初中数学北师大版九年级上册第二章　一元二次方程-第2章一元二次方程

1、第二章一元二次方程1.了解一元二次方程及有关概念.2.会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法.4.提出问题、分析问题,建立一元二次方程的数学模型,并用该模型解决实际问题.1.通过丰富的实例,让学生合作探讨,老师点评分析,建立数学模型,根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念.2.通过掌握形如(xm)2n(n0)的一元二次方程的解法直接开平方法,导入用配方法解一元二次方程,再通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程.3.通过用已学的配方法解方程ax2bxc0(a0)推导出一元二次方程的求根公式,导入用公式法解一元二次方程.4.通过实例

2、探索一元二次方程的根与系数的关系.1.经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,使同学们体会到一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型.2.经历用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想.3.经历设置丰富的问题情境,使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程,从而更好地理解方程的意义和作用,激发学生的学习兴趣.本章的主要内容包括:一元二次方程及其有关概念,一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法),运用一元二次方程分析和解决实际问题.其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容.方程思想是科学研究中重要的数学思想,

3、也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习做好准备.数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固.在总体设计思路上,本章遵循了“问题情境建立模型解释、应用与拓展”的模式,首先通过具体的问题情境建立有关方程,并归纳出一元二次方程的有关概念,然后探索其各种解法,并在现实情境中加以应用,切实提高学生的应用意识和能力.具体来讲,第1节通过丰富的实例,如“地毯四周有多宽”“梯子的底滑动多少米”等问题,建立一元二次方程,让学生通过观察归纳出一元二次方程的有关概念,并从中体会方程的模型思想;第24节通过具体方程逐步探索解一元二次方程的配方法、公式法、因式分解法;

4、第5节在求根公式的基础上,探索一元二次方程的根与系数的关系;第6节再次通过几个问题情境加强一元二次方程的应用.【重点】1.一元二次方程及其他有关的概念.2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.【难点】1.用配方法解一元二次方程及实际问题.2.用公式法解一元二次方程时的讨论.3.一元二次方程的根的判别式的相关知识.4.一元二次方程的根与系数的关系.5.建立一元二次方程实际问题的数学模型,理解方程的解与实际问题的解的区别.1.联系已有的相关知识,如一次方程、方程组,以及函数知识,进一步提高学生整体应用数学建模思想的意识和能力.一元

5、二次方程的解法中,渗透“降次”的转化思想,体会不同解法的优缺点与相互的联系,培养学生灵活解一元二次方程的能力与扎实的运算功底,对实际问题的探索不要以繁、难、偏、旧的问题作为学生探究性学习的题材.2.对于“一元二次方程的根的判别式”,为了教学,应适当添加习题,使学生理解一元二次方程的根的存在情况与系数的关系.3.对于“一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)”,为了后续学习(包括初、高中函数的学习)的方便,可根据学生情况,在教学中安排1-2课时,组织学生进行这方面的简单探究活动.4.对于含字母系数的一元二次方程的解法,建议老师们应以至少一节课的内容加以补充,添加适当的习题.1认识一元二次方程2课

6、时2用配方法求解一元二次方程2课时3用公式法求解一元二次方程2课时4用因式分解法求解一元二次方程1课时*5一元二次方程的根与系数的关系1课时6应用一元二次方程2课时1认识一元二次方程理解一元二次方程及其相关概念.经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.经历估计一元二次方程的解的过程,增进对方程的解的认识,进一步培养估算意识和能力,发展数感.【重点】一元二次方程的概念及一般形式.【难点】1.由实际问题向数学问题转化的过程.2.正确识别一般形式中的“项”及“系数”.第课时了解一元二次方程的概念和它的一般形式,会根据实际问题列一元二次方

7、程.经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.在列方程的过程中体会一元二次方程是刻画现实世界的重要模型.【重点】一元二次方程的概念和一般形式.【难点】正确理解和掌握一般形式中的“a0”,“项”和“系数”.【教师准备】预设学生学习过程中存在的问题.【学生准备】复习有关方程的知识.导入一:幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同(如图所示),你能求出这个宽度吗?如果设所求的宽度为x m,那么你能列出怎样的方程?导入二:观察下面等式:10211212213

8、2142.你还能找出五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?如果将这五个连续整数中的第一个数设为x,那么怎样用含x的代数式表示其余四个数?根据题意,你能列出怎样的方程?导入三:如下图所示,一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m,如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯子的底端滑动多少米?你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗?如果设梯子底端滑动x m,那么你能列出怎样的方程?教师给出图片,学生观察、思考,然后教师提问,学生回答.设计意图通过以上三个实例,在具体的情境中巩固列方程的一般思路,为概念的提出赋予实际的意义.一、一元二次方程的概念思路一过渡语什么样的

