近代声学导论

1、近代声学导论1第1页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三罗仑兹 (Lorenz) 在50年代末提出大气动力模型，有十二个联立的方程。六十年代初用计算机研究大气变化发现系统对初值极为敏感。提出蝴蝶效应（ 正 确 否）。1963 年，近代混沌研究的里程碑。在19世纪末，庞加来(Poincare)研究星球的三体问题时注意到了混沌状态。2第2页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三有人认为混沌是第三次革命：认为人类不可能完全准确地预言很远的将来。第一次：不能超越光速；第二次：测不准。混沌是具有内在规律性的混乱。正常人的脑电图是混沌状态，而精神病人的脑电图确具有简单

2、的周期特征。3第3页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三经典分析力学是决定论：已知支配方程和初始条件，可以准确确定未来的状态。混沌理论认为高维非线性问题应用类似统计力学方法来处理。湍流产生机理是一个非线性动力学问题, 是一个百年难题混沌理论提供了一个研究的方法4第4页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三2-4-2、离散系统对离散时间变量的动力学系统，可用迭代方程来表达。xn+1 = M(xn ) n=0,1,2,3,其中xn 是系统的状态参量，如：是某种生物经过n次繁衍后的数目；M是一个确定的规则。可逆的迭代，即有 xn = N(xn+1)。如果是可逆的

3、迭代，有混沌的充分条件是：系统的维数大等于1。5第5页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三简单的例子, 一维系统, 抛物线xn+1 = bm xn (1-xn ) 0 xn 非线性系统的控制参数bm 起着重要的作用动力学系统的平衡态：状态参数保持不变。xs = bm xs (1- xs )对于抛物线方程描述的系统，平衡态表示为xs 被称为不动点 6第6页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三稳定平衡态当xn =xs+a, a 是一个小量, 经过迭代状态参数回到不动点xs 被称为稳定不动点 例：当 1 bm = 3,稳定不动点 xs = 1-1/bm当xn

4、=xs+a, a 是一个小量, 经过迭代状态参数偏离不动点xs 被称为不稳定不动点例：当 1 bm = 3, 有不稳定不动点 xs = 0,不稳定平衡态7第7页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三倍周期:状态参数在周期内的数目随控制参数变化而成倍增加。1975 年R. May 理论生物学家用差分方程研究生物群随时间的变化时发现了倍周期现象。有些系统的状态参数会周期性变化。当 3 bm bc (= 3.569,945,672,.是一个临界值)有周期解；状态参数在几个确定的之间循环。8第8页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三bm = 3.5, 0.3828

5、, 0.8269, 0.8750, 0.5009bm = 3.56 周期有8个数有些非线性系统在出现混沌之前有倍周期现象bm = 3.2,xn在两个数之间变化0.5130,0.79959第9页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三当bc bm 4 出现混沌状态参数出现的值，不再有确定的规律。10第10页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三1975 Feigenbaum, J. 其 人 试 验 一 天 26 小 时相邻分岔点值的满足下面关系极限值被成为费根包姆常数，是普适常数对其它系统也适用。出现新周期的值被称为分叉点11第11页，共72页，2022年，5月

6、20日，18点49分，星期三对初值敏感，取bm=4n xn xn0 0.1 0.100,000,11 0.36 0.360,000,0322 0.289,013,76 0.289,012,551.18 0.231,. 0.196,.习题：试研究方程的a0这样的系统就是对初值敏感，并且可以出现混沌状态。h被称作是Lyapunov指数22第22页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三2-4-6、声学混沌空化效应：声波破坏了液体中的液汽平衡态而出现了空穴和气泡。 局部有上千大气压。温度可达10万度。可用于清洗。液体23第23页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三

7、随着电压的增加出现倍周期图驱动频率: 23.56kHz , 或 71 kHz电压: 0 60 V上升时间: 262 ms采样率: 500 kHz24第24页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三驱动频率： 23.56kHz 电压： 43V, 采样频率： fs = 1 MHz 在压力空间 p(kt), p(kt-T), p(kt-2T) 中观察k = 1,2,3,. 4096, t = 1/fs , T = 5 s在延迟坐标系的相空间分析: 出现类似奇异吸引子25第25页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三三维曲线，旋转15 度观看26第26页，共72页，2

