初中数学北师大版九年级上册第四章　图形的相似-阶段强化专训

1、专训一：平行线分线段成比例常见应用技巧 证比例式技巧1中间比代换法证比例式1(改编上海)如图，已知在ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DEBC，EFAB.(1)求证：eq f(AD,AB)eq f(DE,BC)；(2)若ADDB35，求CFCB的值(第1题)技巧2等积代换法证比例式2如图，在ABC中，D是AB上一点，E是ABC内一点，DEBC，过D作AC的平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于P，求证：eq f(PE,PF)eq f(PA,PB).(第2题)技巧3等比代换法证比例式3如图，在ABC中，DEBC，EFCD.求证：eq f(AD,AB)eq f(AF,AD).

2、(第3题) 证线段相等技巧4等比例过渡证线段相等(等比例过渡法)4如图，在ABC中，ACB90，BA，点D为边AB的中点，DEBC交AC于点E，CFBA交DE的延长线于点F.求证：DEEF.(第4题) 证比例和为1技巧5同分母的中间比代换法5如图，已知ACFEBD，求证：eq f(AE,AD)eq f(BE,BC)1.(第5题)专训二：证明相似三角形的方法名师点金：要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；(3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定

3、理及相似三角形的“传递性” 利用边或角的关系判定两直角三角形相似1下面关于直角三角形相似叙述错误的是()A有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C有一条直角边相等的两个直角三角形相似D两个等腰直角三角形相似2如图，BCAD，垂足为C，AD，CD，BC，CE，求证：ABCDEC.(第2题) 利用角判定两三角形相似3如图，ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE交于点E.(1)求证：ABDCED；(2)若AB6，AD2CD，求BE的长(第3题) 利用边角判定两三角形相似4已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP3

4、CP，Q是CD的中点求证：ADQQCP.(第4题) 利用三边判定两三角形相似5如图，AD是ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点求证：DEFABC.(第5题)专训三：巧添辅助线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形 平行线型如图，在ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AEeq f(1,4)AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC2CD.作

5、辅助线的方法一：作辅助线的方法二：作辅助线的方法三：作辅助线的方法四：专训四：巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金：位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质；位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上 三角形的内接正三角形问题1如图，用下面的方法可以画AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题画法：在AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；连接OE并延长，交AB于点E，过点E作ECEC，交OA于点C，作EDED，交OB于点D；连接CD，则CDE是AOB的内接等边三角形求证：CDE是等边三角

6、形(第1题) 三角形的内接矩形问题2求作：内接于已知ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，并且有DEEF12.(第2题) 三角形的内接正方形问题(方程思想)3如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC120 mm，高AD80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少？(第3题)4(1)如图，在ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于点P.求证：eq f(DP,BQ)eq f(PE,QC).(2)在ABC中，BAC90，正方形DEFG的四个顶点在A

7、BC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点如图，若ABAC1，直接写出MN的长；如图，求证：MN2DMEN.(第4题)答案专训一1(1)证明：DEBC，EFAB，四边形DEFB为平行四边形DEBF.DEBC，eq f(AD,AB)eq f(AE,AC).EFAB，eq f(AE,AC)eq f(BF,BC).又DEBF，eq f(AE,AC)eq f(DE,BC).eq f(AD,AB)eq f(DE,BC).(2)解：ADDB35，BDAB58.DEBC，CEACBDAB58.EFAB，CFCBCEAC58.2证明：DEBC，eq f(PD,PB)eq f(PE,PC).PDPCPEP

8、B.DFAC，eq f(PF,PC)eq f(PD,PA).PDPCPFPA.PEPBPFPA.eq f(PE,PF)eq f(PA,PB).3证明：EFCD，eq f(AF,AD)eq f(AE,AC).DEBC.eq f(AD,AB)eq f(AE,AC).eq f(AD,AB)eq f(AF,AD).4证明：DEBC，eq f(AD,DB)eq f(AE,EC).点D为AB的中点，ADDB，即eq f(AD,DB)1.CFBA，eq f(DE,EF)eq f(AE,EC)eq f(AD,DB)1.DEEF.5证明：ACEF，eq f(BE,BC)eq f(BF,BA).又FEBD，eq

9、f(AE,AD)eq f(AF,AB).，得eq f(BE,BC)eq f(AE,AD)eq f(BF,BA)eq f(AF,AB)eq f(AB,AB)1，即eq f(AE,AD)eq f(BE,BC)1.专训二1C2证明：AD，CD，ACADCD.eq f(AC,CD)eq f,3.eq f(BC,CE)eq f,3，eq f(AC,CD)eq f(BC,CE).又BCAD，ACBDCE90.ABCDEC.3(1)证明：ABC是等边三角形，AACB60.ACF120.CE是外角平分线，ACEeq f(1,2)ACFeq f(1,2)12060.AACE.又ADBCDE，ABDCED.(第3