9、方程是一元二次方程呢?由上面的三个问题,我们可以得到三个方程:(8-2x)(5-2x)18;x2(x1)2(x2)2(x3)2(x4)2;(x6)272102.这三个方程有什么共同特点?归纳:上面的方程经过整理后都是只含有个未知数x的整式方程,并且都可以化成ax2bxc0(a,b,c为常数,a0)的形式,这样的方程叫作一元二次方程.知识拓展符合一元二次方程即符合以下三个条件:只含有一个未知数;未知数的最高次数为2;是整式方程.我们把ax2bxc0(a,b,c为常数,a0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别为二次项系数和一次项系数.设计意图

10、在方程的比较中得到概念,能够体现出合作探究的意识,同时提高了学生的归纳能力.思路二下面给出的方程与我们学习过的方程存在哪些相同点和不同点?(x-4)2(x-2)2x2;(30-2x)(20-2x)200.先让学生在小组内讨论交流,然后回答问题.教师总结:相同点:都是整式方程,都只含有一个未知数.不同点:一元一次方程中未知数的最高次数是1,而这些方程中未知数的最高次数是2.问题:类比一元一次方程,你能给这样的方程起个名字吗?带着这个问题,请大家填写下面的空格:像这样,等号两边都是式,只含有个未知数(一元),并且未知数的最高次数是(二次)的方程叫做一元二次方程.强调:一元二次方程必须是整式方程,且

11、一元二次方程和一元一次方程都属于一元方程.【师生活动】现在请同学们观察下列方程,然后判断哪些是一元二次方程.(1)x22x-40;(2)3x34x9;(3)3y2-5x7;(4)3x2x1;(5)y2-3y0;(6)【师】大家先观察这六个方程,它们都是整式方程吗?如果不都是,请告诉老师,哪个方程不是整式方程?【生】(4)不是整式方程.【师】哦,你真棒!方程(4)不是整式方程,那它肯定就不是一元二次方程了,好,我们把它排除.接下来,大家继续观察,告诉老师,哪些方程不是一元的?【生】(3)不是一元的.【师】嗯,很好!方程(3)含有x和y两个未知数,所以它不是一元的,那它也就不是一元二次方程了,好,

12、排除它.我们继续观察,谁能告诉老师,哪些方程不是二次方程?【生】(2)不是二次方程.【师】很好!方程(2)中未知数的最高次数是3,所以它不是一元二次方程,说的很棒!将它排除.现在剩下了方程(1),(5),(6),观察一下它们都具备一元二次方程定义里面的三要素吗?【生】具备.【师】嗯,最终我们可以确定方程(1),(5),(6)是一元二次方程.教师让学生再举出一些不是一元二次方程的方程,以加深学生对一元二次方程概念的理解掌握.设计意图通过问题的设计与讲解,类比一元一次方程和分式方程的定义学习一元二次方程,可使学生深刻理解一元二次方程的定义,掌握定义中的三要素,实现对定义由认识、记忆到理解、掌握的过

13、渡,以达到质的飞跃.二、例题讲解过渡语刚刚我们学习了什么是一元二次方程,现在我们通过下面的几个例题来看看同学们理解的怎么样.判断下列方程是否是一元二次方程.(1)2x-13x2-32(2)2x2-x50;(3)ax2bxc0;(4)4x2-1x70解:(1)(2)符合一元二次方程的概念,方程(3)中的a等于0时,方程不是一元二次方程,(4)不是整式方程,所以(3)和(4)都不是一元二次方程.过渡语下面我们再通过一个例题来理解一下一元二次方程的一般形式及二次项系数、一次项系数和常数项.把方程3x(x-1)2(x2)8化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x2-3

14、x2x48,移项,合并同类项,得3x2-5x-120,二次项系数是3,一次项系数是-5,常数项是-12.设计意图通过例题的讲评,进一步加强学生对一元二次方程相关概念的理解,从而突破本节课的重点和难点.知识拓展对于一元二次方程的一般形式的理解应注意以下四点:(1)“a0”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分,因为方程ax2bxc0只有当a0时,才叫做一元二次方程,当a0,b0时,它是一元一次方程.(2)任何一个一元二次方程,经过整理都可以变为一般形式.(3)二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的,所以求一元二次方程的各项系数时,必须先将方程化为一般形式.(4)要分清二次项与二

15、次项系数、一次项与一次项系数.1.只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化为ax2bxc0(a,b,c为常数,a0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式:ax2bxc0(a0).ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数.1.下列6个方程:(1)3x213x2;(2)yy5;(3)y22x-30;(4)mnx2(mn)x10;(5)x2-23x40;(6)1y2y3其中是一元二次方程的是.(填序号)解析:一元二次方程要符合以下三个条件:只含有一个未知数;未知数的最高次数为2;是整式方程.故只有(1)(5)是一元二次方程.故填

16、(1)(5).2.将方程3x25x2化为一元二次方程的一般形式为.解析:一元二次方程的一般形式为ax2bxc0(a0),注意移项时要注意变号,答案为3x2-5x-20.故填3x2-5x-20.3.一元二次方程2x24x-10的二次项系数、一次项系数及常数项之和为.解析:二次项系数为2,一次项系数为4,常数项为-1,所以它们的和为24(-1)5.故填5.4.下列方程中,是一元二次方程的是()135x227x-21x231解析:本题主要考查一元二次方程的概念.观察选项,只有A中的方程是一元二次方程.故选A.第1课时1.一元二次方程的概念2.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第32页随堂练习