8、022年，5月20日，18点49分，星期三分形理论是描述不规则事物的规律性的科学混沌反映了系统在时间上的复杂性，分形反映了系统在空间上的复杂性。分形的最重要的一个特征之一是：整体形状和内部结构的自相似性2-5、分形2-5-1、分形维数27第27页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三这条曲线长度为无穷大，但占据面积为零。如科赫曲线把一条直线三等分，把中间的直线用两边等长的折线代替，以后在每条直线上都如此处理得到科赫曲线。有规分形：数学上严格定义的自相似28第28页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三无规分形：统计意义上的自相似如扩散置限凝聚(Diffusi

9、on-Limited Aggregation)模型简称DLA模型 1981由Witten和Sander提出：在二维方形点阵的中央放一静止的种子；边界上随机释放一个粒子，让它作无规行走，直到和种子接触固定；再释放新粒子，重复以上过程；最后可以形成一个分形的图形。29第29页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三已经证明这个图形有统计意义上的自相似。DLA模型描述了众多的物理、化学和生物过程所形成的结构30第30页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三一个直线段L，用长为r尺子度量结果为一个平面A，用度量单位r2 测量，结果为对体积度量有类似的结果。分形的主要描

10、述参量是分形维数测量一个物体的尺寸时要用与该物体相同维数的尺去度量维数的定义31第31页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三测量维数为D的物体X ，尺寸的大小由下式得到上式两边取对数整理得到32第32页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三对于科赫曲线，迭代k次后有r = (1/3)k,N(r) = 4k从维数的定义式可以确定科赫曲线的维数是维数定义为：对于面积的测量 N(r) =A/r2科赫曲线介于一维和二维之间33第33页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三但粒子数目的多少会影响结果的普适性变窗口法。如在DLA模型中，取边长为L的窗

11、口，数其中的粒子数，在不同的位置上重复多次，粒子数取平均记为N(L)；改变L的大小，重复上述过程，得到对应的N(L)；当L 时就有无规分形的维数在有些物理学问题中, r 是确定的, 而宏观尺度 L 却是在增长N(L) LD34第34页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三具有分形结构的介质被称为分形介质在分形介质中有一些反常现象如扩散变慢。逾渗模型用来描述流体在无序介质中作随机的扩散和流动.2-5-2、 分形子(fracton)35第35页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三例:二维方形点阵的点被随机充填, 一个点被充填的概率为 P, 当 P Pc (逾渗

12、阈值) 时得到一个逾渗集团集团中被充填的点相互联结，没有间断。36第36页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三逾渗集团是一种分形介质的模型用来研究无序材料中的扩散、电导、断裂等物理过程37第37页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三同时粒子密度满足连续性方程经典扩散理论粒子在均匀各向同性介质中作布朗运动是粒子通量，D 是扩散系数，n 是粒子密度结合上两式得到扩散方程如果粒子密度不均匀，粒子的运动要满足费克定律（Ficks Law）38第38页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三引入归一化的分布函数P，如果初始条件为：N是总粒子数。扩散

13、方程变成则一个粒子在时刻t在r出现的几率为d是空间维数39第39页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三粒子从原点出发，经过时间t又回到原点的概率是另外，粒子位移的均方差为40第40页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三根据上面两个结果粒子从原点出发，经过时间t又回到原点的概率可以重写为41第41页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三如果推广到具有分形结构的介质中去，粒子只能在逾渗集团上行走,这时有其中Df 是分形维数，上式可以改写成其中是分形子Dw是反常扩散指数，在欧几里得空间 Dw =2。42第42页，共72页，2022年，5月20

14、日，18点49分，星期三材料在一定尺度上出现分形特征，从均匀向分形过渡有特征长度。声波波长大于分形特征长度时声波具有声子的性质，声波波长小于分形特征长度时声波具有分形子的性质。Alexander Orbach 猜想是一个普适常数43第43页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三2-6、孤粒子波非线性也会使波的形状不变。孤粒子波的历史1834 年英国科学家罗素观察到孤波1895年，Korteweg 和他的学生de Vries得到孤波方程KdV方程2-61、孤粒子波概述44第44页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三 孤波是非线性偏微分方程在局部存在的稳定的解

