三张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月第五十四张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月第五十五张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月例 系统的状态方程为性能指标求最优控制 和末值时刻 ，使性能指标泛函取极小值解哈密顿函数例二第五十六张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月由控制方程 ，得或 由伴随方程将 代入状态方程解为其中， 、 为常数，由 ， 确定，得第五十七张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月由于 自由，由 由上

13、述各式解得第五十八张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月末端状态初始状态性能指标电动机的运动方程为例三求最优控制和最优轨迹第五十九张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月1）哈密顿函数为2）由控制方程得到即第六十张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月3）由伴随方程 ，得到（ ， 为积分常数）4）由状态方程得（ ， 为积分常数）第六十一张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月根据边界条件，确定积分常数，得代入 和第六十二张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月6-8 极小值原理状态方程为：初始条件为 ，终态 满足终端约束方程式中，Nm维连续可微的矢量函数， 。控

14、制 受不等式约束式中，gl 维连续可微的矢量函数， 。如：性能泛函泛函极小可能对应的是允许控制的边界值 如何表示不等式约束 第六十三张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月6-8 极小值原理保证g 0，表示成约束方程u(t) 虽然不一定连续， 为连续函数第六十四张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月6-8 极小值原理第六十五张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月6-8 极小值原理分部积分状态轨迹为自变量，时间视为常数状态轨迹和时间均为自变量，与时间联系，因此为微分。第六十六张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月6-8 极小值原理类似有不含w第六十七张，PPT共一百

15、一十八页，创作于2022年6月欧拉方程横截条件6-8 极小值原理第六十八张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月6-8 极小值原理第六十九张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月6-8 极小值原理在最优轨迹上，采用最优控制时目标泛函最小注意已在最优轨迹上。此时把H看成只有一个变量u，使H取极小值最优控制 保证哈密尔顿函数取全局最小值，所谓“极小值原理”一词正源于此。第七十张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月例 设系统的状态方程为控制约束 求 使 解：由哈密尔顿函数当 时应取 （上界） 时应取 （下界）根据极小值原理，在最优轨迹上，最优控制u使H取极小。如果即不论为何值，等

16、式右边第二项都能取得极小，所对应的u为最优控制。u的上界为1，下界为1/2，因此 极小第七十一张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月由协态方程 得其解为求 以确定u的切换点当 时故u切换点：令 ，得，对应 ， ，对应 ， g中不含x第七十二张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月求最优状态轨线解状态方程当 时 得考虑 故当 时 得考虑第一段终值 为第二段初值，故各有关曲线如图所示。第七十三张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月第七十四张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月 线性二次型最优控制性能指标为状态变量和控制变量的二次型函数的线性系统最优控制问题。提出的控制

17、规律是状态变量的函数，可以通过状态反馈实现闭环最优控制。性能函数：半正定的状态加权阵。一般可选为对角阵，权重越大，该项越受重视。正定的控制加权阵。不管正功、负功都统计。半正定的终端加权阵。第七十五张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月 线性状态调节器1 引言 线性系统以二次型为性能指标的最优控制问题，已经在国内、外的工程实践中得到应用。原因如下：1）被控对象是线性的，最优控制问题容易求得解析解。2）最优控制器是线性的，易于实现。3）线性、二次型性能指标的最优控制问题除了得到最优解外，还可以导出经典控制理论的一些特性。第七十六张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月2 有限时间状态

18、调节器线性时变系统的状态方程为其中，x 为n 维状态向量；u 为r 维控制向量，且u 不受限制。状态调节器：偏离了平衡状态，通过控制使之回到平衡状态。优化问题：如，如何在不消耗过多能量的前提下回到平衡状态？因为线性系统，如果用状态与平衡状态的误差来代替状态，系统的状态方程不变第七十七张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月2 有限时间状态调节器问题简化为：在平衡状态（控制的目标状态）附近，线性时变系统的状态方程为寻找一个最优控制 ，使为极小。如何理解？能量、过程误差和最终误差的综合最优第七十八张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月 求解这个最优控制问题，可以用极小值原理。哈密顿函