17、.【选做题】教材第32页习题的3题.二、课后作业【基础巩固】1.一元二次方程的一般形式是.2.将方程-5x216x化成一般形式为.3.将方程(x1)22x化成一般形式为.4.方程2x2-8化成一般形式后,一次项系数为,常数项为.5.方程5(x2-2x1)-32x2的一般形式是,其二次项是,一次项是,常数项是.【能力提升】6.若ab0,则1ax21bx0的常数项是7.若方程ax25(x2)(x-1)是关于x的一元二次方程,则a.8.关于x的方程(m-4)x2(m4)x2m30,当时,是一元二次方程,当时,是一元一次方程.【拓展探究】9.已知关于x的方程(k-2)x2-kxx2-1.(1)当k为何

18、值时,方程为一元二次方程?(2)当k为何值时,方程为一元一次方程?【答案与解析】bxc0(a,b,c为常数,a0)(解析:要注意不能漏掉括号内的条件.)10(解析:要注意答案不唯一,如可以是5x26x-10.)10(解析:也可以是-x2-10.)8(解析:整理成一般形式为2x280,没有一次项,故一次项系数为0,常数项为8.)2305x2-22x37.1(解析:先整理成一般形式,即(a-1)x2-x70,再使二次项系数不为0,则a1.)4m49.解:方程可化为(k-3)x2-kx10.(1)若方程为一元二次方程,则k-30,即k3.(2)若方程为一元一次方程,则k-30,在实际教学中,有的学生

19、对概念背得很熟,但在准确和熟练应用方面较差,缺乏应变能力.针对学生存在的这些问题,本节课突出对概念形成过程的教学,采用探索发现的方法研究概念,并引导学生进行创造性学习.教学中,运用启发引导的方法让学生从实际的问题出发,观察发现并归纳出一元二次方程的概念,启发学生发现规律,并总结规律,最后达到解决问题的目的.学生对于将一元二次方程化为一般形式感觉困难不大,但写出它的二次项系数、一次项系数和常数项时,部分学生容易忽略符号,作为第一次学习,这是难免的.本课时设计的教学内容主要是一元二次方程的概念的推导和应用.在课堂教学中,可先从具体的背景出发,激发学生的学习兴趣,体会一元二次方程的使用价值,然后通过

20、例题和练习进一步巩固对概念的理解.随堂练习(教材第32页)1.解:(答案不唯一)设直角三角形的三边长分别为x-1,x,x1(x1),根据题意,得(x-1)2x2(x1)2,化成一般形式为x2-4x0.鼓励学生选定不同的量设为未知数,列出不同的方程.2.解:(答案不唯一)原方程可以化为5x236x-320,二次项系数是5,一次项系数是36,常数项是-32.习题(教材第32页)1.解:(1)设这个正方形的边长是x m(x0),根据题意,得(x5)(x2)54,即x27x-440.(2)设三个连续整数依次为x,x1,x2,根据题意,得x(x1)x(x2)(x1)(x2)242,即x22x-800.允

21、许学生选择不同量作为未知数,但要求列出一元二次方程.2.解:(答案不唯一)如下表所示:方程一般形式二次项系数一次项系数常数项3x25x-13x2-5x103-51(x2)(x-1)6x2x-8011-84-7x207x2-4070-43.解:设竹竿长为x尺,则门框宽为(x-4)尺,门框高为(x-2)尺,根据题意,得x2(x-4)2(x-2)2,即x2-12x200.学生的知识技能基础:学生在七年级已学过一元一次方程的概念,经历过由具体问题抽象出一元一次方程的过程,在八年级已学过二元一次方程组的概念,经历过由具体问题抽象出二元一次方程组的过程,已理解了“元”和“次”的含义,具备了学习一元二次方程

22、的基本技能.学生的活动经验基础:在相关知识的学习过程中,学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验和数学思考的能力,具备了一定的合作与交流的能力.已知关于x的方程(2a-4)x2-2bxa0.求满足下列条件时a,b的取值范围.(1)方程为一元二次方程;(2)方程为一元一次方程.解析观察所给方程,根据一元二次方程和一元一次方程的定义确定a,b的取值范围.解:(1)由题意,得2a-40,即a2.所以当a2时,方程是一元二次方程.(2)由题意,得2解得a2,b0.所以当a2且b0时,方程是一元一次方程.解题策略只含有一个未知数x,并且可以化为ax2bxc0(a,b,c为常数,a0)

23、的形式的整式方程是一元二次方程.利用概念解决问题时,应抓住其中本质的东西,一元二次方程与一元一次方程的区别是未知数的最高次数分别是2和1.第课时探索一元二次方程的解或近似解.通过具体实例探究一元二次方程的解.经历方程的解的探索过程,增进对方程的解的认识,培养估算意识和能力.【重点】探索一元二次方程的解或近似解.【难点】培养学生的估算意识和能力.【教师准备】预设课堂活动中学生可能提出的问题.【学生准备】复习有关方程的知识.导入一:在小学的时候,我们经常用估算的方法计算一些问题.那么,你能估算方程2x2-13x110中x的取值范围吗?导入二:过渡语我们来看看上节课的第一个问题.幼儿园某教室矩形地面