15、。也称作为孤立子波上世纪七十年，数值解认识到孤波的性质有人用孤波解来描述基本粒子的运动还有其他孤波方程如：Sine-Gordon方程描述指向波45第45页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三2-6-2、基本方程二维问题，水槽深H，波高为A，宽为L，沿着x方向传播求水波表面轮廓方程速度场:vx 和 vy 分别为 x 和 y 方向上的质点速度分量。HALhxy046第46页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三(2)运动方程上式中 p 是压力， g 是重力加速度， 是 密 度。(1)连续方程: (2-6-1)(2-6-2)47第47页，共72页，2022年，5

16、月20日，18点49分，星期三流体的运动无旋根据线性运动方程，可以引入速度势函数。速度分量为可以有速度势函数Q使(2-6-3)48第48页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三假定流体不可压缩 = const 所以势函数Q必须满足 2Q = 0(2-6-4)从连续方程得49第49页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三边界条件结合基本方程是非线性的：(一) 在水表面 y = h(x,t)处，压强为零 p = 0 (2-6-5a)(二) 在水底 y = H 处，质点速度的垂直分量为零vy = 0(2-6-6)问题：求h的表达式y 方向的质点速度分量为或(2-6

17、-5b)50第50页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三在水表面 y = h(x,t)处，压强为零 p = 0利用速度势函数，运动方程在边界上变成上式对x求导，再变成质点速度的分量式有(2-6-7)51第51页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三2-6-3、KdV方程 2Q = 0在 yH在 yh在 yh(2-6-5b)(2-6-4)(2-6-7)(2-6-6)52第52页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三把 Q 对 y 展开，Q(x,y,t) = （yH）n Qn(x, t) n=0,1,2,.根据 (2-6-4) 有利用水底的条

18、件 (2-6-6) 得到Q1 = 0(2-6-8)从（2-6-8）得到下标为奇次的项为零（一）对y的解53第53页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三 从(2-6-8)可得到下标为偶数的项可用Q0 来表示，所以有 其中f不依赖于y(2-6-8)54第54页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三假定H L，A H无量纲化令 a = A/H, b=(H/L)2 x = Lz, t = L/c , h = Ah, f = acf,其中浅水重力水波波速 c2 = gH（二）求轮廓h依赖于x的方程55第55页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三在

19、 yh在 yh(2-6-5b)(2-6-7)在水面上,边界条件(2-6-5b)(2-6-7)无量纲化,保留到三阶小量有(2-6-9)(2-6-10)56第56页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三讨论线性问题,略去含 a, b 项，得到(2-6-9)(2-6-10)线性水波57第57页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三从上两个方程必有即变换到x,t空间得到线性波动方程或58第58页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三包含非线性， 采用微扰法代入到(2-6-9)和（2-6-10)，两式再相减，得到因为和b是相互独立的两个括号分别等于零

20、给出解非线性波59第59页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三把以上解代入到边界方程 (2-6-10)有(2-6-11)60第60页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三取伴随坐标令 X = z - , T = b/6(2-6-11)两边乘以 9/b2从(2-6-11)得到 KdV 方程令(2-6-12)（三）KdV方程及其解61第61页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三孤波解试解代入到(2-6-12)中得到最后有 62第62页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三63第63页，共72页，2022年，5月20日，18

21、点49分，星期三2-6-4、 讨论孤波的波速v大于浅水重力波速c振幅越大孤波速越大水越深孤波速越小64第64页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三线性波的波包由积分表达在波导中，一般波是色散的，波形会变宽。孤波解给出在时空中波形不变的波包。65第65页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三考虑一个沿正方向传播的波方程相速度非色散解为66第66页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三从2-2节的解有传播速度是振幅的函数，波形出现压缩如果把c换成f 有得到KDV方程中的非线性部分67第67页，共72页，2022年，5月20日，18点49分，星期三