19、数为伴随方程为控制方程为故J 取极小值与状态有关 将 代入状态方程得初始状态为第七十九张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月状态反馈的求解方式其中， 为待定的实对称、正定 时变阵 对t 求导横截条件为由伴随方程：与状态有关、与时变系数矩阵第八十张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月又比较上两式，可以得到称为Riccati微分方程。边界条件得到第八十一张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月加入控制后的闭环系统为状态反馈矩阵K(t)线性调节器的设计步骤设计性能指标，即确定加权矩阵求解Riccati方程，得到P(t)，进而得到状态反馈矩阵K(t)求最优控制、最优轨线及性能最优

20、值第八十二张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月两点说明：1）由于矩阵黎卡提微分方程的解为对称阵因此有 个独立的非线性标量微分方程。2）最优性能指标为（证明请见教材）第八十三张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月例 系统状态方程为求最优控制 ，使性能指标取极小值解 矩阵的黎卡提方程为求解上面的微分方程，有第八十四张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月其中即最优控制为第八十五张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月由最优轨线为第八十六张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月第八十七张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月关于P(t)的性质及相应的x(t)

21、，u(t)变化如图所示。a=-1,q0=0,q1=1,x(0)=1,tf=1q2很小时，起始部分近似常值；q2很大时，p(t)时变特性渐强。第八十八张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月随着tf的增加，p(t)保持常值的区域增加第八十九张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月3 无限时间状态调节器线性时变系统寻找一个最优控制 ，使J 取极小值这里产生一个问题： 时，性能指标是否收敛？例如寻找最优控制 ，使J 取极小值前述有限时间状态调节器P(t)时变，实现复杂。如何能使P(t)=P ?第九十张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月如果线性时变系统是能控的，无限时间状态调节器

22、问题一定有解，并且可以通过有限时间状态调节器的解，取 来获得根据极小值原理，如果有最优解，当 时，J 取极小值。但是是不能控的状态分量，而且是不稳定的。导致结论：该问题不存在有意义的解。据前，最优控制为最优性能指标第九十一张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月 无限时间状态调节器与有限时间最优调节器类似，均可以用状态负反馈构成状态闭环控制。有限时间最优调节器反馈增益矩阵是时变的，给工程实践带来不便。当时间趋于无穷时反馈增益趋于常数矩阵。 可以证明，有以下结论：线性定常系统最优控制为正定常数阵 满足如下黎卡提矩阵代数方程第九十二张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月最优性能指标

23、当这个无限时间状态调节器满足以下条件时，状态反馈增益矩阵才为常数矩阵：1）系统为线性定常系统；2）系统能控；3）终端时刻 ；4） J 中不含终端性能要求项，即 Q0= 0 ；第九十三张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月无限状态调节器的系统渐近稳定，无论原受控系统的特征值如何。证明：设李亚普诺夫函数P正定，故v(x)正定又由于Q1、Q2均为正定，故负定。若 无恒等于零轨线，Q1可取半负定。第九十四张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月因此，定常情况下状态调节器平衡状态 是渐近稳定的。即使开环系统 是不稳定的，也不管 Q 1 和 Q2阵如何选取，只要Q 1 和 Q2阵为正定的，则

24、状态调节器总是渐近稳定的。第九十五张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月第九十六张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月第九十七张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月第九十八张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月第九十九张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月例 线性定常系统的状态方程为0求最优控制 ，使 J 取极小值。解 检验系统能控性 能控。设代入黎卡提方程第一百张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月当 时， ；当 时， 。第一百零一张，PPT共一百一十八页，创作于2022年6月5 跟踪器问题 要求系统输出跟踪某个指定的输入，且不过多消耗能量，称为跟踪器问题。 时变系统：有限时间跟踪器问题。定常系统：近似最优的跟踪器线性时变系统方程要求系统的输出跟踪指定的输入函数 z(t) 。z(t)与输出向量y 有相同维数。寻求最优控制 ，使以下性能指标取极小值。 性能指标J 中的加权阵Q0和 Q1(t) 为半正定，Q2(t) 为正定。第一百零二张，PPT共一百一十八页，创作于