24、的长为8 m,宽为5 m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同(如右图所示),你能求出这个宽度吗?如果设所求的宽度为x m,那么列出的方程为(8-2x)(5-2x)18,你能估算出x大约是多少吗?估算一元二次方程的解1.引例过渡语(针对导入二)你能设法估计四周未铺地毯部分的宽度x(m)吗?我们知道,x满足方程(8-2x)(5-2x)18.思路一(1)x可能小于0吗?可能大于4吗?可能大于吗?说说你的理由.分析:因为40 m218 m2,所以x不可能小于0,因为8-2x,5-2x都是大于0的,所以x不可能大于4,也不可能大于.(2)你能确定x的大致

25、范围吗?分析:x的大致范围是0到之间.但这只是一个大致的估计,精确度还有待于我们进一步去探讨.(3)计算,填写下表:x012(8-2x)(5-2x)4028181040分析:由上表可以看出,如果宽度大于1,那么地毯的面积会小于18,不符合要求.如果宽度小于1,那么地毯的面积会大于18,也不符合要求.(4)你知道所求宽度x(m)是多少吗?你还有其他求解方法吗?与同伴交流.提示:通过表格的计算可以知道所求的宽度的大致范围,通过解一元一次方程等方法可以求出具体的宽度.思路二(1)确定大致范围.因为40 m218 m2,所以x不可能小于(),因为8-2x,5-2x都是大于0的,所以x不可能大于(),综

26、合以上,分析x的大致范围是()到()之间.(2)比较精确地估算.填写下表后思考:x012(8-2x)(5-2x)当x取的时候,你发现了什么问题?当x取的时候,你发现了什么?通过前面的发现,你怎样更精确地确定宽度的范围?2.做一做过渡语刚刚我们解决了上一节课的第一个问题,我们再来看看上一节课的第三个问题能不能解决.(附图)在前一节课的问题中,梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x6)272102,即x212x-150.(1)小明认为底端也滑动了1 m,他的说法正确吗?为什么?分析:若底端也滑动了1 m,此时(16)272102,所以底端滑动的距离小于2 m.(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范

27、围吗?分析:根据前面的分析,得出x的取值范围大致是1x,但这还不是一个很精确的数字.(4)x的整数部分是几?十分位是几?分析:通过计算,得出下表:xx212x-15根据上表思考:当x取和的时候,哪个数字更接近真实值?更接近)当x取和的时候,哪个数字更接近真实值?更接近)当x取的时候,与真实值是什么关系?(小于真实值)当x取的时候,与真实值是什么关系?(大于真实值)综合上述分析,我们可以进一步确定x的取值范围是x.所以x的整数部分是1,十分位是1.知识拓展估计一元二次方程近似解的基本思路:将一元二次方程变形为一般形式:ax2bxc0(a0),分别将x1,x2代入等式左边,当获得的值为一正、一负时

28、,方程必定有一根x0,而且x1x0 x2.这是因为当ax12bx1c0)而ax22bx22c0(或0)时,在x1到x2之间由小变大时,ax2bxc的值也将由小于0(或大于0),逐步变成大于0(或小于0),其间ax2bxc的值必有等于0的时候,1.在解决某些实际问题的时候,可以根据实际情况确定出方程解的大致范围.一般采用“夹逼法”,选取的未知数数值计算的结果的绝对值越接近0,这个数值就越接近未知数的真实值.2.采用“夹逼法”求一元二次方程近似解的一般步骤:(1)将方程变为一元二次方程的一般形式;(2)根据实际情况确定方程的解的大致范围;(3)根据方程的解的大致范围,在这个范围内取一个整数值,然后

29、把这个值代入方程左边的代数式进行验证,看是否能使方程左边代数式的值为0,如果为0,那么这个数就是方程的解;如果不为0,那么根据这个整数再找出一个使方程左边的值最接近于0但小于0的整数,这个数就是方程的解的整数部分;(4)保留整数部分不变,小数部分可参照求整数部分的方法进行,以此类推可得出该方程更准确的近似解.1.根据下表,判断方程ax2bxc0(a0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是()x3ax2bxcx0 x1x2x30时,网球场的宽60-2x0,这不符合实际,当然x更不可能大于40.(4)由上面分析可知,x的大致范围应为0 x30,在这个范围内估算方程的近似解如下表所示:x234567

30、x2-70 x325189124610-59-116显然,当x5时,x2-70 x3250.因此,人行道的宽度应为5 m.第2课时估算一元二次方程的解(1)引例(2)做一做一、教材作业【必做题】教材第35页习题.二、课后作业【基础巩固】1.根据下表中的数据(精确到,判断方程x25x-30的一个解x的范围是()xx25x-3小颖对一元二次方程(8-2x)(5-2x)18的根做了如下表所示的估计:x0123(8-2x)(5-2x)40184-2由表格可知,此方程的一个根为()3.根据方程x2-3x-50可列下表,则x的取值范围是()x-3-2-1456x2-3x-5135-1-1513x-2或4x