10、题)(2)解：如图，作BMAC于点M，则AMCM3，BM3eq r(3).AD2CD，CD2，AD4.则MD1.在RtBDM中，BDeq r(BM2MD2)2eq r(7).由ABDCED得eq f(BD,ED)eq f(AD,CD)，即eq f(2r(7),ED)2，EDeq r(7).BEBDED3eq r(7).4证明：在正方形ABCD中，Q是CD的中点，eq f(AD,QC)2.eq f(BP,CP)3，eq f(BC,CP)4.又BC2DQ，eq f(DQ,CP)2.在ADQ和QCP中，eq f(AD,QC)eq f(DQ,CP)，CD90，ADQQCP.5证明：AD是ABC的高，A

11、DBD.又E，F分别是AB，AC的中点在RtABD中，DE为斜边AB上的中线，DEeq f(1,2)AB，即eq f(DE,AB)eq f(1,2).同理eq f(DF,AC)eq f(1,2).EF为ABC的中位线，EFeq f(1,2)BC，即eq f(EF,BC)eq f(1,2).eq f(DE,AB)eq f(EF,BC)eq f(DF,AC).DEFABC.专训三证明：(方法一)过点C作CFAB，交DE于点F，FCDB，D为公共角，CDFBDE.eq f(CF,BE)eq f(CD,BD).点M为AC边的中点，AMCM.CFAB，BACMCF.又AMECMF，AMECMF.AECF

12、.AEeq f(1,4)AB，BEABAE，BE3AE.eq f(AE,BE)eq f(1,3).eq f(CF,BE)eq f(CD,BD)，eq f(AE,BE)eq f(CD,BD)eq f(1,3)，即BD3CD.又BDBCCD，BC2CD.(方法二)过点C作CFDE，交AB于点F，eq f(AE,AF)eq f(AM,AC).又点M为AC边的中点，AC2AM.2AEAF.AEEF.又eq f(AE,AB)eq f(1,4)，eq f(BF,EF)2.又CFDE，eq f(BF,FE)eq f(BC,CD)2.BC2CD.(方法三)过点E作EFBC，交AC于点F，AEFB.又A为公共角

13、，AEFABC.由AEeq f(1,4)AB，知eq f(EF,BC)eq f(AE,AB)eq f(AF,AC)eq f(1,4)，EFeq f(1,4)BC，AFeq f(1,4)AC.EFCD，易证得EFMDCM，eq f(EF,CD)eq f(MF,MC).又AMMC，MFeq f(1,2)MC，EFeq f(1,2)CD.BC2CD.(方法四)过点A作AFBD，交DE的延长线于点F，FD，FAEB.AEFBED.eq f(AE,BE)eq f(AF,BD).AEeq f(1,4)AB，AEeq f(1,3)BE.AFeq f(1,3)BD.由AFCD，易证得AFMCDM.又AMMC，

14、AFCD.CDeq f(1,3)BD.BC2CD.点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形来求解专训四1证明：ECEC，CEOCEO，eq f(CE,CE)eq f(OE,OE).又EDED，DEODEO，eq f(DE,DE)eq f(OE,OE).CEDCED，eq f(CE,CE)eq f(DE,DE).CDECDE.又CDE是等边三角形，CDE是等边三角形2解：在AB边上任取一点D，过点D作DEBC于E，在BC上截取EF，使EF2DE，分别过F作FGBC，过D作DGBC交FG于点G，作射线BG交AC于点G，过点G作GFGF，DGDG，GF交BC于点F，D

15、G交AB于点D，过点D作DEDE交BC于点E，则四边形DEFG为ABC的内接矩形，且DEEF12.图略3解：设符合要求的正方形PQMN的边PN与ABC的高AD相交于点E.设正方形PQMN的边长为x mm，PNBC，APNABC.APN与ABC的对应点都经过点A，APN与ABC是以点A为位似中心的位似图形eq f(AE,AD)eq f(PN,BC).eq f(80 x,80)eq f(x,120).解得x48.即这个正方形零件的边长是48 mm.点拨：利用位似图形的性质“位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比”，构造方程，利用方程思想解决问题4(1)证明：在ABQ中，DPBQ，ADPABQ，eq f(DP,BQ)eq f(AP,AQ).同理ACQAEP，eq f(PE,QC)eq f(AP,AQ).eq f(DP,BQ)eq f(PE,QC).(2)解