31、5x-1或5x6x-2或5x6x-1或4x54.根据下表可知,方程x22x-100的一个近似解为.xx22x-10【能力提升】5.根据下表中的数据(精确到,猜想方程x22x-1000的一个根大约是()xx22x-100观察下表:x012345x2-24x282890112从表中你能得出方程5x2-24x280的根是多少吗?如果能,写出方程的根;如果不能,请写出方程根的取值范围.【拓展探究】7.某校矩形操场的长比宽多14 m,面积是3300 m2,求操场的宽的取值范围(精确到十分位).【答案与解析】(解析:由表中的数据可知,当x的值由变化到时,x25x-3的值由变化到,所以在到之间存在一数值,使

32、x25x-3的值为0.故选C.)(解析:由表中的数据可知,当x的值等于1时,(8-2x)(5-2x)的值等于18,所以方程(8-2x)(5-2x)18的一个解为x1.故选B.)(解析:由表中的数据可知,当x的值由-2变化到-1时,x2-3x-5的值由5变化到-1,所以在-2到-1之间存在一数值,使x2-3x-5的值等于0,同理,当x的值由4变化到5时,x2-3x-5的值由-1变化到5,所以在4到5之间存在一数值,使x2-3x-5的值等于0.故选D.)解析:由表中的数据可知,当x时,x22x-10的值更接近于0,所以方程x22x-100的一个近似解为.)(解析:由表格可得,在到之间存在使方程x2

33、2x-1000成立的x的值.故选C.)6.解:根据表格中的数据,可以发现:当x2时,5x2-24x280,故方程5x2-24x280有一个根是x2.又因为当x时,5x2-24x28,当x3时,5x2-24x281,故一元二次方程5x2-24x280的另一个根的取值范围是x3.7.解析:先设出未知数,列出方程,然后列表、取值、计算,缩小范围,确定符合题意的未知数的取值范围.解:设操场的宽为x m,则长为(x14)m,根据题意得x(x14)3300,整理得x214x-33000.列表如下:x5051x214x-3300-10015所以宽的取值范围是 m m.课堂上把激发学生学习热情和获得学习能力放

34、在教学首位,通过运用各种启发、激励性的语言以及小组合作学习等方式,帮助学生形成积极主动的求知态度.本节课多次组织学生合作交流,通过小组合作,为学生提供展示自己聪明才智的机会,在此过程中,教师可以发现学生在分析问题和解决问题时的独到见解以及出现的思维误区,这样可以使得老师更好地指导今后的教学.在小组讨论之前,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师应对小组讨论给予适当地指导,包括知识的启发引导,使小组合作学习更具实效性.本节课的重点是使学生在求解的过程中体会方程解的含义.教师应引导学生讨论并探索求解的过程,防止学生在求解过程

35、中只注重数据的计算,而忽略了对数据特点的分析,忽视了探求的意识.随堂练习(教材第34页)解:将这五个连续整数中的第一个数设为x,那么其余四个数依次为x1,x2,x3,x4,根据题意,得x2(x1)2(x2)2(x3)2(x4)2,即x2-8x-200,可列下表:x-3-2-191011x2-8x-20130-11-11013所以x-2或x10,因此这五个连续整数依次为-2,-1,0,1,2或10,11,12,13,14.习题(教材第35页)1.解:设苗圃的宽为x m,则长为(x2)m,根据题意,得x(x2)120,即x22x-1200.列表如下:x89101112x22x-120-40-210

36、2348所以苗圃的宽为10 m,长为12 m.2.解:能.设矩形的宽为x m,则长为162-xm,根据题意,得x162-x15,即x2-8xx1234x2-8x15830-1所以矩形的宽为3 m,长为5 m.3.解:根据题意,得105,即2t2-t-20.列表如下:t01232t2-t-2-2-1413所以1t2.进一步列表:t2t2-t-2所以t0,2-4-10.于是,方程x2-4x-10必有一根在和之间.当分别取x与x时,有0.于是,方程x2-4x-10必有一根在和之间.解题策略如若不能准确选取x的值,也就无法进行估算,本例中x的取值,以及,是在进行多次试验的基础上获得的,当然在估计之初是

37、不可能得到这么好的数据的,一般可以随便估计一个数,计算出等式左边的值,看它与等式右边的关系,据此再估计x可能的取值,这样可以估计出两个根的范围,再逐步逼近.2用配方法求解一元二次方程1.会用配方法解一元二次方程.2.了解用配方法解一元二次方程的步骤.1.理解并掌握配方法.2.通过探索配方法解一元二次方程的过程,体会转化等数学思想.能利用一元二次方程解决实际问题,并增强学生的数学应用意识和能力.【重点】利用配方法解一元二次方程.【难点】理解配方法的过程.第课时1.会用直接开平方法解形如(xm)2n(n0)的一元二次方程.2.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.经历探索利用配方法解一元二次方

38、程的过程,体会转化的数学思想.在独立思考和合作探究的过程中,体会数学的价值,增强数学应用意识和能力.【重点】利用配方法解一元二次方程.【难点】把一元二次方程通过配方转化为(xm)2n(n0)的形式.【教师准备】预设教学过程中学生可能出现的问题.【学生准备】复习有关完全平方式的知识.导入一:1.在上一节的问题中,梯子底端滑动的距离x(m)满足方程x212x-150,我们已经求出了x的近似值,你能设法求出它的精确值吗?2.你会解下列一元二次方程吗?你是怎么做的?(1)x25;(2)2x235;(3)x22x15;(4)(x6)272102.解:(1)x25x5.(2)2x2352x222x21x1

39、.(3)x22x15(x1)25x-15.(4)(x6)272102(x6)251x-651.这些方程的共同点是什么呢?归纳:这些方程都可以写成(xm)2n的形式,它的一边是一个完全平方式,另一边是一个常数,当n0时,两边同时开平方,转化为一元一次方程,便可求出它的根.这种求根的方法叫直接开平方法.设计意图通过介绍直接开平方法,让学生了解配方法解一元二次方程的理论基础,配方的基本知识和方法,为熟练掌握配方法解一元二次方程打下基础.导入二:1.你会解下列方程吗?试一下.(1)x29;(2)4x27;(3)(x-2)2-90.2.解上面几个方程的时候用到了什么知识?你会解方程x26x925吗?学生

40、小组讨论,集体交流.通过以上几个题,我们发现方程的一边可以整理成完全平方式,另一边是非负数的形式,然后利用开平方来解.一、配方法过渡语如果我们要解的方程是x212x-150,该怎么办呢?思路:把方程化成(xm)2n(n0)的形式,两边开平方,便可求出方程的解.填上适当的数,使下列等式成立.(1)x212x(x6)2;(2)x2-4x(x-)2;(3)x28x(x)2.在上面等式的左边,常数项和一次项系数有什么关系?(常数项等于一次项系数的一半的平方)通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法.二、配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤过渡语前面我

41、们研究配方法解一元二次方程的基本方法,下面我们通过例题来总结一下用配方法解一元二次方程的基本步骤.(教材例1)解方程:x28x-90.解:移项,得:x28x9,配方,得:x28x42942(两边同时加上一次项系数一半的平方),即(x4)225,开平方,得x45,即x45或x4-5,所以x11,x2-9.知识拓展利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤:(1)移项:把常数项移到方程的右边;(2)配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,使左边化成一个含有未知数的完全平方式的形式,右边为一常数;(3)开方:根据平方根的意义,方程两边开平方,使其化为一元一次方程;(4)求解:解一元一次方程

42、;(5)定解:写出原方程的解.设计意图抓住主要问题精讲,并总结规律,让学生根据规律去学习配方法解一元二次方程的过程,体会解方程的步骤.过渡语刚刚我们学习了用配方法解一元二次方程的一般步骤,下面我们用刚学的方法来解决一个实际问题.已知一面积为120 m2的矩形苗圃的长比宽多2 m,则苗圃的长和宽各是多少?解:设矩形的宽为x m,则长为(x2)m,依题意,得x(x2)120,即x22x120,方程可化为(x1)2121,解得x110,x2-12(不合题意,舍去).则x210212(m).答:苗圃的长为12 m,宽为10 m.设计意图通过配方法的应用,让学生理解并掌握配方法,知道配方法是一种重要的解

43、题方法,理解方程的解在实际问题中的意义.知识拓展课本中,我们利用了配方法解一元二次方程.实际上,配方法不仅可以用来解一元二次方程,在其他方面还有很多应用.配方法,顾名思义,就是利用添项或拆项的方法,结合已有项,构造完全平方式.回顾以往知识,我们曾经利用图形面积验证完全平方公式,下面我们用图形面积解释配方法解方程的过程,如求方程x210 x39的解,把x210 x解释为右图中多边形ABCDEF的面积,为了求出x,我们考虑把这块图形补成一个正方形,为此必须补上正方形DCGE.从图中可以看出,正方形DCGE的面积为52(它恰好等于原方程中一次项系数一半的平方),由于大正方形的面积为392564,可知

44、这个大正方形的边长为8,又由图形可知边长为x5,故x3.这里,我们直观地看到了配方的几何意义.有时受几何图形的限制,我们只能求出方程的正数解. 1.通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法.2.配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤:(1)移项:把常数项移到方程的右边;(2)配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,使左边化成含有未知数的完全平方式的形式,右边为一常数;(3)开方:根据平方根的意义,方程两边开平方,使其化为一元一次方程;(4)求解:解一元一次方程;(5)定解:写出原方程的解.1.将方程x2-10 x-110化成(xm)2n(n0)的

45、形式是.解析:移项得x2-10 x11,配方得x2-10 x251125,即(x-5)236.故填(x-5)236.2.用配方法解下列方程.(1)x28x9;(2)x22x-150;(3)x2-6x2;(4)x2-x-10.解:(1)配方,得x28x42942(两边同时加上一次项系数一半的平方),即(x4)225,开平方,得x45,即x45或x4-5,所以x11,x2-9.(2)移项,得x22x15,配方,得x22x121512,即(x1)216,开平方,得x14,即x14或x1-4,所以x13,x2-5.(3)配方,得x2-6x32232,即(x-3)211,开平方,得x-311,即x-31

46、1或x-3-11,所以x1311,x23-11.(4)移项,得x2-x1,配方,得x2-x1221即x-12254,开平方,即x-1252或x-1所以x11252,x2第1课时1.配方法2.配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤例1例2一、教材作业【必做题】教材第37页随堂练习.【选做题】教材第37页习题的1题.二、课后作业【基础巩固】1.用适当的数填空.(1)x26x(x)2;(2)x2-5x(x-)2;(3)x2x(x)2;(4)x2-9x(x-)2.2.将二次三项式x2-4x-5进行配方,其结果为.3.若x26xm2是一个完全平方式,则m的值是.【能力提升】4.用配方法将二次三项

47、式a2-4a5变形,结果是()A.(a-2)21B.(a2)2-1C.(a2)21D.(a-2)2-15.把方程x234x配方,得()A.(x-2)27B.(x2)221C.(x-2)21D.(x2)226.不论x,y为何值,代数式x2y22x-4y7的值()A.总不小于2B.总不小于7C.可为任何实数D.可能为负数【拓展探究】7.用配方法求解下列问题.(1)求x2-2x2的最小值;(2)求x24x5的最小值.8.用配方法解下列方程.(1)x2-4x5;(2)x2-100 x-1010;(3)x28x90;(4)y222y-40.【答案与解析】1.(1)93(2)(3)(4)(解析:配方时注意

48、是加上一次项系数一半的平方.)2.(x-2)2-9(解析:x2-4x-5x2-4x22-22-5(x-2)2-9.)3.3(解析:由完全平方式的特点可知,第三项为一次项系数一半的平方,所以m2329,所以m3.)(解析:a2-4a5a2-4a22-225(a-2)21.故选A.)(解析:x234xx2-4x-3x2-4x22-322(x-2)21.故选C.)(解析:x2y22x-4y7x22xy2-4y7x22x1y2-4y4-1-47(x1)2(y-2)222.故选A.)7.解:(1)x2-2x2x2-2x11(x-1)211,故最小值为1.(2)x24x5x24x4-45(x2)211,故

49、最小值为1.8.解:(1)配方得x2-4x454,即(x-2)29,x-23,x15,x2-1.(2)移项得x2-100 x101,配方得x2-100 x25002500101,即(x-50)22601,x-5051,x1101,x2-1.(3)移项得x28x-9,配方得x28x16-916,即(x4)27,x47,x17-4,x2-7-4.(4)移项得y222y4,配方得y222y242,即(y2)26,y26,y16-2,y2-6-2.课堂上把激发学生的学习热情和获得学习能力放在教学首位,通过运用各种启发、激励性的语言,以及组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度.本节课多次组织学

50、生合作交流,通过小组合作,为学生提供展示自己聪明才智的机会,并且在此过程中,教师可以发现学生在分析问题和解决问题时的独到见解,以及思维的误区,这样可以使得老师更好地指导今后的教学.在小组讨论之前,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师应对小组讨论给予适当地指导,包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等,使小组合作学习更具实效性.随堂练习(教材第37页)解:(1)配方,得(x-5)27,两边开平方,得x-57,即x-57或x-5-7,所以x157,x25-7.(2)配方,得x2-14x72872,即

51、(x-7)257,开平方,得x-757,即x-757或x-7-57,所以x1757,x27-57.(3)配方,得x23x3221322,即x322134,开平方,得x32132,即x32132或x32-132,所以x1-32132,x2-32-132.(4)整理,得x2-6x-20,移项,得x2-6x2,配方,得x2-6x32232,即(x-3)211,开平方,得x-311,即x-习题(教材第37页)1.解:(1)移项,得x212x-25,配方,得x212x62-2562,即(x6)211,开平方,得x611,即x611或x6-11,所以x1-611,x2-6-11.(2)移项,得x24x10

52、,配方,得x24x221022,即(x2)214,开平方,得x214,即x214或x2-14,所以x1-214,x2-2-14.(3)配方,得x2-6x321132,即(x-3)220,开平方,得x-325,即x-325或x-3-25,所以x1325,x23-25.(4)移项,得x2-9x-19,配方,得x2-9x922-19922,即x-92254,开平方,得x-9252,即x-9252或x-92.解:设道路的宽为x m,根据题意,得(35-x)(26-x)850(或3526-35x-26xx2850),整理,得x2-61x600.解得x11,x260(不合题意,舍去).答:道路的宽应为1

53、m.3.解:设增加69人后,增加了x行x列,根据题意,得(x8)(x12)12869,整理,得x220 x-690,解得x13,x2-23(不合题意,舍去).答:增加的行数、列数都是3.学生的知识技能基础:学生在八年级上学期已经学习过开平方,知道一个正数有两个平方根,会利用开方求一个正数的两个平方根,并且也学习了完全平方公式.在本章前面几节课中,又学习了一元二次方程的概念,并经历了用估算法求一元二次方程的解的过程,初步理解了一元二次方程的解的意义.学生的活动经验基础:在相关知识的学习过程中,学生已经经历了估算一元二次方程解的过程,解决了一些简单的现实问题,感受到解一元二次方程的必要性和作用,基

54、于学生的学习心理规律,在学习了估算法求解一元二次方程的基础上,学生自然会产生用简单方法求解的欲望,同时在以前的数学学习中,学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力.本节课基于学生用估算的方法求一元二次方程的解的基础之上,提出了本课的具体学习任务:(1)会用直接开平方法解形如(xm)2n(n0)的方程,理解配方法,会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程;(2)经历列方程解决实际问题的过程,体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型,增强学生的数学应用意识和能力;(3)体会转化的数学思想方法;(4)能根据具体问题中的实际意义检验结果的

55、合理性.已知直角三角形的三边a,b,c,且两直角边a,b满足等式(a2b2)2-2(a2b2)-150,求斜边c.解:已知等式可化为(a2b2)2-2(a2b2)116,即(a2b2-1)216,a2b2-14,a2b25或a2b2-3,a2b20,a2b25.又直角三角形中,a2b2c2,c25,c5(负值已舍去).第课时会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.经历探究求解一般形式的一元二次方程的过程,进一步理解配方法的意义.通过用配方法将一元二次方程变形的过程,让学生进一步体会转化的思想方法,并增强学生的数学应用意识和能力.【重点】掌握配方法解一元二次方程的过程.【难点】把一元二次方程

56、转化为(xm)2n(n0)的形式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习配方法解二次项系数为1的一元二次方程的过程.导入一:解方程:x2-6x-400.解:移项,得x2-6x40,配方,得x2-6x324032,即(x-3)249,开平方,得x-37,即x-37或x-3-7,所以x110,x2-4.设计意图通过解这个方程,使学生们顺畅地理清思路,掌握每一步的理论依据,增强了解题的信心.导入二:1.将下列各式填上适当的项,使其配成完全平方式.(1)x22x(x)2;(2)x2-4x(x-)2;(3)x236(x)2;(4)x210 x(x)2;(5)x2-x(x-)2.2.请同学们说出下列两个

57、一元二次方程的联系与区别:(1)x26x80;(2)3x218x240.探讨方程(2)应如何解.设计意图通过第一部分的练习题的训练,使学生熟悉完全平方式的三项与二次三项式的联系,第二部分的两个方程之间的区别是方程(2)的二次项系数为3,不符合上节课解题的基本形式,联系是当方程(2)的两边同时除以3以后,这两个方程为同解方程.学生们做了方程的变形以后,对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和思路.一、规律探究过渡语对于新出现的问题,我们可以通过转化的思想,把未知转化为已知来解决,这也是我们日常生活中常用的解决问题的方法.解方程:3x28x-30.思路:由于该方程不是(xm)2n(n0)的形

58、式,因此不能用直接开平方法解,而且也不符合上节课学习的用配方法所解的方程的形式,但如果将方程两边同时除以二次项系数的话就和上节课所学的形式一样了,即方程两边同时除以3,得x283x-10,再用上节课的知识解决即可总结:对于二次项系数不为1的一元二次方程,我们可以先将等式两边同时除以二次项系数,再利用配方法求解.设计意图教师引导学生合理转化,渗透从“未知”到“已知”的转化过程.二、配方法解一元二次方程的一般步骤过渡语前面我们研究配方法解一元二次方程的基本方法,下面我们通过例题来总结一下用配方法解一元二次方程的基本步骤.(教材例2)解方程:3x28x-30.解析将二次项系数化为1后,用配方法解此方

59、程.解:两边都除以3,得x283x-10移项,得x283x1配方,得x283x4321即x开平方,得x435所以x113,x2-3设计意图抓住主要问题精讲,并总结规律,让学生根据规律去学习配方法解一元二次方程,体会解方程的步骤.知识拓展(1)利用配方法解一元二次方程的一般步骤:方程两边同时除以二次项系数,将二次项系数化为1;把常数项移到方程右边;在方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方,使左边成为完全平方式;利用直接开平方法求解.(2)配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简.何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“

60、添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方.有时也将其称为“配凑法”.(3)最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方,其依据是完全平方公式:(ab)2a22abb2,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:a2b2(ab)2-2ab(a-b)22ab;a2abb2(ab)2-ab(a-b)23ab.(4)在应用配方法解一元二次方程时有两种做法:一种是先移走常数项,然后方程两边同时除以二次项系数,把二次项系数化为1,两边再同时加上一次项系数(除以二次项系数后的)一半的平方,把原方程化成(xm)2n(n0)的形式,两边同时开方,把一元二次方程转化为一元一次方程.另一种是先移走常数